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2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想
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这是一份2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想，共14页。试卷主要包含了分类思想，引起分类讨论的原因主要有，分类讨论的步骤，主要分类有等内容，欢迎下载使用。
2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想
一、分类思想：是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。
二、引起分类讨论的原因主要有：
1．涉及的数学概念是分类进行的
2．涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的
3．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论
4．某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等
三、分类讨论的步骤：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准，合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论。
四、主要分类有：
1.数与代数中的分类
2.几何中图形位置关系不确定的分类。
3.动点引起的分类
（一）.数与代数中的分类
1.概念中的分类
例.1.|m-n| =n-m,且|m| =4,|n| =3,则(m+n)²=（ ）
解∵|m| =4,|n| =3,所以 m=±4,n=±3,
又∵|m-n| =n-m,所以 n-m≥0,n≥m.
当 n=3时,m 可能取的值为-4, (m+n)²＝1;
当 n=-3 时,m 可能取值为-4,则(m+n)²＝49,
所以(m+n)²的值是 49 或 1.
小结：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的,正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误.
练习．（1）已知______
（2）已知a，b为有理数，且ab>0，则 的值为( )
2..(2009 年钦州)当 b≠0 时,比较1+b 与1 的大小;
解∵b ≠0 时, ∴ b>0 或 b<0.
当 b>0 时,1+b>1;
当 b<0 时,1+b<1.
小结：用分类讨论可以判断大小。
3.已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是 3,则这三个数分别为( )
解析：因为这三个不相等的正整数的中位数是3，这三个正整数为a,3,b(a<3
练习：某校三个绿化小组一天植树的棵数为 10,x,8,已知这组数据只有一个众数且众数等于中位数,那么这组数据的平均数是（ ）
4.
解：去分母可得：3(x+3)+ax=4(x−3)
∴3x+9+ax=4x−12
∴(a−1)x=−21，
当a−1≠0时，
∵该方程无解，
∴x=211−a代入x2−9=0
∴211−a=3或211−a=−3
解得：a=−6或a=8
当a−1=0时，
此时0=−21，符合题意，
∴a=1，
综上所述，a=1或a=−6或a=8
常见错误：很多同学会只考虑了有增根这一种情况，忽略了未知数的系数为0，导致漏解。
小结：分式方程无解有两种情况 1.分式方程的未知数的系数为0，则这个分式方程左右两边不相等，分式方程无解; 2.分式方程的最简公分母为0则分式方程无解。
练习：当a为何值时,关于x的方程x−ax−1−3x=1无解?
2.“一元二次”方程系数的分类讨论问题
5.已知方程 有实数根，求m的取值范围。
解：（1）当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=
（2）当 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得 ，且
综（1）（2）得，
常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
（变式）：函数y=ax²-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。
解:（1）当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（- ，0）；
（2）当a≠0时,为二次函数y=ax²+(3-a)x+1, △ =a² -10a+9=0.
解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（ ,0）
练习1. 已知方程有实数根，则m的取值范围 。
2.已知关于x的方程(k2－1)x2－2(k＋1)x＋1＝0有实数根，求k的取值范围。
3.函数y=ax2-（a-3）x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。
3.函数的增减性引起的分类
例.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式（ ）
解析：本题从函数的增减性考虑，应分两种情况：（1）k＞0 （2）k＜0 可列方程
-5=-3k+b -5=6k+b
-2=6k+b 或 -2=-3k+b
∴解析式为 y= -4, 或 y=- x-3
（二）几何中图形位置关系不确定的分类：
1.线段中分类讨思想的应用——线段及端点位置的不确定性引发讨论。
例1.已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4____。
练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.
解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上
（变式）、一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为60cm,请问这条绳子的长度为：90cm或180cm
解析:本题中绳子共分3段（1）当A为连接点时，绳子长60×3＝180
(2)当B为连接点时，AC＝60××=15，绳子长60＋15＋15＝90
练习：下列说法正确的是（ ）
A、两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。
C、两条射线不平行就相交。 D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
2.与角有关的分类讨论思想的应用——角的一边不确定性引发讨论。
例.在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）
练习：已知,过O作一条射线OC，射线OE平分，射线OD平分，求的大小。
（1）射线OC在内 （2）射线OC在外
这两种情况下，都有
小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然的大小不确定，但是所求的与的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。
3.三角形中分类讨论思想的应用
一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。
（1）三角形的形状不定需要分类讨论
例. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分论。
如图1，当△ABC的高在形内时，由
得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。
所以∠BCA＝∠BAD＝65°。
如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形,由，得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25°
所以 ∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°
2．在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°则底角∠B=（ ）
解：如图①,当AB的中垂线与线段AC相交时,则可得∠ADE=50∘，
∵∠AED=90∘，
∴∠A=90∘−50∘=40∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=180∘−∠A2=70∘；
如图②,当AB的中垂线与线段CA的延长线相交时,则可得∠ADE=50∘，
∵∠AED=90∘，
∴∠DAE=90∘−50∘=40∘，
∴∠BAC=140∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=180∘−∠A2=20∘.
∴底角∠B为70∘或20∘.
故答案为：70∘或20∘.
