江苏省连云港市新海初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟试卷分值：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小解答即可．
【详解】解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，掌握图形平移的性质是解题的关键．
2. 已知三角形的两边长分别为5和9，则该三角形的第三边长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，结合选项解答即可．
【详解】解：设三角形的第三边长为x，
则9-5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
∴5能作为第三边长，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3. 下列各式分解因式正确的是（ ）
A. x2+6xy+9y2=（x+3y）2B. 2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C. 2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y）D. x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
【答案】A
【解析】
【详解】【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2﹣4xy+9y2无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键.
4. 下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A.
B.

C.
D.

【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质，以及三角形的外角性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A.如图：

∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠1+∠3，
∵ab，
∴∠ACD=∠2，
∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；
B.如图：延长AD交BF于点C，

∵ab，
∴∠1=∠ACF，
∵∠ACF=∠3+∠2，
∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；
C.如图：过点A作ABa，

∴∠2+∠CAB=180°，
∵ab，
∴ABb，
∴∠1+∠BAD=180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；
D.如图：延长DA交直线b于点C，

∵ab，
∴∠2=∠DCB，
∵∠3=∠1+∠DCB，
∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方计算，分别计算出三个数的值即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：B．
6. 若，则代数式的值为（ ）
A. 4B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，先求出，再把代入所求式子中利用完全平方公式求解即可．
【详解】解；∵，
∴，
∴
，
故选：D．
7. 在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了提公因式在几何图形面积中的应用，正确的表示出阴影部分的面积是解题关键．
【详解】解：由题意得：
∴
∵
∴
故选：B
8. 如图，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF，②∠ABF=∠EFB，③AC∥BE，④∠E=∠ABE，正确的是( )
A. ①②③④B. ①②C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵AH⊥BC，EF∥BC，
∴①AH⊥EF正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠CBF，
∴②∠ABF=∠EFB正确；
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BE∥AC不一定成立，故③错误；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，
而∠EFB=∠ABF，
∴④∠E=∠ABE正确．
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 光的速度非常快，传播米仅需要秒．用科学记数法表示是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于的正数用科学记数法表示为：，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的知识，解题的关键是掌握科学记数法表示绝对值小于的正数用科学记数法表示为：，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
10. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 ___________边形．
【答案】十##10
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角和和外角和定理．解题的关键是熟练掌握多边形的内角和和外角和定理：边形的内角和为；边的外角和为．先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是，然后根据边的外角和为即可得到其边数．
【详解】解：一个多边形的每个内角都是，
这个多边形每个外角都是，
这个多边形的边数．
故答案为：十．
11. ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则的大小为_________度．
【答案】10
【解析】
【分析】先由DE∥AF得∠CFA的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BAF的度数即可．
【详解】解：由题意知DE∥AF，
∴∠CDE=∠CFA=40°，
∵∠B=30°，
∴∠BAF=∠CFA－∠B=40°－30°=10°，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等及三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和．
13. 若3m=6，9n=2，则3m﹣2n=_____．
【答案】3
【解析】
【分析】把3m﹣2n转化为3m÷9n，再把3m=6，9n=2代入求值即可.
【详解】∵3m=6，9n=2，
∴3m﹣2n
=3m÷32n
=3m÷9n
=6÷2
=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查同底数幂的除法、幂的乘法与积的乘方，熟知同底数幂的除法、幂的乘法与积的乘方的运算法则是解决问题的关键．
14. 若二次三项式是一个完全平方式，则k的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方式的特点，进行求解即可．
【详解】解： ∵，
又二次三项式是一个完全平方式，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方式．解题的关键是掌握完全平方式的特点．
15. 如图，在中，、是中线，若四边形的面积是，则的面积为______．
【答案】24
【解析】
【分析】利用三角形中线的定义和三角形面积公式得到，从而得到，进一步证得，从而求得．
【详解】解：连接，
和为的中线，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线把三角形分成面积相等两部分是解题的关键．
16. 如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则______．
【答案】或或
【解析】
【分析】分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，当时；当时；第二种情况：当点在外时，过点作，当时；当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解．
【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
第二种情况：当点在外时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，由图可知，，故不存在这种情况；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键．
三、解答题（本题共10小题，共102分）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）3 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，乘法公式，多项式乘以多项式等计算：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算除法，最后计算加法即可；
（2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可；
（3）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（4）根据乘法公式求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因数16，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解；
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 如图，是的角平分线，点、分别在、上，且，．与相等吗？为什么？
【答案】与相等，理由详见解析
【解析】
【分析】先根据角平分线的定义得出，再根据平行线的性质得出，，最后利用等量代换即可得出结论．
【详解】解：与相等，理由如下：
是的角平分线，
．
，
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
21. 阅读下列材料:
若，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).
解:因为，所以，
所以.
解答下列问题:
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_
A.同底数幂的乘法 B.同底数幂的除法 C.幂的乘方 D.积的乘方
(2)已知，试比较x与y的大小．
【答案】＞ （1）C （2）
【解析】
【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可；
（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．
【详解】， 所以，
所以a>b，故答案为 >;
(1)上述求解过程中，逆用了幕的乘方，故选C;
(2) ，
，
.
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．
22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上，将先向左平移2格，在向上平移4格．

