2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）20等于（ ）
A．2B．C．0D．1
2．（2分）下列计算正确的（ ）
A．a2•a3＝a6B．a7﹣a5＝a2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．a6÷a3＝a2
3．（2分）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．三角形的外角大于任一内角
C．相等的角为对顶角
D．有两个角互余的三角形是直角三角形
4．（2分）用直角三角板度量图中△ABC边BC上的高（单位：cm）大约为（ ）
A．2.8cmB．1.8cmC．3.3cmD．2.0cm
5．（2分）如图，△ABC是正三角形（每个内角都相等）．若l1∥l2，∠1＝75°，则∠2的大小是（ ）
A．160°B．165°C．170°D．175°
6．（2分）我国神舟飞船的降落伞面积约为1200平方米，约相当于苏科版数学教材封面面积的（ ）
A．250倍B．2500倍C．25000倍D．250000倍
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）某种花粉颗粒的直径大约是0.00003米，用科学记数法表示0.00003是 ．
8．（2分）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形的边数为 ．
9．（2分）“偶数能被4整除”的逆命题是 ．
10．（2分）若ax＝3，ay＝4，则ax﹣y的值为 ．
11．（2分）（ ）•（3xy2z﹣2xz）＝12x2y3z﹣8x2yz．
12．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∠D＝120°，∠ABE是四边形ABCD的一个外角，则∠ABE的度数是 °．
13．（2分）甲、乙均从A处去往E处．甲选择图中的路线①，即依次途径B，C，D，最终到达E；乙选择图中的路线②，即途径P，最终到达E．图中的A，B，C，D，P，E均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走．则两条路线中较长的是 .（填“①”，“②”或“一样长”）
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD是中线．若△ABD的周长为19，则△ACD的周长为 ．
15．（2分）如图，长方形纸片AD＝6x，AB＝3，沿MN折叠纸片，使得D，C分别落到D′，C′处，已知AM＝2x，MD′⊥BN．连接BD′，则六边形ABD′C′NM的面积是 .（结果用含有x的代数式表示）
16．（2分）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）（a2）3•（﹣2a3）2．
18．（9分）计算：
（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）；
（2）（﹣3x+2）2；
（3）（2x﹣1）（2x+1）（4x2+1）．
19．（5分）填空：
已知：如图，AC，BD相交于点O．
求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．
证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（ ）．
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（ ）．
在△COD中，同理可得
（ ）．
∵∠AOB＝∠COD（ ），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（ ）．
20．（6分）化简：（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）．
21．（6分）（1）若25+25＝2a，37+37+37＝3b，则a+b＝ ．
（2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n．
（3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr．
22．（6分）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：如图， ．
求证： ．
证明：
23．（6分）如图．
（1）已知AB∥CD，∠A＝∠D，求证∠BED＝∠AFC．
（2）已知∠A＝∠D，∠BED＝∠AFC，求证AB∥CD．
24．（7分）用两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图的直角梯形．
（1）用两种方法计算该梯形的面积，说明a2+b2＝c2．
（2）是否存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形仍是一个直角三角形？请判断并说明理由．
25．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠BCA＝30°，D，E是射线BA，BC上的点，连接DE．分别过D，C作△BDE，△ABC外角的角平分线相交于点P．
（1）如图1，点D，E在线段BA，BC延长线上，若DE∥AC，求∠P．
（2）如图2，点D在线段BA延长线上，点E在线段BC上，DE与AC相交于点F．若∠AFD＝20°，求∠P．
（3）如图3，点D在线段BA上运动（不与A，B重合），点E在线段BC的延长线上运动，请直接写出∠P的取值范围．
26．（9分）如图1，定点P在△ABC（∠B＜∠C）纸片内的位置如图所示．
平行可折
按如图所示方法折叠，可以得到折痕a与三角形底边BC平行．
①过点P折叠纸片，使得点B落在BC上的B′处，展平纸片，得到折痕MN．
②过点P再次折叠纸片，使得点N落在射线PM上．
③展平纸片，得到折痕a．
（1）说明a∥BC．
平行可作
（2）在图2中用直尺和圆规过点P作直线l，使l∥BC（保留作图的痕迹，不写作法）．
等角可折
（3）如图3，过点P折出折痕l，使得l与AB、AC分别相交于点D，E，且∠ADE＝∠C，请仿照上面“平行可折”的示例，画出示意图并简要描述折叠过程，不需证明．
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）20等于（ ）
A．2B．C．0D．1
【分析】根据零指数幂的运算法则计算解可靠．
【解答】解：20＝1，
故选：D．
【点评】本题考查的是零指数幂的运算，掌握a0＝0（a≠0）是解题的关键．
2．（2分）下列计算正确的（ ）
A．a2•a3＝a6B．a7﹣a5＝a2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．a6÷a3＝a2
【分析】根据相应的运算法则逐一运算判断即可．
【解答】解：A、a2⋅a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；
B、a7和a5不是同类项，不能进行加减运算，故本选项错误；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项正确；
D、a6÷a3＝a6﹣3＝a3，故本选项错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，熟悉掌握其运算的法则是解题的关键．
