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最新中考数学思想方法讲与练 【分类讨论】等腰三角形中的分类讨论思想
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这是一份最新中考数学思想方法讲与练 【分类讨论】等腰三角形中的分类讨论思想，文件包含中考数学思想方法讲与练分类讨论等腰三角形中的分类讨论思想教师版docx、中考数学思想方法讲与练分类讨论等腰三角形中的分类讨论思想学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
等腰三角形中的分类讨论思想
知识方法精讲
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
2．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7.分类讨论思想
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋•昌平区期末）如图，已知中，，，在直线上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2021秋•綦江区期末）如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为
A．6B．7C．8D．9
3．（2021春•盐湖区校级期末）若等腰三角形的一个角是，则此等腰三角形的顶角为
A．B．C．或D．
4．（2021秋•长春期末）若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是
A．或B．或
C．或D．或或
5．（2021秋•洪山区期末）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中、在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为
A．7B．8C．9D．10
6．（2019秋•蜀山区期末）在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是
A．B．
C．或D．或或
7．（2020秋•河池期中）已知等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形的顶角为
A．B．C．或D．
二．填空题（共2小题）
8．（2021秋•淮南月考）如图，已知的半径为2．弦的长度为2，点是上一动点，若为等腰三角形，则的长为 ．
9．（2021秋•盐池县期末）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为 ．
三．解答题（共10小题）
10．（2021•婺城区模拟）在矩形中，，点是直线上（不与点重合）的动点，连结，过点作的垂线分别交直线、直线于点、，连结．
（1）如图，当，点是的中点时，求的值；
（2）当时，
①若与相似，求的长．
②若是等腰三角形，求的长．
11．（2021•高邮市二模）如图，是的高，，，，点是边上的一个动点（与、不重合），于点，，于点，交于点，连接．
（1）若点是的中点，则 ；
（2）在点的运动过程中，
①的值为 ；
②当点运动到何处时，线段最小？最小值是多少？
③当是等腰三角形时，求的长．
12．（2021秋•南沙区期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的半径为3．
（1）试判断点与的位置关系，并加以说明．
（2）若直线与相交，求的取值范围．
（3）若直线与相交于点，．点是轴正半轴上的一个动点，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标．
13．（2020秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在纸片中，，，，按图所示的方法将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，点是射线上的一个动点．
（1）求折痕长．
（2）点在线段上运动时，设，．求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（3）当是等腰三角形时，求的长．
14．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点，，．
（1）求点的坐标；
（2）若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
15．（2020秋•沈北新区校级期末）如图1，在中，，，，点以每秒个单位长度的速度从点处沿射线方向运动，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿边向点运动，点，两点同时出发，当运动至点时，点、同时停止运动，设点运动时间为秒．
（1）用含的代数式分别表示线段和的长度．则 ， ．
（2）若为等腰三角形，求值．
（3）如图2，以为对角线作正方形，在运动过程中，若正方形的一边恰好落在的一边上，请直接写出所有符合条件的值．
16．（2020秋•虹口区期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与、不重合），联结，设，．
（1）求的度数；
（2）求关于的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
17．（2021秋•鸡冠区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，点在轴上，，、的长分别是一元二次方程的两个根，且．
（1）求点的坐标；
（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点的直线与轴平行，直线交边或边于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．（2021秋•金牛区期末）如图，已知平面直角坐标系内，点，点，，连接．动点从点出发，沿线段向运动，到达点后立即停止，速度为每秒个单位，设运动时间为秒．
（1）当点运动到中点时，求此时的解析式；
（2）在（1）的条件下，若第二象限内有一点，当时，求的值；
（3）如图2，当点从点出发运动时，同时有点从出发，以每秒1个单位的速度沿直线向上运动，点停止运动，点也立即停止运动．过点作轴交于点．在运动过程中，是否存在，使得为等腰三角形？若存在，求出此时的值，若不存在，说明理由．
19．（2021秋•皇姑区期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点为直线上任意一点，过点作轴交直线于点，作轴于点，当时，设点的横坐标为，直接写出的值；