（1）请在图中画出平移后的；
（2）线段、之间的关系为______；
（3）的面积为______；
（4）在平移的过程中，线段扫过的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）8 （4）
【解析】
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，网格中求三角形面积：
（1）根据所给平移方式确定A、B、C对应点的位置，描出后再顺次连接即可；
（2）根据平移的性质求解即可；
（3）根据三角形面积计算公式求解即可；
（4）扫过面积即为四边形的面积，据此求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解；由平移的性质可得，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
故答案为：8；
【小问4详解】
解：如图所示，扫过的面积即为四边形的面积，即．

23. 在直角中，，平分，交于点D，M为直线上一点，，垂足为E，的平分线交直线于点F．
（1）当点M在线段上时，如图①，若，则______；
（2）当点M在边的延长线上时，如图②：
（ⅰ）根据题意补全图②；
（ⅱ）判断直线与的位置关系并证明．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）画图见解析；（ⅱ），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用三角形内角和定理求出，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可；
（2）（ⅰ）根据题意作图即可；（ⅱ）如图所示，延长交于点，由，，得到，再由角平分线的定义证明．进而证明，即可推出．
【小问1详解】
解：∵ ，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：（ⅰ）补全图形如下：
（ⅱ），证明如下：
如图所示，延长交于点，
，，
，
∵分别是的角平分线，
．
，
，
．
24. 定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______；
（2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______；
【探究问题】
（3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【拓展结论】
（4）已知x，y满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）2；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）4
【解析】
【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键．
（1）根据“完美数”可得答案；
（2）利用完全平方公式可得，从而可得答案；
（3）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案；
（4）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴；
（3）当时，为“完美数”，理由如下：

，
当时，，则，为完美数；
（4）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时， 有最小值，最小值为4．
25. 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
【知识生成】如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图②），图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到等式：．
【拓展探究】图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图④中阴影部分面积：方法1：______，方法2：______，可得到一个关于、、等量关系式是______；
（2）若，，则______；
（3）若，求的值；
【知识迁移】如图⑤，正方形和正方形的边长分别为a，b（）．
（4）若，，E是中点，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式；
（2）根据完全平方公式变形求值即可求解；
（3）先求出，再根据进行求解即可．
（4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：（1）方法1：，方法2：；
∵方法1和方法2表示的图形面积相等，
∴；
故答案为：，；；
（2），，
；
故答案为：；
（3）∵，，
∴
；
（4）阴影部分面积和为：


阴影部分面积和等于．
26. 已知，点P是平面内一点，过点P作射线、，与相交于点B．
（1）如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数；
（2）如图2，若点P为直线、之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：；
（3）如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，设．当时，请直接用含的代数式表示．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）或
【解析】
【分析】(1)根据两直线平行，同位角相等证明即可．
(2)延长交于点Q，根据平行线的性质，三角形外角性质，平角的定义计算即可．
(3)分点P在H的左侧和右侧，利用平行线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质计算即可．
【小问1详解】
如图，∵，，
∴
∵，
∴．
【小问2详解】
如图2，延长交于点Q，
∵，
∴，，
∵和的角平分线交于点F．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【小问3详解】
当点P在点H的左侧时，．
根据题意，得,
∵平分,
∴，
∵,
∴，
∴，
,
∵，
∴，
∴；
当点P在点H的右侧时，
根据题意，得,
∴，
∵平分,
∴，
∵,
∴，
∴，
,
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质是解题的关键．