本题出错原因：学生经常漏掉钝角三角形这种情况，由于△ABC的形状不能确定，故应分△ABC是锐角三角形与两种情况进行讨论．
练习：等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
答案：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。
（2）等腰三角形的分类讨论：
1、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。
例5：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
（简析）已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。
小结：本题将几何问题转化为方程进行解答
练习：1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
2.在等腰三角形ABC中，∠A，∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b和c是关于x的方程 的两个实数根，求△ABC的周长。
2、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。
例、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°
练习1.若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。
Ａ 30 Ｂ 60 Ｃ 30或90 Ｄ 60
3．直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例. 已知x，y为直角三角形两边的长，满足
，则第三边的长为_____________。
解析：由，可得且
分别解这两个方程，可得满足条件的解，或
由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。
当两直角边长分别为2，2时，斜边长为；
当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；
当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。
综上，第三边的长为或或。
练习：矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
3．四边形中，位置不明确时需要分类讨论
例：在一张长为9厘米,宽为8厘米的矩形纸板上,剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余两个顶点在矩形的边上)，请你计算剪下的等腰三角形的面积?
解析：分三种情况计算：如图1
(1) 当AE=AF=5厘米时,
S△AEF=AE⋅AF=
(2)当AE=EF=5厘米时，如图2
BF=EF−BE==4
∴S△AEF=AE⋅BF=12×5×4=10
3)当AE=EF=5厘米时，如图3
DF=EF−DE==3，
S△AEF=AE⋅DF=×5×3=
小结：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上三种情况讨论．
练习1.在直角边分别为5cm和12cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长。
答案:3种情况 cm或cm或cm
变式：求菱形的周长，面积
2.在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
4．相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类
例1.如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）
(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)
解析：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法:（1）是过点作∥，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；
（2）是过点作，交边于点，这时，△APQ∽ △ABC ，于是有，即，解得. 所以的长为3或，故应选(B)。
例2.如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似。
M
分析 勾股定理可得AE=．当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
（1）当DM与BE是对应边时，
即．
（2）当DM与AB是对应边时，
E
，即， 故DM的长是．
练习1.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有 个.
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=900，AB＝7，AD＝2，BC=3，若在AB上一点P,若以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，则PA的长是 _____．
5.圆中位置不确定的分类
1. 在半径为5cm的圆内 有两条平行弦，弦AB=6cm, 弦CD=8cm, 求AB与CD间的距离.
分析：由于圆是轴对称图形，因此该题应分两种情况讨论。
（1）当AB和CD位于圆心O的同侧时，
如图所示：
OE==4cm,OF==3cm ,
则EF=OE-OF=4-3=1(cm).
(2）当AB和CD位于圆心O的异侧时，
如图所示：OE==4cm,OF==3cm ,
则EF=OE+OF=4+3=7(cm).
所以AB与CD间的距离是1cm或7cm。
练习.
1.在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．
解析：圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,（1）、圆与AB相切，此时r＝2.4；
（2）圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。
2.在△ABC中，AB=AC=5，．如果圆O的
半径为，且经过点B、C，那么线段AO的长等于 ．
答案：分2种情况 3或5
3.如图,直线AB经过O的圆心,与O相交于点A. B,点C在O上,且∠AOC=30∘,点P是直线AB上的一个动点(与O不重合)，直线PC与O相交于点Q，问：点P在直线AB的什么位
置上时，QP=QO?这样的点P共有几个?并相应地求出∠OCP的度数。
答案：分3种情况 40°，100°，20°
4.在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆心,以R为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的取值范围为多少？
5.△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC=2cm,则∠ A的度数是_______
6.直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
（三）动点问题的分类讨论问题：
（1）常见平面问题中动点问题的分类讨论；
例如1.如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以lcm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A B
C D
本题中，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
