【专项复习】高考数学 专题05 三角函数 (名校模拟汇编).zip

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2023真题展现
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
真题考查解读
近年真题对比
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
考向三 同角三角函数间的基本关系
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 三角函数的图象与性质
1．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y=12与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|=π6，则f（π）＝ ．
【答案】−32
解：由题意：设A（x1，12），B（x2，12），则x2﹣x1=π6，
由y＝Asin（ωx+φ）的图象可知：
ωx2+φ﹣（ωx1+φ）=5π6−π6=2π3，即ω（x2﹣x1）=2π3，
∴ω＝4，
又f（2π3）＝sin（8π3+φ）＝0，∴8π3+φ＝kπ，k∈Z，
即φ=−8π3+kπ，k∈Z，
观察图象，可知当k＝2时，φ=−2π3满足条件，
∴f（π）＝sin（4π−2π3）=−32．
故答案为：−32．
2．（2023•新高考Ⅰ•第15题）已知函数f（x）＝csωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ．
【答案】[2，3）
【解答】解：x∈[0，2π]，函数的周期为2πω（ω＞0），csωx﹣1＝0，可得csωx＝1，
函数f（x）＝csωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，
可得2⋅2πω≤2π＜3⋅2πω，
所以2≤ω＜3．
考向二 三角恒等变换
3．（2023•新高考Ⅱ•第7题）已知α为锐角，csα=1+54，则sinα2=（ ）
A．3−58B．−1+58C．3−54D．−1+54
【答案】D
解：csα=1+54，
则csα=1−2sin2α2，
故2sin2α2=1﹣csα=3−54，即sin2α2=3−58=(5)2+12−2516=(5−1)216，
∵α为锐角，
∴sinα2＞0，
∴sinα2=−1+54．
4．（2023•新高考Ⅰ•第8题）已知sin（α﹣β）=13，csαsinβ=16，则cs（2α+2β）＝（ ）
A．79B．19C．−19D．−79
【答案】B
解：因为sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣sinβcsα=13，csαsinβ=16，
所以sinαcsβ=12，
所以sin（α+β）＝sinαcsβ+sinβcsα=12+16=23，
则cs（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×49=19．
【命题意图】
考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=Asin（wx+）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．
【考查要点】
三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助角公式等．常考查y=Asin（wx+）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．
【得分要点】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：sinαcsα=tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tanα．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（π2−α）＝csα，cs（π2−α）＝sinα．
公式六：sin（π2+α）＝csα，cs（π2+α）＝﹣sinα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ．
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ．
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ．
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα．
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
（3）T2α：tan 2α=2tanα1−tan2α．
5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M−m2，k=M+m2，ω由周期T确定，即由2πω=T求出，φ由特殊点确定．
考向一 三角函数的图象与性质
1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，