（3）连接，点为轴上一点，点在线段上（不与点重合）．当，且为等腰三角形时，直接写出点的横坐标．
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
等腰三角形中的分类讨论思想
知识方法精讲
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
2．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7.分类讨论思想
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋•昌平区期末）如图，已知中，，，在直线上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2021秋•綦江区期末）如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为
A．6B．7C．8D．9
3．（2021春•盐湖区校级期末）若等腰三角形的一个角是，则此等腰三角形的顶角为
A．B．C．或D．
4．（2021秋•长春期末）若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是
A．或B．或
C．或D．或或
5．（2021秋•洪山区期末）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中、在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为
A．7B．8C．9D．10
6．（2019秋•蜀山区期末）在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是
A．B．
C．或D．或或
7．（2020秋•河池期中）已知等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形的顶角为
A．B．C．或D．
二．填空题（共2小题）
8．（2021秋•淮南月考）如图，已知的半径为2．弦的长度为2，点是上一动点，若为等腰三角形，则的长为 ．
9．（2021秋•盐池县期末）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为 ．
三．解答题（共10小题）
10．（2021•婺城区模拟）在矩形中，，点是直线上（不与点重合）的动点，连结，过点作的垂线分别交直线、直线于点、，连结．
（1）如图，当，点是的中点时，求的值；
（2）当时，
①若与相似，求的长．
②若是等腰三角形，求的长．
11．（2021•高邮市二模）如图，是的高，，，，点是边上的一个动点（与、不重合），于点，，于点，交于点，连接．
（1）若点是的中点，则 ；
（2）在点的运动过程中，
①的值为 ；
②当点运动到何处时，线段最小？最小值是多少？
③当是等腰三角形时，求的长．
12．（2021秋•南沙区期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的半径为3．
（1）试判断点与的位置关系，并加以说明．
（2）若直线与相交，求的取值范围．
（3）若直线与相交于点，．点是轴正半轴上的一个动点，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标．
13．（2020秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在纸片中，，，，按图所示的方法将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，点是射线上的一个动点．
（1）求折痕长．
（2）点在线段上运动时，设，．求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（3）当是等腰三角形时，求的长．
14．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点，，．
（1）求点的坐标；
（2）若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
15．（2020秋•沈北新区校级期末）如图1，在中，，，，点以每秒个单位长度的速度从点处沿射线方向运动，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿边向点运动，点，两点同时出发，当运动至点时，点、同时停止运动，设点运动时间为秒．
（1）用含的代数式分别表示线段和的长度．则 ， ．
（2）若为等腰三角形，求值．
（3）如图2，以为对角线作正方形，在运动过程中，若正方形的一边恰好落在的一边上，请直接写出所有符合条件的值．
16．（2020秋•虹口区期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与、不重合），联结，设，．
（1）求的度数；
（2）求关于的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
17．（2021秋•鸡冠区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，点在轴上，，、的长分别是一元二次方程的两个根，且．
（1）求点的坐标；
（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点的直线与轴平行，直线交边或边于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．（2021秋•金牛区期末）如图，已知平面直角坐标系内，点，点，，连接．动点从点出发，沿线段向运动，到达点后立即停止，速度为每秒个单位，设运动时间为秒．
（1）当点运动到中点时，求此时的解析式；
（2）在（1）的条件下，若第二象限内有一点，当时，求的值；
（3）如图2，当点从点出发运动时，同时有点从出发，以每秒1个单位的速度沿直线向上运动，点停止运动，点也立即停止运动．过点作轴交于点．在运动过程中，是否存在，使得为等腰三角形？若存在，求出此时的值，若不存在，说明理由．
19．（2021秋•皇姑区期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点为直线上任意一点，过点作轴交直线于点，作轴于点，当时，设点的横坐标为，直接写出的值；
（3）连接，点为轴上一点，点在线段上（不与点重合）．当，且为等腰三角形时，直接写出点的横坐标．
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