【分析】先根据动点P和Q的运动时间和速度表示：AP=t，AQ=2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项B不正确，从而得结论．
2.正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。
解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是 秒，秒， 秒，秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。∴（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|= (cm)
（2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t
（4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30
综上得
PD|=
小结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。
练习.如图,在Rt△ABC中,∠B=90∘,BC=53√,∠C=30∘.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动。设点D. E运动的时间是t
(t>0).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
(1)求证：AE=DF
(2)四边形AEFD有可能是菱形吗?若能，请你求出相应的t值；若不能，说明理由。
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由。
分析：（1）利用已知用未知数表示出DF，AE的长，进而得出AE=DF；
（2）首先得出四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD时，求出t的值，进而得出答案；
（3）分三种情况讨论：①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．故当t=52秒或4秒时，△DEF为直角三角形
（2）组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类
例1.已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。
解：△PAB是等腰三角形 但是没有说明那个边是腰就要讨论有3种情况
（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB，
交轨法： 本题要求的是D点P在X轴上，
（1）分别以点A ，B为圆心，AB长为半径作圆 看圆与X轴有几个交点 交点为点P，以A为圆心作圆与X轴有2个交点 ，以B为圆心作圆与X轴有一个交点
（2）再做AB的垂直平分线 与X轴的交点也是点P，AB的垂直平分线与X轴有一个交点 ，一共有4个交点
方程法：先可以求出B点坐标，A点坐标（9，0）。设P点坐标为，根据（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB，，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为。
变式：若本题改成P点在坐标轴上， 则有8个点P ，x 、y轴上各有4个
总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
二次函数作为初中重要知识点之一，其本身的中考直接考点有待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象性质等，形式单一，难度不大。但若以二次函数作为背景，结合等腰三角形、相似三角形、直角三角形、平行四边形、梯形乃至面积问题等等，题型变化就繁多起来。
此类问题常见于中考解答题，命题者青睐此类问题的原因有二：第一个原因是三角形或四边形等与二次函数结合到一起，体现了数形结合思想；第二是这类题的答案往往不唯一，可以考查学生的分类思想，也让学生解答时能有开拓创新的意识。
而分类讨论又是一种很重要的数学思想方法，渗透在整个初中数学结构体系之中，分类标准要恰当，否则不但繁复，而且极易造成重和漏。二次函数作为体现分类思想的一个常用的背景图象，借助平面直角坐标信息，通过点坐标可以得到线段长度、函数解析式甚至角度等等，无论是对分类依据的选择，还是对分类讨论之后的求解过程，都大有帮助
（1）二次函数背景下等腰三角形分类讨论题，二次函数常常作为“背景”，在求解时可以利用其中的有效信息。这类问题通常会给出两个顶点坐标，求第三个顶点，而第三个顶点又常常在与二次函数有关的某直线上，如例1的点Q在对称轴上，还可以变式为点Q在x轴上或在直线BC上等。
常用的解题步骤：1.求出第三个顶点所在的轨迹表达式y=f(x)；2.设第三个顶点的坐标（x, f(x)）；3.借助两点间距离公式，用x的代数式表示三边；4.两两相等建立方程后求解，并检验。
例1.如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。
分析：
（1） 根据题意易求得A、B、C三点坐标，根据三个点的特征，本题中
可以设“两根式”“顶点式”“一般式”都可以求出二次函数解析式。
（2）所要讨论的△ABQ中，顶点A、B是已知点，即一边已经确定，
第三个顶点的第一轨迹在抛物线的对称轴上，思路1：由于抛物线的对称轴为x=1。
所以可以设点Q坐标为（1，m），进而利用两点间的距离公式，表示出三边，两两相等，通过解方程，可获得Q点坐标。思路2：交轨法作图，探一探符合要求的点的大致位置。
解：（1）根据题意得，A（-1,0）B（0,3）C（3,0），设抛物线的解析式为
则，解得 ∴二次函数解析式为：
（2）∵，
∴该抛物线的对称轴为x=1。
设点Q坐标为（1，m），
则，。
当AB=AQ时（图1），，解得：，
∴Q1（1，）、Q2（1，）
当BA=BQ时（图2），，
解得：，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6），
又∵点（1，6）在直线上，
∴点A、B、Q在同一直线，不成立，∴Q3（1，0）。
当AQ=BQ时（图3），，
解得：，∴Q4点坐标为（1，1）。
综上：抛物线的对称轴上存在着点Q1（1，）、Q2（1，-）、Q3（1，0）、
Q4（1，1），使△ABQ是等腰三角形。
小结：
本题正是借助了二次函数的背景信息（点坐标、线段长），用代数法建立方程求得出符合必要条件的点坐标，再根据直观图舍去“必要但不充分”的点，进而准确解答本题，充分体现了函数背景下的数形结合思想。
练习：如图，已知二次函数 的图象经过点
A(-2，m）（m<0),与 y 轴交于点 B，AB∥x 轴，且B(0,-3)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点
（点C在左侧）．问线段BC上是否存在点p，
使△POC为等腰三角形；如果存在，
求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
(2)二次函数背景下的相似三角形的分类讨论问题，我们可以按以下步骤求解：
1.确定一对相等角。在两个需确定对应关系的相似三角形中，通过寻找公共角、直角、对顶角、内错角等等方式确定一对角相等，从而确定一组对应关系。
2.从边进行分类讨论。根据题目中的条件，适当设未知数，借助两点间距离公式表示出相等角的夹边，夹边交叉对应成比例建立相关未知数的方程，解方程则可以使问题得到解决。
3.检验并写出符合要求的结论。
例2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线
经过点A，顶点M在直线上．
（1） 求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点N，在对称轴上找一点P，使得△OPN和△AMN相似，求点P的坐标．