则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．
∴，k∈Z，取k＝4，可得．
∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
2.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间（0，）单调递减
B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，
所以+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣，
因为0＜φ＜π，
所以φ＝，
故f（x）＝sin（2x+），
令2x+，解得﹣＜x＜，
故f（x）在（0，）单调递减，A正确；
x∈（﹣，），2x+∈（，），
根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；
令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；
f（x）＝sin（2x+），
求导可得，f'（x）＝，
令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），
故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，
故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．
故选：AD．
3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（ ）
A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）
【解答】解：令，k∈Z．
则，k∈Z．
当k＝0时，x∈[，]，
（0，）⊆[，]，
故选：A．
考向二 三角恒等变换
4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，则（ ）
A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1
【解答】解：解法一：因为sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）＝2cs（α+）sinβ，
即sin（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ+sinβcs（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ﹣sinβcs（）＝0，
所以sin（）＝0，
所以＝kπ，k∈Z，
所以α﹣β＝k，
所以tan（α﹣β）＝﹣1．
解法二：由题意可得，sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ﹣sinαsinβ＝2（csα﹣sinα）sinβ，
即sinαcsβ﹣csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ＝0，
所以sin（α﹣β）+cs（α﹣β）＝0，
故tan（α﹣β）＝﹣1．
故选：C．
考向三 同角三角函数间的基本关系
5．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【解答】解：由题意可得：
＝
＝
＝．
故选：C．
结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5~10分。
一．三角函数的周期性（共3小题）
1．（2023•江西模拟）已知函数，则（ ）
A．f（x）的最小正周期是π
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）的图象关于点对称
D．f（x）在上的值域是
【解答】解：
＝，
对于A，f（x）的最小正周期，A错误；
对于B，当时，，此时y＝sin（4x+）单调递减，
∴f（x）在上单调递增，B正确；
对于C，令，解得，此时f（x）＝0，
∴f（x）的图象关于点对称，C错误；
对于D，当时，，则，
∴f（x）在上的值域为，D错误．
故选：B．
2．（2023•河东区一模）已知函数，下列说法错误的为（ ）
A．最小正周期为B．f（x）为偶函数
C．在单调递减D．
【解答】解：因为函数为奇函数，故B错误；
最小正周期为，故A正确；
令，k∈Z，解得，k∈Z，
即函数f（x）的单调减区间为，k∈Z，
当k＝0时，即为，k∈Z，故C正确；
且，故D正确．
故选：B．
3．（2023•商洛三模）记函数的最小正周期为T，且f（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为函数的最小正周期为T＝，
且f（T）＝2sin（ω×+φ）＝﹣1，所以sinφ＝﹣，所以φ＝﹣．
x∈[0，π]，则ωx﹣∈[﹣，ωπ﹣]，
若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，
则2π≤ωπ﹣＜3π，所以≤ω＜，
所以ω的取值范围为．
故选：A．
二．运用诱导公式化简求值（共4小题）
