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最新中考数学思想方法讲与练 【分类讨论】直角三角形中的分类讨论思想
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这是一份最新中考数学思想方法讲与练 【分类讨论】直角三角形中的分类讨论思想，文件包含中考数学思想方法讲与练分类讨论直角三角形中的分类讨论思想教师版docx、中考数学思想方法讲与练分类讨论直角三角形中的分类讨论思想学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
直角三角形中的分类讨论思想
知识方法精讲
1．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
5.分类讨论思想
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
一．选择题（共4小题）
1．（2021•大庆模拟）已知，，，则的面积为
A．6或B．6或C．12或D．12或
2．有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为
A．3B．C．3或D．3或
3．将等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点逆时针旋转至△的位置，点的横坐标为2，则点的坐标为
A．B．，C．D．，
4．（2021秋•阳信县月考）在中，，，的对边分别为，，，，，则的长为
A．2B．C．4D．4或
二．填空题（共8小题）
5．（2020秋•普陀区期末）在中，，，点为边上一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，联结，如果是以为直角边的等腰直角三角形，那么的长等于 ．
6．（2020秋•九江期末）已知在平面直角坐标系中，、、．点在轴上运动，当点与点、、三点中任意两点构成直角三角形时，点的坐标为 ．
7．（2021•南浔区二模）如图是用三张大小各不相同的正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五张大小各不相同的正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三张，按如图方式组成图案，所围成的的面积可以为 ．
8．（2021春•柳南区校级期末）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ．
9．（2021秋•乐平市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．
10．（2021秋•鼓楼区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为 ．
11．（2021秋•徐州期中）已知一个直角三角形的两条边长分别为1和2，则第三条边长的平方是 ．
12．（2021秋•诸暨市期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，．若保持△的一边与平行，则的度数 ．
三．解答题（共11小题）
13．（2020秋•德惠市期末）如图，是等边三角形，．动点，分别从点、同时出发，动点以的速度沿向终点运动．动点以的速度沿射线运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．点出发后，过点作交于点，连结，以为边作等边三角形，连结，设点的运动时间为．
（1）用含的代数式表示的长．
（2）求的周长（用含的代数式表示）．
（3）求的长（用含的代数式表示）．
（4）当的边与垂直时，直接写出的值．
14．（2021秋•历下区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点是轴上一动点，求最大时的值；
（3）连接，在反比例函数图象上是否存在点，平面内是否存在点，使得四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2021秋•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点为轴上一个动点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点的坐标为，过点作直线轴，分别交直线，于点，．求的面积；
（3）若以点、、为顶点的三角形为直角三角形，求点的坐标．
16．（2021秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，，且满足．
（1） ， ；
（2）点在直线的右侧：且；
①若点在轴上（图，则点的坐标为 ；
②若为直角三角形，求点的坐标．
17．（2021秋•嵩县期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若是直角三角形，求的度数．
18．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在中，，，，点，分别在边，上，在线段左侧构造，使．
（1）如图1，若，点与点重合，与相交于点．求证：．
（2）当时，连接，取的中点，连接．
①如图2，若点落在边上，求的长．
②是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．
19．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．（三角形可用符号△表示，面积用符号表示）
（1）直接写出点，的坐标；
（2）在轴上是否存在点，连接，，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若动点从点出发，沿着轴正方向运动；当是直角三角形时，求长．
20．（2021秋•郸城县月考）（1）观察猜想：如图1，是以、为腰的等腰三角形，点、点分别在、上，且，将绕点逆时针旋转．如图1：请直接写出旋转后与的数量关系 ．
（2）探究证明：如图2，是以为直角顶点的等腰直角三角形，分别交与两边于点、点．将绕点逆时针旋转至图2所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，是直角三角形，，，、分别是与的中点，现将绕点旋转（旋转角，当是直角三角形时，求的长．
21．（2021秋•尤溪县期中）已知组正整数：第一组：，3，；第二组：，8，；第三组：，15，；第四组：，24，；第五组：，35，；
（1）写出符合上述规律的第六组三个数： ；
（2）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80？若存在，请求出这组数；若不存在，请说明理由；
（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
22．（2021秋•仪征市期中）如图，在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的周长．
（2）问为何值时，为等腰三角形？
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
