专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（9大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考）

这是一份专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（9大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考），文件包含专题09数列的通项公式数列求和及综合应用9大核心考点讲义原卷版docx、专题09数列的通项公式数列求和及综合应用9大核心考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153920536" PAGEREF _Tc153920536 \h 1
\l "_Tc153920537" PAGEREF _Tc153920537 \h 3
\l "_Tc153920538" PAGEREF _Tc153920538 \h 3
\l "_Tc153920539" PAGEREF _Tc153920539 \h 6
\l "_Tc153920540" PAGEREF _Tc153920540 \h 8
\l "_Tc153920541" 考点一：等差、等比数列的基本量问题 PAGEREF _Tc153920541 \h 8
\l "_Tc153920542" 考点二：证明等差等比数列 PAGEREF _Tc153920542 \h 10
\l "_Tc153920543" 考点三：等差等比数列的交汇问题 PAGEREF _Tc153920543 \h 12
\l "_Tc153920544" 考点四：数列的通项公式 PAGEREF _Tc153920544 \h 14
\l "_Tc153920545" 考点五：数列求和 PAGEREF _Tc153920545 \h 17
\l "_Tc153920546" 考点六：数列性质的综合问题 PAGEREF _Tc153920546 \h 21
\l "_Tc153920547" 考点七：实际应用中的数列问题 PAGEREF _Tc153920547 \h 23
\l "_Tc153920548" 考点八：以数列为载体的情境题 PAGEREF _Tc153920548 \h 24
\l "_Tc153920549" 考点九：数列的递推问题 PAGEREF _Tc153920549 \h 25
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明；
2、数列满足，则是等差数列；
3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；
4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：
（1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；
（2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论．
8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和；
（2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列中，若（，，，，），则．
在等比数列中，若（，，，，），则．
12、前项和与积的性质
（1）设等差数列的公差为，前项和为．
= 1 \* GB3 ①，，，…也成等差数列，公差为．
= 2 \* GB3 ②也是等差数列，且，公差为．
= 3 \* GB3 ③若项数为偶数，则，．
若项数为奇数，则，．
（2）设等比数列的公比为，前项和为
= 1 \* GB3 ①当时，，，，…也成等比数列，公比为
= 2 \* GB3 ②相邻项积，，，…也成等比数列，公比为．
= 3 \* GB3 ③若项数为偶数，则，；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列和均是等差数列，且等差数列的公差为，，为常数．
= 1 \* GB3 ①的等距子数列也是等差数列，公差为．
= 2 \* GB3 ②数列，也是等差数列，而是等比数列．
（2）设数列和均是等比数列，且等比数列的公比为，为常数．
= 1 \* GB3 ①的等距子数列也是等比数列，公比为．
= 2 \* GB3 ②数列，，，，，
也是等比数列，而是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小．
1．（2023•甲卷）记为等差数列的前项和．若，，则
A．25B．22C．20D．15
2．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120B．85C．D．
3．（2023•甲卷）已知正项等比数列中，，为前项和，，则
A．7B．9C．15D．30
4．（2022•乙卷）记为等差数列的前项和．若，则公差 ．
5．（2023•甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
6．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ．
7．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
8．（2023•乙卷）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
9．（2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．
（1）求可能值；
（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；
（3）若，成立，求数列的通项公式．
10．（2023•甲卷）已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
考点一：等差、等比数列的基本量问题
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
例1．（2023·全国·模拟预测）记数列的前项和为，若等差数列的首项为5，第4项为8，则（ ）
A．14B．23C．32D．140
例2．（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
例3．（2023·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．18B．54C．128D．192
例4．（2023·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．32B．64C．128D．256
例5．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）等差数列中的前项和分别为，则（ ）
A．B．C．D．
考点二：证明等差等比数列
判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于的任意正整数：
①若为一常数，则为等差数列；
②若为常数，则为等比数列．
（2）通项公式法：
①若，则为等差数列；
（2）若，则为等比数列．
（3）中项公式法：
①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列．
（4）前项和法：若的前项和满足：
①，则为等差数列．
②，则为等比数列．
例7．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知数列满足，
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和.
例8．（2023·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知数列的前n项和为，若，．
(1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由．
例9．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列满足：，，，.
(1)证明：数列为等差数列，并写出数列的通项；
例10．（2023·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在数列中，，.
(1)求证：为等差数列；
例11．（2023·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）设是数列的前n项和，已知，
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：当时，.
例12．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且，．
(1)求证：数列是等比数列．
(2)判断是否存在正整数p，q，r（）使得，，成等差数列．若存在，求出p，q，r的一组值；若不存在，请说明理由．
考点三：等差等比数列的交汇问题
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）若是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，，为的前n（）项和，则的值为 ．
例14．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列的前项和为，若成等比数列，则的最小值为 ．
例15．（2023·江苏南通·高三统考期中）已知等差数列前3项和，，，成等比数列，则数列的公差 ．
例16．（2023·江苏南通·高三统考期中）设等差数列的前项和为，且，是等比数列，满足，则 .
例17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列是公差不为0的等差数列，数列为等比数列，数列的前三项分别为1，2，6，则数列的通项公式为 ．
例18．（2023·北京·高三统考开学考试）已知数列的前n项和为，且，其中k，b不同时为0．给出下列四个结论：
①当时，为等比数列；
②当时，一定不是等差数列；
③当时，为常数列；
④当时，是单调递增数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
考点四：数列的通项公式
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式．
例19．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）（1）已知数列满足，，求的通项．
（2）数列中，，（n为正整数），求．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，．
(1)写出数列的前4项；
(2)求出数列的通项公式．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式．
例22．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求.
例23．（2023·全国·高三专题练习）设数列中，， （其中为常数），求．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求通项.
例25．（2023·全国·高三专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式．
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项公式．
例27．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
例28．（2023·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
例29．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.
例30．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和满足，，且，若数列的通项公式为，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，则的前n项和为 ．
例31．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，...，设第层有个球，则 .