4．（2023•南关区校级模拟）已知，，则角θ所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：因为＝﹣sin，可得sin＝﹣，
＝cs，
则sinθ＝2sincs＝﹣＜0，csθ＝2cs2﹣1＝﹣＜0，
所以角θ所在的象限是第三象限．
故选：C．
5．（2023•抚松县校级模拟）已知tanθ＝2，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：＝．
故选：D．
6．（2023•南宁模拟）已知sin2α＝csα﹣1，则＝（ ）
A．1B．﹣1C．2D．
【解答】解：∵sin2α＝csα﹣1，
∴1﹣cs2α＝csα﹣1，可得cs2α+csα﹣2＝0，解得csα＝1（csα＝﹣2舍）；
∴＝﹣csα＝﹣1，
故选：B．
7．（2023•通州区模拟）已知，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tanβ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，
∴β＝π﹣α+2kπ，k∈Z，
∴＝．
故选：D．
三．正弦函数的图象（共4小题）
8．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在区间上单调，且满足．若函数f（x）在区间上恰有5个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）在区间上单调，，
∴f（x）的对称中心为，且，
∴，即，即，
∴．
又∵f（x）的对称中心为，
∴，
∵f（x）在区间上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即2T，六个零点之间即，
只需即可，即，
又∵，
∴．
故选：B．
9．（2023•惠州模拟）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，
则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（ω+）＝0，则ω+＝kπ，k∈Z．
∴ω＝（k﹣），k∈Z，取k＝4，可得ω＝．
∴f（x）＝sin（x+）+2，
则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
10．（2023•如皋市校级模拟）已知直线y＝kx+t与函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为k1和k2，且k1＞k2，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵直线y＝kx+t与函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象恰有两个切点，
设k1对应的切点为（x1，sinx1），（x1′，sinx1′），x1＜x1′，
设k2对应的切点为（x2，sinx2），（x2′，sinx2'），x2＜x2′，
只考虑x1+x1′＝2π，x2+x2′＝4π，
则k1＝﹣，k2＝﹣，其中﹣＜x2＜x1＜0，
所以＝•，其中sinx1＝（x1﹣π）csx1，sinx2＝（x2﹣2π）csx2，
易得x1＜﹣，
则＞＞，
则＜＜＜．
故选：B．
11．（2023•濮阳模拟）已知f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）为奇函数，若对任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，满足f（α）+f（β）＝0，则实数α的取值范围是 [0，]∪{} ．
【解答】解：∵f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）为奇函数，
∴φ＝0，f（x）＝sin3x．
由f（α）+f（β）＝0，
可得sin3α+sin3β＝0，即sin3α＝﹣sin3β，
所以3β＝3α+π+2kπ，或3β＝﹣3α+2kπ，k∈Z，
所以β＝α++，或β＝﹣α+，k∈Z．
若对任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，满足f（α）+f（β）＝0，
故﹣≤α++≤α，k∈Z，则+≤0，α≥﹣﹣，k取负整数，
则k只能取﹣1，此时，α＝．
或﹣≤﹣α+≤α，k∈Z，则≤α≤+，k∈Z，
则k只能取0，故0≤α≤，
综上可得，实数α的取值范围是[0，]∪{}，
故答案为：[0，]∪{}．
四．正弦函数的单调性（共9小题）
12．（2023•湖南三模）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+Φ）（ω＞0）满足，，
∴，即，
∴，
∵f（x）在上单调，
∴，即，
∴当n＝1时ω最大，最大值为，
故选：B．
13．（2023•广州二模）已知函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调，则ω的取值集合为（ ）
A．{2}B．{8}C．{2，8}D．{2，8，14}
【解答】解：f（x）关于点对称，所以，
所以①；，而f（x）在上单调，
所以，0＜ω≤8②；
由①②得ω的取值集合为{2，8}．
故选：C．