分析：
（1）由直线可以求得A，B的坐标，由直线与抛物线之间的关系，判断抛物线开口向下，且能求出顶点M，代入抛物线解析式即可；
（2）因为∠ANM=∠ONP=90°，因而使得△OPN和△AMN相似，有两种情况：①，②
解（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B
∴B（0，8）、A（4，0）
∵抛物线经过原点及点A，且顶点M在直线上
∴a＜0，对称轴为，∴M（2,4）
∴ 解得：a=-1，b=4． ∴抛物线解析式为：y=-x2+4x；
（2）由题意设点P（2，y），则PN=．要使得△OPN和△AMN相似
∵∠ANM=∠OPN=90° ∴分两种情况：
① ,则，解得=1．
∴点P（2，1）或（2，-1）；
② ,则，解得=4．
∴点P坐标为：（2，4）或（2，-4）．
综上，点P坐标为：（2，1）或（2，4）或（2，-1）或（2，-4）．
小结：作为体现分类思想的一个绝好的载体，相似三角形常常因为对应边或对应角的不确定而需要加以分类讨论。分类标准要恰当，否则不但繁复，而且极易造成重和漏。
本题同样需要借助二次函数的背景信息（角度、点坐标、线段长），用代数法建立方程，比较容易得求出符合条件的点坐标。
(2) 二次函数背景下的直角三角形，因为其直角的不确定性而需要加以分类讨论，通常依靠图像信息对直角进行分类讨论，可以借助图象排除其中的一些情况之后，再利用点、线、斜率等知识列出代数方程求解。
例3.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，且经过点E（3，2）．抛物线上是否存在一点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由；
分析：
由抛物线的形状可知，如果△ABM为直角三角形，那么直角顶点只能是点M．可以排除其它两种直角情况。设M点的坐标为，过M点作MN⊥AB于N，由△AMN∽△MBN，得出MN²＝AN·BN,列方程求解即可。
解：由抛物线的形状可知，如果△ABM为直角三角形，
那么直角顶点只能是点M，且点M在x轴下方．
设M点的坐标为（x，x2-2x-1）
过M点作MN⊥AB于N
∵y=x2-2x-1，
∴当y=0时，x2-2x-1=0，解得
∴
易证△AMN∽△MBN
∴ ∴MN²＝AN·BN
即
整理，得x4-4x3+3x2+2x=0，因式分解，得x·（x-2）·（x2-2x-1）=0
如果x2-2x-1=0，那么点M与点A或点B重合，不合题意舍去
∴x=0或2，
∴M点的坐标为（0，-1）或（2，-1）
小结：本题是二次函数的直角三角形问题，首先利用背景信息排出了两种直角三角形的情况，简化了解题过程。在求解过程中，涉及到抛物线的性质、相似三角形的判定与性质、一元高次方程的解法等等。
练习：如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)二次函数中的面积问题，大致分为两类：一类，二次函数解析式已知，由已知的解析式确定几何图形的顶点坐标，利用直接法或间接法求得图形面积或满足条件的点的坐标。另一类，已知图形面积或两个图形的关系运用面积公式或相似三角形的性质、等高(或同高)等底（或同底）的三角形的性质以及割补等方法建立方程求二次函数解析式。
例4.若抛物线交轴于A、B两点（A在B左侧），交轴于点C，顶点为D.
（1）求四边形ABCD的面积。
（2）在抛物线是否存在点P，使，若有，求出点P坐标，若不存在说明理由。
分析：
（1）通过解析式得到A、B、C、D四点坐标，再用割补法求解不规则四边形的面积，如联结OD可分解为三个三角形：△AOD、△COD、△OBC分别求面积再求和即可。
（2）借助两个三角形的同底特征，利用函数背景信息求解。
解：
方法一：由解析式设点P（，）
可得P至轴距离为.
(★因P点纵坐标符号不确定故需加绝对值)
由题意可求得，AB=4
可列方程：
解得：；（舍）；； .
∴P点坐标为（）或（）或（）.
方法二：∵△ABP与△ABC同以AB为底且等面积
∴两三角形等高即P、C至轴距离相等且都为，
∴P点纵坐标为或（★从线段长转化至点坐标同样要注意符号，若不确定则分类讨论）
当时，；（舍）；
当时，； .
∴P点坐标为（）或（）或（）.
小结：
二次函数背景下的图形面积问题一般可以沿“”的思路来完成分析与解题。
方法一（从左至右）：利用解析式得到图形关键点的坐标，进而得到求面积所用线段的长度（此步要特别注意正负符号），再进而利用面积类条件来列方程或直接求面积；
方法二（从右至左）：利用面积类条件得到线段的长度，进而得到关键点的坐标，再进而求解析式。
练习：如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：
①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，
求所有符合条件的点M的坐标；
②若探究①中的M点位于第四象限，
连接M点与抛物线顶点F，试判断直线
MF与⊙E的位置关系，并说明理由．
(5)以二次函数为载体的四边形“存在性”问题，综合应用要求较高，常需要根据四边形的特殊性质，将问题分类讨论，逐类解决。比如平行四边形中的两组对边分别平行和对角线互相平分都常常被用作解决问题的方法和策略。
例5.如图,平面直角坐标系中(点O为原点)，抛物线与y轴交于点C，顶点为D，在平面内求出点Ｐ，使点Ｏ、Ｃ、Ｄ、Ｐ是一个平行四边形的四个顶点.
分析：
由已知条件可确定三个定点:O（0，0）、C（0，3）、D（1，4），寻找与这三个点构成平行四边形的第四顶点P。三个定点确定三条定线段：OC、OD、CD。作
为平行四边形的构成要素,这三条定线段可以是分别为边也可以分别为对角线。从这一视角可以展开多种解法。
解：
（1）当OC为对角线
可得OC中点 E
∵D(1，4) 又∵E为DP1中点
∴P1（-1，-1）
（2）当OD为对角线
可得OD中点 F
∵C(0,3) 又 ∵F为CP2中点
∴P2（1，1）
（3）当CD为对角线
可得CD中点 G
∵O(0,0) 又 ∵G为OP3中点
∴P3（1，7）
综上所述，P1（-1，-1）P2（1，1） P3（1，7）
小结：本题中，先逐一认定三条定线段为对角线，实施分类。再利用二次函数背景下的点坐标、线段长、中点等信息，并运用平行四边形对角线互相平分的性质，使用中点公式列式，数形结合求解。
练习：如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
总之，分类讨论思想不光在数学考试中有着重要的作用，在我们日常生活中，分析问题和解决问题时也常常需要用到分类讨论思想。
2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想
一、分类思想：是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。
二、引起分类讨论的原因主要有：
1．涉及的数学概念是分类进行的
2．涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的
3．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论
4．某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等
三、分类讨论的步骤：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准，合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论。
四、主要分类有：
1.数与代数中的分类
2.几何中图形位置关系不确定的分类。
3.动点引起的分类
（一）.数与代数中的分类
1.概念中的分类
例.1.|m-n| =n-m,且|m| =4,|n| =3,则(m+n)²=（ ）
解∵|m| =4,|n| =3,所以 m=±4,n=±3,
又∵|m-n| =n-m,所以 n-m≥0,n≥m.
