2024年河南省濮阳市九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三大题，满分 120分，考试时间100分钟；
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效；
3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每题3分，共30分）【下列各题的四个选项中，其中只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】
1. 下列运算结果为正数的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了有理数的运算，计算各式得到结果，即可作出判断．
【详解】A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意，
故选D．
2. 如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元，拼成一个的立方体，有400多种拼法．下列四个积木单元中，主视图面积最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体的主视图，根据主视图中正方形的个数作出判断即可．
【详解】解：B、C、D三个选项中主视图都是由3个小正方形组成，A选项主视图中有4个小正方形组成，因此主视图面积最大的是A选项中的图形，故A正确．
故选：A．
3. 中国移动、中国联通和中国电信三大运营商纷纷披露了2024年1月的主要运营数据，揭示了中国用户数量已达到惊人的13.75亿户，13.75亿这一数字用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示．根据题意先将13.75亿亿化为，再利用科学记数法定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵13.75亿，
∴，
故选：C．
4. 下列运算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算，分别根据整式加减乘除运算法则计算判断即可．
【详解】因为，所以A正确；
因为，所以B正确；
因为，所以C不正确；
因为，所以D正确．
故选：C．
5. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向， 点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
故选；B．
6. 如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点 都在圆上，小明站在 点，小强站在 点，小宁站在 点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（ ）
A. 小明踢进足球的可能性最大B. 小强踢进足球的可能性最大
C. 小宁踢进足球的可能性最大D. 三位同学踢进足球的可能性一样大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键就是找到射门角，即射门点与球门两侧所成的角，且角越大，进球率越高．根据射门角越大，射门进球的可能性就越大．
【详解】解：因为点 都在圆上，故通过观察处的射门角相等；故三位同学踢进足球的可能性一样大．
故选D．
7. 下列与一元二次方程 解的情况一致的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式判定方程根的情况即可解答．
【详解】方程的，有两个不等实数根，
A、，故A选项有两个不相等的实数根，符合题意；
B、，故B选项有没有实数根，不符合题意；
C、，故C选项有两个相等的实数根，不符合题意；
D、，故D选项有两个相等的实数根，不符合题意；．
故选A．
8. 二十四节气是中华民族文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，分别有“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四种不同的图案，小明与小强分别选取四张节气图片中的一个图片，两人选取同一个节气图片的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查画树状图法或列表法求概率，不重复、不遗漏地列出所有等可能的情况是解题的关键．
画树状图（或列表）列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：

共有16种等可能的情况，其中恰好小明与小强分别选取四张节气图片中的一个图片，两人选取同一个节气图片的概率有4种，
因此恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是，
故选C．
9. 如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答．
【详解】解，如图：
由题意得：，，
在中，，
，
在中，，
，
，
故选：D．
10. 如图（1），在矩形中， ，点N是对角线上一定点，点M沿边从点 A 运动到点 D，连接，，设．图（2）是y关于x的函数图象，则图（2）中的函数图象最低点的纵坐标m的值是（ ）

A. B. C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图2数据可求、，作点关于的对称点E，连接，交于点，作，垂足为，可由解三角形求出求，从而可求y的最小值．
【详解】解：由图2，当时，M与D重合，
∴
∴
此时
∴，
∴
如图，作B点关于的对称点E，连接，交于点，作，垂足为，
∴，

，
当点M与点P重合时，此时最小，
在矩形中，，
∴，
∴，
，
∴
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、勾股定理，解直角三角形，结合图象数据判断特殊点位置，求出相关量，并合理构造辅助线是解题的关键．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11 某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成___________个．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
根据1小时中有3个，得到细菌分裂了3次，归纳总结即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：（次，
则经过1小时后这种细菌由1个分裂成（个．
故答案为：8．
12. 请写出一个图象位于第一三四象限的一次函数，这个一次函数的表达式是___________
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象的性质，根据一般形式，，图象过一、二、三象限；，图象过一、三、四象限；，图象过一、二、四象限；，图象过二、三、四象限；据此解答即可．
【详解】解：一次函数的图象位于第一三四象限，
，
（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
13. 学校举办的体育运动会中，铅球选手小亮、小松两名同学分别投掷了6次铅球，把小亮、小松同学的成绩绘制成折线图如图所示．小亮、小松两名同学成绩较稳定的是_________