例32．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列的前项和为，若，则 ．
例33．（2023·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ．
例34．（2023·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ．
考点五：数列求和
求数列前项和的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项：；
②根式裂项：；
③对数式裂项；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
例35．（2023·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）在数列中，．
(1)证明：数列为常数列．
(2)若，求数列的前项和．
例36．（2023·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，（）.
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)求证：（）.
例37．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）记为数列的前项和，已知：，（）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求和：．
例38．（2023·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，且（为常数）.
(1)若构成等比数列，求的值；
(2)若，且恒成立，求实数的最小值.
例39．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
例40．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
例41．（2023·全国·高三对口高考）数列是等比数列，前n项和，数列满足.
(1)求p的值及通项；
(2)求和.
例42．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知数列的前n项和为，___________，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，当时，，.记数列的前n项和为，求.
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例43．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
例44．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列满足，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
考点六：数列性质的综合问题
例45．（2023·上海杨浦·统考一模）等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例46．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列的前 n 项和 ，不等式 对任意恒成立， 则实数m的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．2
例47．（2023·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）在中，角所对的边分别是，且为的等差中项，则角最大值是（ ）
A．B．C．D．
例48．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
例49．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列中，，数列满足，则使得不等式成立的的最小值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
例50．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和，，且，若，（其中），则的最小值是（ ）
A．4B．2C．2023D．
例51．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列满（），且对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例52．（2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点七：实际应用中的数列问题
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．
（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
例53．（2023·河南·高二校联考期末）如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（ ）

A．mmB．mm
C．mmD．mm
例54．（2023·辽宁大连·高二统考期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A．B．C．D．
例55．（2023·贵州安顺·高二统考期末）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：，）
A．7B．8C．9D．10
考点八：以数列为载体的情境题
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
例56．（2023·全国·模拟预测）若为函数的导函数，数列满足，则称为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，其中，则 .
例57．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）把个位､十位､百位上的数依次成等差数列（公差小于0）的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶梯数”共有 个.
例58．（2023·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知数列满足.给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为 .
例59．（2023·河南新乡·统考一模）已知数列共有10项，且，若，则符合条件的不同数列有 个．
考点九：数列的递推问题
利用构造或猜想，解决数列递推问题
例60．（2023·全国·高三对口高考）平面上有个圆，每两个圆都相交于两点，且任三个圆都不共点，若个圆将平面分成的部分为，则与的关系为 ．
例61．（2023·上海·高三专题练习）已知数列6，9，14，21，30，…，对于任意的正整数与之间满足关系式： .
例62．（2023·山东德州·高三统考阶段练习）如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒时它从原点运动到点，接着它按图所示在轴､轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2022秒时，这个粒子所处的位置在点 .
例63．（2023·全国·高三专题练习）某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第次播放了余下的x条．
(1)设第次播放后余下条，这里，，求与的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
例64．（2023·浙江杭州·高二浙江省淳安中学校联考期中）阿司匹林（分子式，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.
例65．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，．
(1)试用，表示，．
(2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项．
考点要求
考题统计
考情分析
等差、等比数列
2023年甲卷第5、13题，10分
2022年乙卷第13题，5分
2021年II卷第17题，10分
2023年II卷第8题，5分
【命题预测】
2024年高考将重点考查：①由递推公式求通项公式与已知前项和或前项和与第项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和与 关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练.②数列求和部分仍将重点裂项相消法和错位相减法及与不等式恒成立等相关的数列综合问题，求和问题多为解答题第二问，难度为中档，数列综合问题为小题压轴题，为难题．
数列通项
2023年乙卷第18题，12分
2023年II卷第18题，12分
2022年I卷第17题，10分
2022年上海卷第21题，18分
数列求和
2023年甲卷第17题，12分
2022年甲卷第18题，12分
2021年I卷第16题，5分
2021年乙卷第19题，12分
2021年I卷第17题，10分