23．（2021秋•杭锦后旗期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为．
（1）则当为何值时，是等边三角形？
（2）则当为何值时，是直角三角形？
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
直角三角形中的分类讨论思想
知识方法精讲
1．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
5.分类讨论思想
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
一．选择题（共4小题）
1．（2021•大庆模拟）已知，，，则的面积为
A．6或B．6或C．12或D．12或
2．有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为
A．3B．C．3或D．3或
3．将等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点逆时针旋转至△的位置，点的横坐标为2，则点的坐标为
A．B．，C．D．，
4．（2021秋•阳信县月考）在中，，，的对边分别为，，，，，则的长为
A．2B．C．4D．4或
二．填空题（共8小题）
5．（2020秋•普陀区期末）在中，，，点为边上一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，联结，如果是以为直角边的等腰直角三角形，那么的长等于 ．
6．（2020秋•九江期末）已知在平面直角坐标系中，、、．点在轴上运动，当点与点、、三点中任意两点构成直角三角形时，点的坐标为 ．
7．（2021•南浔区二模）如图是用三张大小各不相同的正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五张大小各不相同的正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三张，按如图方式组成图案，所围成的的面积可以为 ．
8．（2021春•柳南区校级期末）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ．
9．（2021秋•乐平市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．
10．（2021秋•鼓楼区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为 ．
11．（2021秋•徐州期中）已知一个直角三角形的两条边长分别为1和2，则第三条边长的平方是 ．
12．（2021秋•诸暨市期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，．若保持△的一边与平行，则的度数 ．
三．解答题（共11小题）
13．（2020秋•德惠市期末）如图，是等边三角形，．动点，分别从点、同时出发，动点以的速度沿向终点运动．动点以的速度沿射线运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．点出发后，过点作交于点，连结，以为边作等边三角形，连结，设点的运动时间为．
（1）用含的代数式表示的长．
（2）求的周长（用含的代数式表示）．
（3）求的长（用含的代数式表示）．
（4）当的边与垂直时，直接写出的值．
14．（2021秋•历下区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点是轴上一动点，求最大时的值；
（3）连接，在反比例函数图象上是否存在点，平面内是否存在点，使得四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2021秋•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点为轴上一个动点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点的坐标为，过点作直线轴，分别交直线，于点，．求的面积；
（3）若以点、、为顶点的三角形为直角三角形，求点的坐标．
16．（2021秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，，且满足．
（1） ， ；
（2）点在直线的右侧：且；
①若点在轴上（图，则点的坐标为 ；
②若为直角三角形，求点的坐标．
17．（2021秋•嵩县期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若是直角三角形，求的度数．
18．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在中，，，，点，分别在边，上，在线段左侧构造，使．
（1）如图1，若，点与点重合，与相交于点．求证：．
（2）当时，连接，取的中点，连接．
①如图2，若点落在边上，求的长．
②是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．
19．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．（三角形可用符号△表示，面积用符号表示）
（1）直接写出点，的坐标；
（2）在轴上是否存在点，连接，，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若动点从点出发，沿着轴正方向运动；当是直角三角形时，求长．
20．（2021秋•郸城县月考）（1）观察猜想：如图1，是以、为腰的等腰三角形，点、点分别在、上，且，将绕点逆时针旋转．如图1：请直接写出旋转后与的数量关系 ．
（2）探究证明：如图2，是以为直角顶点的等腰直角三角形，分别交与两边于点、点．将绕点逆时针旋转至图2所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，是直角三角形，，，、分别是与的中点，现将绕点旋转（旋转角，当是直角三角形时，求的长．
21．（2021秋•尤溪县期中）已知组正整数：第一组：，3，；第二组：，8，；第三组：，15，；第四组：，24，；第五组：，35，；
（1）写出符合上述规律的第六组三个数： ；
（2）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80？若存在，请求出这组数；若不存在，请说明理由；
（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
22．（2021秋•仪征市期中）如图，在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的周长．
（2）问为何值时，为等腰三角形？
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
23．（2021秋•杭锦后旗期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为．
（1）则当为何值时，是等边三角形？
（2）则当为何值时，是直角三角形？
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