当 n=3时,m 可能取的值为-4, (m+n)²＝1;
当 n=-3 时,m 可能取值为-4,则(m+n)²＝49,
所以(m+n)²的值是 49 或 1.
小结：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的,正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误.
练习．（1）已知______
（2）已知a，b为有理数，且ab>0，则 的值为( )
2..(2009 年钦州)当 b≠0 时,比较1+b 与1 的大小;
解∵b ≠0 时, ∴ b>0 或 b<0.
当 b>0 时,1+b>1;
当 b<0 时,1+b<1.
小结：用分类讨论可以判断大小。
3.已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是 3,则这三个数分别为( )
解析：因为这三个不相等的正整数的中位数是3，这三个正整数为a,3,b(a<3
练习：某校三个绿化小组一天植树的棵数为 10,x,8,已知这组数据只有一个众数且众数等于中位数,那么这组数据的平均数是（ ）
4.
解：去分母可得：3(x+3)+ax=4(x−3)
∴3x+9+ax=4x−12
∴(a−1)x=−21，
当a−1≠0时，
∵该方程无解，
∴x=211−a代入x2−9=0
∴211−a=3或211−a=−3
解得：a=−6或a=8
当a−1=0时，
此时0=−21，符合题意，
∴a=1，
综上所述，a=1或a=−6或a=8
常见错误：很多同学会只考虑了有增根这一种情况，忽略了未知数的系数为0，导致漏解。
小结：分式方程无解有两种情况 1.分式方程的未知数的系数为0，则这个分式方程左右两边不相等，分式方程无解; 2.分式方程的最简公分母为0则分式方程无解。
练习：当a为何值时,关于x的方程x−ax−1−3x=1无解?
2.“一元二次”方程系数的分类讨论问题
5.已知方程 有实数根，求m的取值范围。
解：（1）当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=
（2）当 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得 ，且
综（1）（2）得，
常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
（变式）：函数y=ax²-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。
解:（1）当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（- ，0）；
（2）当a≠0时,为二次函数y=ax²+(3-a)x+1, △ =a² -10a+9=0.
解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（ ,0）
练习1. 已知方程有实数根，则m的取值范围 。
2.已知关于x的方程(k2－1)x2－2(k＋1)x＋1＝0有实数根，求k的取值范围。
3.函数y=ax2-（a-3）x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。
3.函数的增减性引起的分类
例.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式（ ）
解析：本题从函数的增减性考虑，应分两种情况：（1）k＞0 （2）k＜0 可列方程
-5=-3k+b -5=6k+b
-2=6k+b 或 -2=-3k+b
∴解析式为 y= -4, 或 y=- x-3
（二）几何中图形位置关系不确定的分类：
1.线段中分类讨思想的应用——线段及端点位置的不确定性引发讨论。
例1.已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4____。
练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.
解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上
（变式）、一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为60cm,请问这条绳子的长度为：90cm或180cm
解析:本题中绳子共分3段（1）当A为连接点时，绳子长60×3＝180
(2)当B为连接点时，AC＝60××=15，绳子长60＋15＋15＝90
练习：下列说法正确的是（ ）
A、两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。
C、两条射线不平行就相交。 D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
2.与角有关的分类讨论思想的应用——角的一边不确定性引发讨论。
例.在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）
练习：已知,过O作一条射线OC，射线OE平分，射线OD平分，求的大小。
（1）射线OC在内 （2）射线OC在外
这两种情况下，都有
小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然的大小不确定，但是所求的与的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。
3.三角形中分类讨论思想的应用
一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。
（1）三角形的形状不定需要分类讨论
例. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分论。
如图1，当△ABC的高在形内时，由
得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。
所以∠BCA＝∠BAD＝65°。
如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形,由，得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25°
所以 ∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°
2．在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°则底角∠B=（ ）
解：如图①,当AB的中垂线与线段AC相交时,则可得∠ADE=50∘，
∵∠AED=90∘，
∴∠A=90∘−50∘=40∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=180∘−∠A2=70∘；
如图②,当AB的中垂线与线段CA的延长线相交时,则可得∠ADE=50∘，
∵∠AED=90∘，
∴∠DAE=90∘−50∘=40∘，
∴∠BAC=140∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=180∘−∠A2=20∘.
∴底角∠B为70∘或20∘.
故答案为：70∘或20∘.