14．（2023•泸县校级模拟）已知函数，且在上单调递增，则满足条件的ω的最大值为 ．
【解答】解：
由，
得，
∴f（x）的单调递增区间为，
由题知，，
∴∴，
∵ω＞0，∴当k＝0时，，∴，
当k＝1时，；当k≥2，k∈Z时，ω∈∅．∴．
故答案为：．
15．（2023•大理州模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣是函数f（x）的一个零点，x＝是函数f（x）的一条对称轴，若f（x）在区间（，）上单调，则ω的最大值是（ ）
A．14B．16C．18D．20
【解答】解：设函数f（x）的最小正周期为T，
∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣是函数f（x）的一个零点，
x＝是函数f（x）的一条对称轴，
∴，其中n∈N，
∴T＝＝，∴ω＝4n+2，
∵f（x）在区间（，）上单调，
∴≤＝，∴ω≤20，
∴ω的可能取值为2，6，10，14，18，
（i）当ω＝18时，f（x）＝sin（18x+φ），f（﹣）＝sin（﹣）＝0，
∴φ﹣＝kπ（k∈Z），则（k∈Z），
∵﹣，∴φ＝，∴f（x）＝sin（18x+），
当时，，
∴函数f（x）在（）上不单调，不合题意；
（ii）当ω＝14时，f（x）＝sin（14x+φ），f（﹣）＝sin（﹣+φ）＝0，
∴＝kπ（k∈Z），则φ＝kπ+（k∈Z），
∵﹣，∴φ＝﹣，∴f（x）＝sin（14x﹣），
当时，，
∴函数f（x）在（）单调递减，符合题意，
∴ω的最大值为14．
故选：A．
16．（2023•雁塔区校级三模）已知函数f（x）＝sinωx+csωx，其中ω＞0．若f（x）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，4]B．C．D．
【解答】解：，
∵函数f（x）在区间内单调递增，
∴，
∴ω≤4，
∵，
∴，
若f（x）在区间上单调递增，
则，
解得，
当k＝0时，，
当k＝1时，，
当k取其它值时不满足0＜ω≤4，
∴ω的取值范围为，
故选：D．
17．（2023•广西一模）函数恒有f（x）≤f（π），且f（x）在上单调递增，则ω的值为（ ）
A．B．C．D．或
【解答】解：函数恒有f（x）≤f（π），
则，解得，
∵f（x）在，上单调递增，
∴ω＞0，且，
故0＜ω≤3，
结合，可得ω的值为或，
当ω的值为时，
f（x）＝sin（），
令，解得﹣2π+6kπ≤x≤π+6kπ，k∈Z，
当k＝0时，f（x）在[﹣2π，π]上单调递增，满足f（x）在上单调递增，
当ω的值为时，
f（x）＝sin（），
令，解得，
所以f（x）在上单调递增，不满足f（x）在上单调递增．
故选：A．
18．（多选）（2023•福建模拟）已知函数f（x）＝sin（ω＞0）满足：f（）＝2，f（）＝0，则（ ）
A．曲线y＝f（x）关于直线对称
B．函数y＝f（）是奇函数
C．函数y＝f（x）在（，）单调递减
D．函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]
【解答】解：，所以函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]，故D正确；
因为，所以，所以，
因为，所以，所以ω＝12k2+1，k2∈Z，
所以，即k1＝8k2+1，
所以ω∈{1，13，25，37，•••}，
因为，
所以曲线y＝f（x）关于直线对称，故A正确；
因为＝2sin（（12k2+1）x﹣4k2π）＝2sin（（12k2+1）x），
即，
所以函数是奇函数，故B正确；
取ω＝13，则最小正周期，故C错误．
故选：ABD．
19．（多选）（2023•运城三模）已知函数，满足，，且在上单调，则ω的取值可能为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【解答】解：由，知函数f（x）的图象关于直线对称，
又，即是函数f（x）的零点，
则，n∈Z，
即ω＝2n+1，n∈Z．
由f（x）在上单调，
则，即ω≤6，
所以ω＝1，3，5．
当ω＝1时，由，k∈Z，得，k∈Z，
又|φ|＜，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故ω＝1符合题意；
当ω＝3时，由，k∈Z，得，k∈Z，
又|φ|＜，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故ω＝3符合题意；
当ω＝5时，由，k∈Z，得，k∈Z，
又|φ|＜，所以，此时当时，，
所以在上不单调，故ω＝5不符合题意．
综上所述，ω＝1或3．
故选：AB．
20．（2023•青羊区校级模拟）已知函数，，，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 5 ．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ），
∴f（﹣）＝2sin（﹣ω+φ）＝0，
∴﹣ω+φ＝kπ，k∈Z①；
又，
∴x＝是f（x）图象的对称轴，
∴ω+φ＝k′π+，k′∈Z②；
由①②得，φ＝π+，k∈Z，
∴取φ＝，且ω＝﹣4k+1，k∈Z；
∴f（x）＝2sin（ωx+）的最小正周期为T＝；
又f（x）在上单调，
∴﹣≤，即≤，
解得ω≤6；
综上，ω的最大值为5．
故答案为：5．
