2024浙江省浙里特色联盟高二下学期4月期中考试数学含答案

这是一份2024浙江省浙里特色联盟高二下学期4月期中考试数学含答案，共9页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，我国著名数学家华罗庚曾说，已知抛物线C，已知复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.在等差数列中，，，则的值是（ ）
A.13B.14C.16D.17
3.已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.与夹角的余弦值为
C.D.
4.若函数，则（ ）
A.0B.C.D.
5.若点是角终边上一点，且，则的值为（ ）
A.B.C.-2D.2
6.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A.B.
C.D.
7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A.B.
C.D.
8.已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段的中点，若，则点M到y轴的距离为（ ）
A.4B.6C.7D.8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A.的实部为1B.在复平面内对应的点位于第四象限
C.的虚部为D.的共轭复数为
10.袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球.甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ）
A.甲与乙互斥B.乙与丙互斥
C.甲与乙独立D.甲与乙对立
11.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（ ）
A.轨道I的长轴长为
B.轨道Ⅱ的焦距为
C.若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大
D.若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，，则__________.
13.已知直线：.若点在直线上，则数列的前n项和__________.
14.古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人岗称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点P的轨迹与圆C：的公切线的条数为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）在中，，.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
（1）求的大小，
（2）求的面积
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
16.（15分）已知，在处取得极小值.
（1）求的解析式
（2）求在处的切线方程.
（3）若方程有且只有一个实数根，求k的取值范围.
17.（15分）已知数列中，，点在直线上.
（1）求数列的通项公式及其前项的和.
（2）设，，证明：.
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点M，N分别为和的中点.
（1）求证：平面.
（2）求证：平面平面.
（3）求与平面所成角的正弦值.
19.（17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，若以圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，
且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆E的方程
（2）点P是直线：上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N.
①求证直线恒过定点，并求出此定点.
②求面积的最小值.
2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
命题：严州中学 刘胜春
审稿：寿昌中学 肖彪红
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ABD 10.BC 11.AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.±2（对一个2分） 13. 14.2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
（1）依题意，，，由正弦定理得
选①，，则，三角形不存在，不符合题意.
选②，，则，，则为锐角，且.
且由得，，
三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
选③，，由正弦定理得，
由于，，所以，则，则B为锐角，且.
由余弦定理得，即，
得，，
所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，
所以.
16.（15分）【解析】
（1）由题意知，
因为在处取得极小值
则，
解得：，
经检验，满足题意，所以，，
所以
（2）由题意知，，所以，，所以切点坐标为，斜率
所以切线方程为：，即.
（3）令，解得或，则x，，的关系如下表：
则，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于函数与有且只有一个交点，即或，解得：或，
所以.
17.（15分）【解析】
（1）因为点在直线上，所以，
又，故数列是以3为公比，3为首项的等比数列，所以，
.
（2）由题可知，记，
所以①
①，得②
①-②，得，
故，又，故，即证.
18.（17）分）【解析】
（1）取中点E，连接，，由M为中点，N为中点，得，，
又，，则，，因此四边形为平行四边形，
于是，而平面，平面，所以平面.
（2）过作于点Q，连接，由，，，
得，则，
即，而，，
因此，又，平面，
则平面，平面，
所以平面平面.
（3）由（2）知，直线，，两两垂直，
以点Q为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量，则，
令，得，
设与平面所成角为，，
所以与平面所成角的正弦值是.
19.（17）分）【解析】
（1）解：若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，
若椭圆E经过A，B两点，可得，可得，
设，且，，则，
因为，可得，
所以，所以椭圆的方程为.
（2）解：①由（1）知，椭圆的焦点，
设，，，
则切线的方程为，即，点在直线上，
所以，即，
因为，，所以，
因为，所以，
代入上式，可得
所以，同理，
所以直线恒过定点.
②由（1）知直线恒过定点，
令直线：，代入椭圆方程，
联立方程组，可得，
则，，且，
（i）当时，点到直线的距离为，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又由弦长公式，
可得
，
所以，
令，所以，
则，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
所以；
（ii）当时，，综上可得，的最小值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
C
A
D
C
A
B
-2
2
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增