本题出错原因：学生经常漏掉钝角三角形这种情况，由于△ABC的形状不能确定，故应分△ABC是锐角三角形与两种情况进行讨论．
练习：等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
答案：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。
（2）等腰三角形的分类讨论：
1、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。
例5：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
（简析）已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。
小结：本题将几何问题转化为方程进行解答
练习：1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
2.在等腰三角形ABC中，∠A，∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b和c是关于x的方程 的两个实数根，求△ABC的周长。
2、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。
例、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°
练习1.若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。
Ａ 30 Ｂ 60 Ｃ 30或90 Ｄ 60
3．直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例. 已知x，y为直角三角形两边的长，满足
，则第三边的长为_____________。
解析：由，可得且
分别解这两个方程，可得满足条件的解，或
由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。
当两直角边长分别为2，2时，斜边长为；
当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；
当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。
综上，第三边的长为或或。
练习：矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
3．四边形中，位置不明确时需要分类讨论
例：在一张长为9厘米,宽为8厘米的矩形纸板上,剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余两个顶点在矩形的边上)，请你计算剪下的等腰三角形的面积?
解析：分三种情况计算：如图1
(1) 当AE=AF=5厘米时,
S△AEF=AE⋅AF=
(2)当AE=EF=5厘米时，如图2
BF=EF−BE==4
∴S△AEF=AE⋅BF=12×5×4=10
3)当AE=EF=5厘米时，如图3
DF=EF−DE==3，
S△AEF=AE⋅DF=×5×3=
小结：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上三种情况讨论．
练习1.在直角边分别为5cm和12cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长。
答案:3种情况 cm或cm或cm
变式：求菱形的周长，面积
2.在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
4．相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类
例1.如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）
(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)
解析：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法:（1）是过点作∥，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；
（2）是过点作，交边于点，这时，△APQ∽ △ABC ，于是有，即，解得. 所以的长为3或，故应选(B)。
例2.如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似。
M
分析 勾股定理可得AE=．当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
（1）当DM与BE是对应边时，
即．
（2）当DM与AB是对应边时，
E
，即， 故DM的长是．
练习1.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有 个.
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=900，AB＝7，AD＝2，BC=3，若在AB上一点P,若以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，则PA的长是 _____．
5.圆中位置不确定的分类
1. 在半径为5cm的圆内 有两条平行弦，弦AB=6cm, 弦CD=8cm, 求AB与CD间的距离.
分析：由于圆是轴对称图形，因此该题应分两种情况讨论。
（1）当AB和CD位于圆心O的同侧时，
如图所示：
OE==4cm,OF==3cm ,
则EF=OE-OF=4-3=1(cm).
(2）当AB和CD位于圆心O的异侧时，
如图所示：OE==4cm,OF==3cm ,
则EF=OE+OF=4+3=7(cm).
所以AB与CD间的距离是1cm或7cm。
练习.
1.在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．
解析：圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,（1）、圆与AB相切，此时r＝2.4；
（2）圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。
2.在△ABC中，AB=AC=5，．如果圆O的
半径为，且经过点B、C，那么线段AO的长等于 ．
答案：分2种情况 3或5
3.如图,直线AB经过O的圆心,与O相交于点A. B,点C在O上,且∠AOC=30∘,点P是直线AB上的一个动点(与O不重合)，直线PC与O相交于点Q，问：点P在直线AB的什么位
置上时，QP=QO?这样的点P共有几个?并相应地求出∠OCP的度数。
答案：分3种情况 40°，100°，20°
4.在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆心,以R为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的取值范围为多少？
5.△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC=2cm,则∠ A的度数是_______
6.直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
（三）动点问题的分类讨论问题：
（1）常见平面问题中动点问题的分类讨论；