五．正弦函数的奇偶性和对称性（共7小题）
21．（2023•大通县一模）下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：令2x﹣＝kπ，k∈Z，则x＝+，k∈Z，
当k＝0时，x＝，所以该函数的一个对称中心为（，0）．
故选：A．
22．（2023•浉河区校级三模）已知函数f（x）＝asin2x+bcs2x（ab≠0）的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）在区间上单调递增
D．方程f（x）＝2b在区间[0，2π]上有2个实根
【解答】解：∵函数f（x）＝asin2x+bcs2x（ab≠0）的图象关于直线对称，
∴f（0）＝f（），即b＝asin+bcs，所以a＝b，
所以f（x）＝bsin2x+bcs2x＝2bsin（2x+），
此时f（）＝2bsin（2×+）＝2b，
故函数图象关于x＝对称，
f（x﹣）＝2bsin（2x﹣2×+）＝2bsin（2x﹣），
令g（x）＝f（x﹣）＝2bsin（2x﹣），
则g（）＝2bsin（﹣）＝0，而g（﹣）＝2bsin（﹣2×）＝﹣b≠0，
故g（x）＝f（x﹣）＝2bsin（2x﹣）不是偶函数，故A错误；
f（x）的最小正周期为＝π，故B错误；
因为b的正负无法确定，故f（x）在区间上的单调性无法确定，故C错误；
令f（x）＝2b，x∈[0，2π]，因2b≠0，
则sin（2x+）＝1，
因为x∈[0，2π]，所以2x+∈[，]，
所以2x+＝或2x+＝，
解得x＝或x＝，故D正确．
故选：D．
23．（2023•秦都区校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+csωx（ω＞0）图象两个相邻的对称中心的间距为，则下列函数为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：函数f（x）＝sinωx+csωx＝sin（），
因为函数f（x）图象两个相邻的对称中心的间距为，
所以T＝，所以，又ω＞0，所以ω＝4，
所以，
对于A，，函数为奇函数，故A错误；
对于B，，
所以当时，，
当时，，
所以函数不为偶函数，故B错误；
对于C，，所以函数为偶函数，故C正确；
对于D，，
所以当时，，
当时，，
所以函数不为偶函数，故D错误．
故选：C．
24．（多选）（2023•惠州模拟）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的图像的一个对称中心是
B．函数f（x）在区间上单调递减
C．直线是函数f（x）图像的一条对称轴
D．将函数f（x）的图像沿x轴向左平移个单位长度，将得到函数的图像
【解答】解：f（x）的对称中心即为f（x）的零点，则，A正确；
，则，y＝sinx在单调递增，B不正确；
f（x）在对称轴处取到最值，则，C正确；
将函数f（x）的图像沿x轴向左平移个单位长度，
将得到函数，D不正确．
故选：AC．
25．（多选）（2023•东方模拟）已知函数f（x）＝|2sin（2x﹣）|，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称
B．函数f（x）图象的一条对称轴是x＝
C．若x∈[，]，则函数f（x）的最小值为
D．若f（x1）f（x2）＝4，x1≠x2，则|x1﹣x2|的最小值为
【解答】解：因为y＝|sinx|≥0，该函数不是中心对称图象，A错误；
由于f（）＝|2sin（﹣2x﹣）|＝2|sin（2x﹣）|＝f（x）|，故x＝是该函数的对称轴，B正确；
由x∈[，]得2x﹣∈[]，
所以sin（2x﹣）≤1，
故f（x）＝|sin（2x﹣）|的最小值，C正确；
结合正弦函数的性质可知y＝|sinx|的最小正周期T＝π，
故f（x）＝|2sin（2x﹣）|的最小正周期T＝，最大值为2，最小值为0，
若f（x1）f（x2）＝4，x1≠x2，则|x1﹣x2|的最小值为，，D正确．
故选：BCD．
26．（2023•昌江县二模）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是 2π
B．函数f（x）的图象关于点成中心对称
C．函数f（x）在单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移后关于原点成中心对称
【解答】解：由圆的性质知，C＝＝，
则＝﹣（﹣）＝，即周期T＝π，
则＝π，得ω＝2，故A错误，
∵函数关于点（，0），对称，
∴函数的对称中心为（+，0），则当k＝2时，对称中心为（，0），故B正确，
函数的一条对称轴为x＝＝，函数的相邻最小值的对称轴x＝+＝，前一条对称轴为x＝﹣＝﹣，
则函数的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，
当k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣，]，k∈Z，此时f （x）在单调递增错误，故C错误，
∵f（x）的一条对称轴为x＝﹣，
∴函数f （x）的图象向右平移，此时函数关于y轴对称，故D错误，
故选：B．
27．（多选）（2023•平江县校级模拟）设函数，若f（x）在[0，π]上有且仅有3条对称轴，则（ ）
A．f（x）在[0，π]上有且仅有2个最大值点