【答案】小亮
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图．通过折线统计图获取信息成绩波动的大小从而表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：从图中看出小亮的成绩波动较小，则小亮的成绩稳定．
故答案为：小亮．
14. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、O在这些小正方形的顶点上，以O为圆心，为半径画弧．点D为弧与网格线的交点．则图中阴影部分的面积是_______________
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了扇形面积的计算，勾股定理，全等三角形的性质和判定，熟记扇形面积公式是解题的关键．
根据求解即可．
【详解】解：连接，
根据题意得，，
∵，
，
，
是等边三角形，
，
，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 等边中，，D是上一点，沿折叠得到． 当时，的长为_____________________
【答案】或
【解析】
【分析】根据折叠性质可知：，分两种情况：当在外部，当在内部时，由、，求出的度数，进而利用含度、度直角三角形的性质求出即可.
【详解】解：折叠性质可知：，
当在外部时，如图1，
∵在等边中，，
∴，
∴，
过点作，垂足为H，
∴，，
∴，
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴.
当在内部时，如图2，
∵在等边中，，
∴，
∴，
∴
过点作，垂足为，同理可求，
故，
故答案为：或.
【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想的原则做到不遗漏、不重复．
三、解答下列各题(本大题共8个小题，共75分)：
16. （1）计算：
（2）小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即 ★，通过查看答案，答案为 ，请你帮助小敏求出被污染的代数式.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的乘除法，对于（1），根据，，，再计算即可；
对于（2），根据除法的性质得出被污染的代数式为，再根据分式的乘除法法则计算即可.
【详解】（1）原式＝
＝
＝1
（2）解：★＝
＝
＝
＝
＝，
被污染的代数式为.
17. 为进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力．某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了20名参赛学生的成绩，已知抽查得到的八年级的数据如下：80、95、60、80、75、60、95、65、75、70、80、75、85、65、90、70、75、80、85、80．（分数80分以上、不含80分为优秀）．为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了如表和直方图：
九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如表：
（1）根据题目信息填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；补全八年级的频数分布直方图；
（2）八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，请判断小宇、小乐在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由；
（3）若九年级学生成绩优秀率是八年级的两倍，且九年级共有600人参加参赛，请估计九年级获得优秀的学生人数．
【答案】（1）6，3，，见解析
（2）八年级小宇的排名更靠前，见解析
（3）300人
【解析】
【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到、、、的值；
（2）根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；
（3）用九年级的人数乘以八年级优秀率的2倍即可．
【小问1详解】
解：根据频数统计的方法可得，
成绩在的有6人，即，
成绩在的有3人，即，
八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是77.5，即，
补全图形如下：
故答案为：6，3，；
【小问2详解】
八年级小宇的排名更靠前．理由如下：
因为八年级的中位数是，九年级的中位数是，
所以八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，小宇的排名更靠前．
【小问3详解】
（人），
∴九年级获得优秀的学生人数为300人．
【点睛】本题考查中位数、频数分布表以及样本估计总体，理解中位数、频数统计的方法是解决问题的关键．
18. 我们可以通过列表、描点、连线等步骤作出所学函数的图象，另外，我们也学过绝对值的性质： 结合上面的学习经历，解决下面的问题：
已知函数 ，当时，；当时，．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求出表中，的值： ， ．结合以下表格，在坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（3）若关于x的方程 有4个不同实数根，请根据函数图象，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2）4，3，函数的对称轴为（答案不唯一）；
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，；当时，，代入函数解析式，即可求解；
（2）当时，，同理可得，根据表格数据，通过描点、连线绘制函数图象，即可求解；
（3）观察函数图象，当时，和有4个交点，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，；当时，，则，解得，
故函数的表达式为；
【小问2详解】
当时，，
同理可得，
根据表格数据，通过描点、连线绘制函数图象如下：
从图象看，函数的对称轴为（答案不唯一）；
故答案为：4，3，函数的对称轴为（答案不唯一）；
【小问3详解】
观察函数图象知，当时，和有4个交点，即关于的方程有4个不同实数根．
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，解题的关键是在求出函数表达式的基础上，画出函数图象，通过数形结合来解答．
19. 如图，的顶点O与坐标原点重合，轴正半轴于点B，，反比例函数的图象经过顶点A．
（1）求k；
（2）用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作的平分线交的图象于点C；
（3）过点C作x轴的垂线交x轴于点D，在（2）的条件下，证明：．
【答案】（1）
（2）画图见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查反比例函数综合运用，掌握全等三角形判定、反比例函数k值的意义、几何作图是解题的关键．
（1）由反比函数值的意义即可求解；
（2）如图，以点为圆心，作弧交、于两点，再分别以这两点为圆心大于之前半径的一半为半径作弧，交于一点，则为的平分线；
（3）设点，则，，求出即可证明．
【小问1详解】
解：由轴得，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
将代入得；
【小问2详解】
画出图形，如图所示：
【小问3详解】
证明：∵平分，
∴，
∵轴，
∴，
设点，则，，
在中，，
则，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴．
20. 如图，是的外接圆， 点 D 是 的中点，的切线 与的延长线交于E．