例如1.如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以lcm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A B
C D
本题中，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
【分析】先根据动点P和Q的运动时间和速度表示：AP=t，AQ=2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项B不正确，从而得结论．
2.正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。
解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是 秒，秒， 秒，秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。∴（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|= (cm)
（2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t
（4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30
综上得
PD|=
小结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。
练习.如图,在Rt△ABC中,∠B=90∘,BC=53√,∠C=30∘.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动。设点D. E运动的时间是t
(t>0).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
(1)求证：AE=DF
(2)四边形AEFD有可能是菱形吗?若能，请你求出相应的t值；若不能，说明理由。
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由。
分析：（1）利用已知用未知数表示出DF，AE的长，进而得出AE=DF；
（2）首先得出四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD时，求出t的值，进而得出答案；
（3）分三种情况讨论：①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．故当t=52秒或4秒时，△DEF为直角三角形
（2）组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类
例1.已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。
解：△PAB是等腰三角形 但是没有说明那个边是腰就要讨论有3种情况
（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB，
交轨法： 本题要求的是D点P在X轴上，
（1）分别以点A ，B为圆心，AB长为半径作圆 看圆与X轴有几个交点 交点为点P，以A为圆心作圆与X轴有2个交点 ，以B为圆心作圆与X轴有一个交点
（2）再做AB的垂直平分线 与X轴的交点也是点P，AB的垂直平分线与X轴有一个交点 ，一共有4个交点
方程法：先可以求出B点坐标，A点坐标（9，0）。设P点坐标为，根据（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB，，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为。
变式：若本题改成P点在坐标轴上， 则有8个点P ，x 、y轴上各有4个
总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
二次函数作为初中重要知识点之一，其本身的中考直接考点有待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象性质等，形式单一，难度不大。但若以二次函数作为背景，结合等腰三角形、相似三角形、直角三角形、平行四边形、梯形乃至面积问题等等，题型变化就繁多起来。
此类问题常见于中考解答题，命题者青睐此类问题的原因有二：第一个原因是三角形或四边形等与二次函数结合到一起，体现了数形结合思想；第二是这类题的答案往往不唯一，可以考查学生的分类思想，也让学生解答时能有开拓创新的意识。
而分类讨论又是一种很重要的数学思想方法，渗透在整个初中数学结构体系之中，分类标准要恰当，否则不但繁复，而且极易造成重和漏。二次函数作为体现分类思想的一个常用的背景图象，借助平面直角坐标信息，通过点坐标可以得到线段长度、函数解析式甚至角度等等，无论是对分类依据的选择，还是对分类讨论之后的求解过程，都大有帮助
（1）二次函数背景下等腰三角形分类讨论题，二次函数常常作为“背景”，在求解时可以利用其中的有效信息。这类问题通常会给出两个顶点坐标，求第三个顶点，而第三个顶点又常常在与二次函数有关的某直线上，如例1的点Q在对称轴上，还可以变式为点Q在x轴上或在直线BC上等。
常用的解题步骤：1.求出第三个顶点所在的轨迹表达式y=f(x)；2.设第三个顶点的坐标（x, f(x)）；3.借助两点间距离公式，用x的代数式表示三边；4.两两相等建立方程后求解，并检验。
例1.如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。
分析：
（1） 根据题意易求得A、B、C三点坐标，根据三个点的特征，本题中
可以设“两根式”“顶点式”“一般式”都可以求出二次函数解析式。
（2）所要讨论的△ABQ中，顶点A、B是已知点，即一边已经确定，
第三个顶点的第一轨迹在抛物线的对称轴上，思路1：由于抛物线的对称轴为x=1。
所以可以设点Q坐标为（1，m），进而利用两点间的距离公式，表示出三边，两两相等，通过解方程，可获得Q点坐标。思路2：交轨法作图，探一探符合要求的点的大致位置。
解：（1）根据题意得，A（-1,0）B（0,3）C（3,0），设抛物线的解析式为
则，解得 ∴二次函数解析式为：
（2）∵，
∴该抛物线的对称轴为x=1。
设点Q坐标为（1，m），
则，。
当AB=AQ时（图1），，解得：，
∴Q1（1，）、Q2（1，）
当BA=BQ时（图2），，
解得：，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6），
又∵点（1，6）在直线上，
∴点A、B、Q在同一直线，不成立，∴Q3（1，0）。
当AQ=BQ时（图3），，
解得：，∴Q4点坐标为（1，1）。
综上：抛物线的对称轴上存在着点Q1（1，）、Q2（1，-）、Q3（1，0）、
Q4（1，1），使△ABQ是等腰三角形。
小结：
本题正是借助了二次函数的背景信息（点坐标、线段长），用代数法建立方程求得出符合必要条件的点坐标，再根据直观图舍去“必要但不充分”的点，进而准确解答本题，充分体现了函数背景下的数形结合思想。
练习：如图，已知二次函数 的图象经过点
A(-2，m）（m<0),与 y 轴交于点 B，AB∥x 轴，且B(0,-3)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点
（点C在左侧）．问线段BC上是否存在点p，
使△POC为等腰三角形；如果存在，
求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