B．f（x）在[0，π]上有且仅有2个零点
C．ω的取值范围是
D．f（x）在上单调递增
【解答】解：∵x∈[0，π]，ω＞0，
∴0≤ωx≤πω，∴，
令，∴，
画出y＝sint图象进行分析：
对于A选项：由图象可知：f（x）在[0，π]上有且仅有x1，x3对应的这2个最大值点，故A选项正确；
对于B选项：当，即时，f（x）在[0，π]有且仅有2个零点；
当，即时，f（x）在[0，π]有且仅有3个零点，故B选项不正确；
对于C选项：∵f（x）在[0，π]有且仅有3条对称轴，
∴，∴，
∴ω的取值范围是，故C选项正确；
对于D选项：∵，ω＞0，∴，∴，
由C选项可知，，∴，
即f（x）在上单调递增，故D选项正确．
故选：ACD．
六．余弦函数的图象（共5小题）
28．（2023•河南模拟）已知函数f（x）＝cs（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）在上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．（0，1]
【解答】解：∵函数f（x）＝cs（ωx﹣）（ω＞0），若函数f（x）在（，）上没有零点，
ωx﹣∈（，），
∴≥2kπ﹣且≤2kπ+，或≥2kπ+且≤2kπ+，
∴4k+≤ω≤+或4k+≤ω≤+k∈Z．
令k＝0，由4k+≤ω≤+，k∈Z，可得≤ω≤．
令k＝﹣1时，由4k+≤ω≤+，k∈Z，可得﹣≤ω≤．
再根据ω＞0，可得0＜ω≤．
则ω的取值范围是（0，]∪[，]，
故选：A．
29．（2023•安阳模拟）已知函数在[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：
＝，
当x∈[0，π]时，，
∵f（x）在[0，π]内有且仅有2个零点，
∴，∴，
∴ω的取值范围是．
故选：A．
30．（2023•一模拟）已知函数，（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵函数（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，
∴ωx∈（﹣，2ωπ﹣），∴2ωπ﹣≤3π，∴ω≤．
故选：A．
31．（多选）（2023•新乡三模）已知函数f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜10，0＜φ＜π）图象的一个对称中心是，点在f（x）的图象上，则（ ）
A．
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递减
D．是奇函数
【解答】解：因为点在f（x）的图象上，
所以．又0＜φ＜π，
所以，
因为f（x）图象的一个对称中心是，
所以，则ω＝2+8k，k∈Z，
又0＜ω＜10，所以ω＝2，则，A正确；
，则直线不是f（x）图象的一条对称轴，B不正确；
当时，，单调递减，C正确；
，是奇函数，D正确．
故选：ACD．
32．（2023•泸州模拟）写出使“函数f（x）＝cs（2x+φ）为奇函数”的φ的一个取值 ．
【解答】解：因为函数f（x）＝cs（2x+φ）为奇函数，所以．
即φ的一个取值为．
故答案为：（答案不唯一）．
七．余弦函数的单调性（共2小题）
33．（2023•全国一模）已知函数在区间上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ）
A．B．（1，2]C．（0，1]D．
【解答】解：由题意有T＝≥π，可得0＜ω≤2，
又由＜+≤，
必有+≤π，
可得0＜ω≤，即实数ω的取值范围为（0，]．
故选：A．
34．（2023•白山三模）已知函数，则f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
【解答】解：∵x∈[﹣2，0]，
∴2x﹣∈[﹣4﹣，﹣]，
∵﹣＜﹣4﹣＜﹣π＜﹣＜0，
∴函数在[﹣2，0]上先减后增，
故选：D．
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
35．（2023•石景山区一模）若函数的部分图象如图所示，则φ的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，
可得f（0）＝﹣f（），即有f（x）的图象关于点（，0）对称，
由图象可得f（x）的最小正周期T＝2（+）＝π，即有ω＝＝2，①
又f（﹣）＝Asin（﹣+φ）＝0，
由图象可得﹣+φ＝0，②
由①②解得φ＝，ω＝2，
故选：A．
九．同角三角函数间的基本关系（共4小题）
36．（2023•攀枝花一模）若tanθ＝2，则7cs2θ﹣2sin2θ＝（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
【解答】解：若tanθ＝2，
则7cs2θ﹣2sin2θ＝＝＝＝﹣．
故选：A．
37．（2023•山西模拟）已知tanα＝﹣7，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为tanα＝﹣7，
所以，
，
故．
故选：A．
38．（2023•阳泉二模）已知，0＜α＜π，则sinα﹣csα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，所以，
即，
所以．