（1）求证：；
（2）连接，当为多少度时，四边形是平行四边形，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）当为时，四边形是平行四边形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接与交于点F，由题意得到，由切线的性质得到，静而得到，即可证明结论；
（2）连接，当为时，四边形是平行四边形，理由：先证明为等边三角形，再证明，结合即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接与交于点F，

∵点是弧的中点，
，
∵是切线
∴
∴
；
【小问2详解】
解：当为时，四边形是平行四边形，理由如下：
连接，

∵
为等边三角形
∴
∴
又∵
∴
由（1）得
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，切线定理，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，关键是运用切线的性质及全等三角形的知识解题．
21. 每年3月22 日是世界水日，这个节日旨在唤起公众节水意识，加强水资源保护．濮阳市市政府为了鼓励居民节约用水，决定实行分级收费制度．若每月用水量不超过 13 吨(含 13 吨)，每吨按政府补贴优惠价a元收费；若每月用水量超过13吨，则超过部分每吨按市场价b元收费．张明家3月份用水15吨，交水费33元；5月份用水21吨，交水费54元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
（3）张明家7月份用水25 吨，则他家应交水费多少元？
【答案】（1）优惠价为每吨2元，市场价为每吨3.5元
（2）
（3）68元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，函数关系式的确定，把生活实际问题转化为数学的方程组模型和函数模型是解题的关键．
（1）由收费标准，根据题意列方程组求解即可；
（2）分用水量不大于14吨和大于14吨两种情形求解即可．
（3）代入时的函数解析式，即可求出水费．
【小问1详解】
解：
由题意可得：
解得：
即每吨水的政府补贴优惠价为每吨2元，市场价为每吨3.5元．
【小问2详解】
当时，；
当时，
【小问3详解】
当时，，即小张家应交水费元．
22. 如图（1），濮阳市市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，H点是下边缘抛物线最高点，上边缘抛物线y₁最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边线l的距离为d米．
（1）求上边缘喷出水的最大射程；
（2）当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由；
（3）为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围．说明：运算结果保留2位小数．
【答案】（1）喷出水的最大射程为米
（2）当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带
（3）的取值范围是
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性
质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键．
（1）求得顶点，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
（2）当时，根据题意得，，再算出当时，的值即可判定．
（3）根据，求出点的坐标，利用题意可得的最大值为最小值，从而得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得点的横坐标为2，纵坐标为，
所以上边缘抛物线的顶点为，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得(舍去)，
∴喷出水的最大射程为米；
【小问2详解】
当时，根据题意得，，
∴当时，，
∵，
∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【小问3详解】
∵，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得(舍去)，
∴的最大值为，
当时，，
解得(舍去)，
当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
23. 在进行“图形的变化”教学时，张老师带领同学们对一个几何变换问题进行了探讨：如图（1），点O为矩形ABCD的对称中心，，，点为边上一动点（），连接 并延长，交 于点 ，四边形 与 关于 所在直线成轴对称，线段交边于点．
【观察发现】
（1）与的位置关系是 ；
【探究迁移】
（2）如图（2），连接，DO，交AD 于点 H．
①证明∶；
②若，求AE．
【拓展应用】
（3）如图（2），若 直接写出AE的长．
【答案】（1）垂直；（2）①见解析，②；（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得到对边平行，再利用平行线的性质，可得，再利用轴对称的性质，可得，即可解答；
（2）①由由折叠性质可知：，，由矩形性质证明，由三角形外角性质可得，然后利用三角形内角和表示计算即可得出结论．
②如图，过点作的垂线段，证明，解三角形求出，利用中心对称的性质得到，从而得到的值，即可解答；
（3）过点作于点，先证明，再利勾股定理求出，进而由求得，即可解答．
【详解】（1）结论：，
证明：四边形为矩形，点O为矩形的对称中心，
，，
，
四边形与四边形关于所在的直线成轴对称，
，
；
点O为矩形的对称中心，
，
∴
（2）①连接、，
由折叠性质可知：，，
点O为矩形对称中心，
∴、、三点共线，是矩形的对角线，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
设，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
②如图，过点作的垂线段，

，
，
四边形为矩形，
，，
点O为矩形的对称中心，
，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：如图，过点作于点，
点O为矩形的对称中心，过点，
，
∵，
∴，
同理（2）可得：，，
，
∵，
∴，
，
，
∴
【点睛】本题考查了矩形折叠问题，涉及了中心对称、勾股定理、解三角形等知识点，作出正确的辅助线构造直角三角形是解题的关键．成绩等级
分数（单位：分）
学生数
D等
a
C等
9
B等
b
A等
2
年级
平均数
中位数
八年级
77
c
九年级
x
…
0

y

0
n
0