(2)二次函数背景下的相似三角形的分类讨论问题，我们可以按以下步骤求解：
1.确定一对相等角。在两个需确定对应关系的相似三角形中，通过寻找公共角、直角、对顶角、内错角等等方式确定一对角相等，从而确定一组对应关系。
2.从边进行分类讨论。根据题目中的条件，适当设未知数，借助两点间距离公式表示出相等角的夹边，夹边交叉对应成比例建立相关未知数的方程，解方程则可以使问题得到解决。
3.检验并写出符合要求的结论。
例2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线
经过点A，顶点M在直线上．
（1） 求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点N，在对称轴上找一点P，使得△OPN和△AMN相似，求点P的坐标．
分析：
（1）由直线可以求得A，B的坐标，由直线与抛物线之间的关系，判断抛物线开口向下，且能求出顶点M，代入抛物线解析式即可；
（2）因为∠ANM=∠ONP=90°，因而使得△OPN和△AMN相似，有两种情况：①，②
解（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B
∴B（0，8）、A（4，0）
∵抛物线经过原点及点A，且顶点M在直线上
∴a＜0，对称轴为，∴M（2,4）
∴ 解得：a=-1，b=4． ∴抛物线解析式为：y=-x2+4x；
（2）由题意设点P（2，y），则PN=．要使得△OPN和△AMN相似
∵∠ANM=∠OPN=90° ∴分两种情况：
① ,则，解得=1．
∴点P（2，1）或（2，-1）；
② ,则，解得=4．
∴点P坐标为：（2，4）或（2，-4）．
综上，点P坐标为：（2，1）或（2，4）或（2，-1）或（2，-4）．
小结：作为体现分类思想的一个绝好的载体，相似三角形常常因为对应边或对应角的不确定而需要加以分类讨论。分类标准要恰当，否则不但繁复，而且极易造成重和漏。
本题同样需要借助二次函数的背景信息（角度、点坐标、线段长），用代数法建立方程，比较容易得求出符合条件的点坐标。
(2) 二次函数背景下的直角三角形，因为其直角的不确定性而需要加以分类讨论，通常依靠图像信息对直角进行分类讨论，可以借助图象排除其中的一些情况之后，再利用点、线、斜率等知识列出代数方程求解。
例3.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，且经过点E（3，2）．抛物线上是否存在一点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由；
分析：
由抛物线的形状可知，如果△ABM为直角三角形，那么直角顶点只能是点M．可以排除其它两种直角情况。设M点的坐标为，过M点作MN⊥AB于N，由△AMN∽△MBN，得出MN²＝AN·BN,列方程求解即可。
解：由抛物线的形状可知，如果△ABM为直角三角形，
那么直角顶点只能是点M，且点M在x轴下方．
设M点的坐标为（x，x2-2x-1）
过M点作MN⊥AB于N
∵y=x2-2x-1，
∴当y=0时，x2-2x-1=0，解得
∴
易证△AMN∽△MBN
∴ ∴MN²＝AN·BN
即
整理，得x4-4x3+3x2+2x=0，因式分解，得x·（x-2）·（x2-2x-1）=0
如果x2-2x-1=0，那么点M与点A或点B重合，不合题意舍去
∴x=0或2，
∴M点的坐标为（0，-1）或（2，-1）
小结：本题是二次函数的直角三角形问题，首先利用背景信息排出了两种直角三角形的情况，简化了解题过程。在求解过程中，涉及到抛物线的性质、相似三角形的判定与性质、一元高次方程的解法等等。
练习：如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)二次函数中的面积问题，大致分为两类：一类，二次函数解析式已知，由已知的解析式确定几何图形的顶点坐标，利用直接法或间接法求得图形面积或满足条件的点的坐标。另一类，已知图形面积或两个图形的关系运用面积公式或相似三角形的性质、等高(或同高)等底（或同底）的三角形的性质以及割补等方法建立方程求二次函数解析式。
例4.若抛物线交轴于A、B两点（A在B左侧），交轴于点C，顶点为D.
（1）求四边形ABCD的面积。
（2）在抛物线是否存在点P，使，若有，求出点P坐标，若不存在说明理由。
分析：
（1）通过解析式得到A、B、C、D四点坐标，再用割补法求解不规则四边形的面积，如联结OD可分解为三个三角形：△AOD、△COD、△OBC分别求面积再求和即可。
（2）借助两个三角形的同底特征，利用函数背景信息求解。
解：
方法一：由解析式设点P（，）
可得P至轴距离为.
(★因P点纵坐标符号不确定故需加绝对值)
由题意可求得，AB=4
可列方程：
解得：；（舍）；； .
∴P点坐标为（）或（）或（）.
方法二：∵△ABP与△ABC同以AB为底且等面积
∴两三角形等高即P、C至轴距离相等且都为，
∴P点纵坐标为或（★从线段长转化至点坐标同样要注意符号，若不确定则分类讨论）
当时，；（舍）；
当时，； .
∴P点坐标为（）或（）或（）.
小结：
二次函数背景下的图形面积问题一般可以沿“”的思路来完成分析与解题。
方法一（从左至右）：利用解析式得到图形关键点的坐标，进而得到求面积所用线段的长度（此步要特别注意正负符号），再进而利用面积类条件来列方程或直接求面积；
方法二（从右至左）：利用面积类条件得到线段的长度，进而得到关键点的坐标，再进而求解析式。
练习：如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：
①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，
求所有符合条件的点M的坐标；
②若探究①中的M点位于第四象限，
连接M点与抛物线顶点F，试判断直线
MF与⊙E的位置关系，并说明理由．
(5)以二次函数为载体的四边形“存在性”问题，综合应用要求较高，常需要根据四边形的特殊性质，将问题分类讨论，逐类解决。比如平行四边形中的两组对边分别平行和对角线互相平分都常常被用作解决问题的方法和策略。
例5.如图,平面直角坐标系中(点O为原点)，抛物线与y轴交于点C，顶点为D，在平面内求出点Ｐ，使点Ｏ、Ｃ、Ｄ、Ｐ是一个平行四边形的四个顶点.
分析：
由已知条件可确定三个定点:O（0，0）、C（0，3）、D（1，4），寻找与这三个点构成平行四边形的第四顶点P。三个定点确定三条定线段：OC、OD、CD。作
为平行四边形的构成要素,这三条定线段可以是分别为边也可以分别为对角线。从这一视角可以展开多种解法。
解：
（1）当OC为对角线
可得OC中点 E
∵D(1，4) 又∵E为DP1中点
∴P1（-1，-1）
（2）当OD为对角线
可得OD中点 F
∵C(0,3) 又 ∵F为CP2中点
∴P2（1，1）
（3）当CD为对角线
可得CD中点 G
∵O(0,0) 又 ∵G为OP3中点
∴P3（1，7）
综上所述，P1（-1，-1）P2（1，1） P3（1，7）
小结：本题中，先逐一认定三条定线段为对角线，实施分类。再利用二次函数背景下的点坐标、线段长、中点等信息，并运用平行四边形对角线互相平分的性质，使用中点公式列式，数形结合求解。
练习：如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
总之，分类讨论思想不光在数学考试中有着重要的作用，在我们日常生活中，分析问题和解决问题时也常常需要用到分类讨论思想。
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