因为0＜α＜π，所以csα＜0＜sinα，所以sinα﹣csα＞0，
因为，
所以．
故选：B．
39．（2023•河南模拟）已知tanθ＝﹣3，则sin2θ﹣cs2θ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为tanθ＝﹣3，
所以
＝．
故选：D．
一十．两角和与差的三角函数（共4小题）
40．（2023•射洪市校级模拟）若α为锐角，且，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为α为锐角，所以，所以，
又因为，所以，
所以＝．
故选：D．
41．（2023•广西模拟）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以＝＝＝，＝＝，
所以＝＝＝＝．
故选：D．
42．（2023•淮安模拟）已知cs（40°﹣θ）+cs（40°+θ）+cs（80°﹣θ）＝0，则tanθ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为cs（40°﹣θ）+cs（40°+θ）+cs（80°﹣θ）＝0，
所以cs40°csθ+sin40°sinθ+cs40°csθ﹣sin40°sinθ+cs80°csθ+sin80°sinθ＝0，
所以2cs40°csθ+cs80°csθ+sin80°sinθ＝0，
所以2cs40°+cs80°+sin80°tanθ＝0，
所以
＝
＝．
故选：A．
43．（2023•乌鲁木齐模拟）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：
＝．
故选：B．
一十一．二倍角的三角函数（共6小题）
44．（2023•九江模拟）已知sinθ+2cs2，则sin2θ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为sinθ+2cs2，
所以sinθ+csθ＝，
两边平方得1+2sinθcsθ＝
则sin2θ＝﹣．
故选：A．
45．（2023•乐山模拟）已知，则sinα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，可得cs2α+1＝2sin2α，
∴2cs2α＝4sinαcsα，
∴csα＝2sinα，
又cs2α+sin2α＝5sin2α＝1，
∴sinα＝．
故选：C．
46．（2023•武汉模拟）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故选：D．
47．（2023•惠州一模）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，所以，即3sinα﹣sin2α＝cs2α，
所以3sinα＝sin2α+cs2α＝1，即，
所以．
故选：D．
48．（2023•怀仁市校级二模）已知，且，则tanθ＝（ ）
A．B．C．D．或
【解答】解：∵，
∴或，
∵，
∴tanθ＞1，
故．
故选：B．
49．（2023•郑州模拟）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：cs2（x﹣）+cs2（x+）
＝（csxcs+sinxsin）2+（csxcs﹣sinxsin）2
＝（csx+sinx）2+（csx﹣sinx）2
＝cs2x+sinxcsx+sin2x+cs2x﹣sinxcsx+sin2x
＝cs2x+sin2x
＝+cs2x
＝+
＝1+×（﹣）
＝．
故选：B．
一十二．半角的三角函数（共2小题）
50．（2023•江西模拟）若，α是第三象限的角，则＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
【解答】解：由 ，α是第三象限的角，
∴可得 .，
∴
故选：C．
51．（2023•宝鸡三模）若α∈（0，π），且sinα+2csα＝2，则tan等于（ ）
A．3B．2C．D．
【解答】解：∵α∈（0，π），
∴∈（0，），
设tan＝x，x＞0，
∵sinα＝＝，csα＝＝，
∴sinα+2csα＝+2•＝＝2，
即x+1﹣x2＝1+x2，
即x（2x﹣1）＝0，
解得x＝
故选：C．
一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共5小题）
52．（2023•安阳三模）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以，
又，解得tanα＝7，
所以．
故选：B．
53．（2023•湖南一模）已知＝2，则tanθ＝（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
【解答】解：∵＝＝tan＝2，
∴tanθ＝＝＝﹣，
故选：C．
54．（2023•兴庆区校级模拟）若sin（﹣α）＝，cs（+2α）＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：∵sin（﹣α）＝，
∴cs[﹣（﹣α）]＝cs（+α）＝，
∴cs（+2α）＝2cs2（+α）﹣1＝﹣1＝﹣，
故选：D．
55．（2023•迎江区校级模拟）已知，则＝ 2 ．
【解答】解：已知，所以sinθ＝2csθ，tanθ＝2，
．
故答案为：2．
56．（2023•万州区校级模拟）在△ABC中，若+＝3，则sinA的最大值为 ．
【解答】解：在△ABC中，+＝3，
∴．
∴，即，
∴．
根据正弦定理得：．
∴a2＝3bccsA．
又根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccsA，
∴b2+c2﹣2bccsA＝3bccsA．
∴．
当且仅当b＝c时等号成立，
∴．
∴，即，
∴．
故答案为：
一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4小题）
57．（2023•南江县校级模拟）已知函数在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，
因为x∈[0，π]，所以，
则，解得．
故选：A．
58．（2023•安徽二模）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωxcsωx﹣1（ω＞0）在上恰有4个不同的零点，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：f（x）＝sin2ωx+sinωxcsωx﹣1＝＝，
函数f（x）在上恰有4个不同的零点，
则f（x）＝0，即在上恰有4个不同的解，
∵，
∴，
∴由正弦函数图象可知，，解得3，
故实数ω的取值范围是（3，]．
故选：D．
59．（2023•山西模拟）已知函数f（x）＝，集合{x∈（0，π）|f（x）＝1}中恰有3个元素，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）＝sinωx﹣csωx（ω＞0），
∴，
又集合A＝{x∈（0，π）|f（x）＝1}含有3个元素，
∴方程f（x）＝1，在（0，π）上只有三解，
∴，在（0，π）上只有三解，
∴或，
∴或，
又，在（0，π）上只有三解，
∴、、，其他值均不在（0，π）内，
∴，解得，
故选：D．
60．（2023•天津模拟）将函数的图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，再将g（x）图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到h（x）的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①函数h（x）的最小正周期为2π；
②是函数h（x）图象的一个对称中心；
③函数h（x）图象的一个对称轴方程为；
④函数h（x）在区间上单调递增
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：函数＝sin2x+＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到g（x）＝2sin（2x﹣）的图象，
再将函数g（x）的图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的函数关系式h（x）＝2sin（4x﹣）；
对于①函数h（x）的最小正周期为，故①错误；
对于②当x＝时，h（）＝2sin（）＝0，故是函数h（x）图象的一个对称中心，故②正确；
对于③令4x﹣（k∈Z），整理得x＝（k∈Z），函数h（x）图象的对称轴方程不为，故③错误；
对于④由于，所以，故函数h（x）在区间上单调递增，故④正确．
故选：B．
1.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cs θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).
2.两角和与差的正切公式
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
4.余弦的二倍角公式的变形
5．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α).
(2)1±sin 2α＝(sin_α±cs_α)2.
6.半角公式
(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，
(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ−π2，2kπ+π2）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+π2，2kπ+3π2）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ−π2，kπ+π2）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+π2（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ−π2（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+π2，k∈Z
对称中心：（kπ+π2，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（kπ2，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)