3．（2分）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．三角形的外角大于任一内角
C．相等的角为对顶角
D．有两个角互余的三角形是直角三角形
【分析】根据对顶角，平行线的性质，直角三角形的性质和三角形的外角性质判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
B、三角形的外角大于任一个与它不相邻的内角，原命题是假命题；
C、相等的角不一定为对顶角，原命题是假命题；
D、有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理，熟练掌握对顶角，平行线的性质，直角三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
4．（2分）用直角三角板度量图中△ABC边BC上的高（单位：cm）大约为（ ）
A．2.8cmB．1.8cmC．3.3cmD．2.0cm
【分析】据三角形的高的定义画出图形即可．
【解答】解：作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
AD＝2.8cm，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的高，解题的关键是掌握三角形高的知识，学会利用数形结合的思想解决问题．
5．（2分）如图，△ABC是正三角形（每个内角都相等）．若l1∥l2，∠1＝75°，则∠2的大小是（ ）
A．160°B．165°C．170°D．175°
【分析】设BC与l2交于点E，AC与l2交于点F，根据正三角形性质得∠C＝60°，再根据l1∥l2得∠AFE＝∠1＝75°，再由三角形外角定理得∠AFE＝∠C+∠CEF＝60°+∠CEF＝75°，则∠CEF＝15°，由此可得∠2的度数．
【解答】解：设BC与l2交于点E，AC与l2交于点F，如下图所示：
∵△ABC是正三角形，
∴∠C＝60°，
∵l1∥l2，∠1＝75°，
∴∠AFE＝∠1＝75°，
又∵∠AFE＝∠C+∠CEF＝60°+∠CEF，
∴60°+∠CEF＝75°，
∴∠CEF＝15°，
∴∠2＝180°﹣∠CEF＝165°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握正三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键．
6．（2分）我国神舟飞船的降落伞面积约为1200平方米，约相当于苏科版数学教材封面面积的（ ）
A．250倍B．2500倍C．25000倍D．250000倍
【分析】先估算苏科版数学教材封面面积约为480平方厘米，再换算单位，最后用除法计算即可．
【解答】解：苏科版数学教材封面面积约为480平方厘米，
我国神舟飞船的降落伞面积约为1200平方米＝12000000平方厘米，
12000000÷480＝25000．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是估算苏科版数学教材封面面积．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）某种花粉颗粒的直径大约是0.00003米，用科学记数法表示0.00003是 3×10﹣5 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5；
故答案为：3×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（2分）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形的边数为 5 ．
【分析】一个多边形的外角和为360°，而每个外角为72°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．
【解答】解：180°﹣108°＝72°，
360°÷72°＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是解决问题的关键．
9．（2分）“偶数能被4整除”的逆命题是 如果一个数能被4整除，那么这个数是偶数 ．
【分析】根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题即可．
【解答】解：“偶数能被4整除”的逆命题是如果一个数能被4整除，那么这个数是偶数，
故答案为：如果一个数能被4整除，那么这个数是偶数．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
10．（2分）若ax＝3，ay＝4，则ax﹣y的值为 ．
【分析】利用同底数幂的除法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵ax＝3，ay＝4，
∴ax﹣y
＝ax÷ay
＝3÷4
＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．
11．（2分）（ 4xy ）•（3xy2z﹣2xz）＝12x2y3z﹣8x2yz．
【分析】根据单项式乘单项式运算法则计算即可．
【解答】解：4xy•（3xy2z﹣2xz）＝12x2y3z﹣8x2yz．
故答案为：4xy．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是关键．
12．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∠D＝120°，∠ABE是四边形ABCD的一个外角，则∠ABE的度数是 120 °．
【分析】根据四边形的内角和是360°求出∠ABC，再根据平角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵∠A+∠C+∠ABC+∠D＝360°，∠A+∠C＝180°，∠D＝120°，
∴∠ABC＝360°﹣180°﹣120°＝60°，
∴∠ABE＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握四边形的内角和是360°以及平角的定义是正确解答的关键．
13．（2分）甲、乙均从A处去往E处．甲选择图中的路线①，即依次途径B，C，D，最终到达E；乙选择图中的路线②，即途径P，最终到达E．图中的A，B，C，D，P，E均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走．则两条路线中较长的是 ① .（填“①”，“②”或“一样长”）
【分析】根据勾股定理分别求出AB、BC、DE、AP、EP的长度，再求出两条路线的长度，最后进行比较即可．
【解答】解：AB＝＝，
BC＝＝，
CD＝1，
DE＝＝，
则①的线路长为：AB+BC+CD+DE＝++1+，
AP＝＝2，
EP＝＝，
则②的线路长为：AP+PE＝2+，
（AB+BC+CD+DE）﹣（AP+PE）＝++1+﹣2﹣＝+1﹣，
∵1.414，≈2.236，
∴+1﹣≈0.178＞0，
∴①线路较长．
故答案为：①．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理公式是解题的关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD是中线．若△ABD的周长为19，则△ACD的周长为 17 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差＝AB﹣AC．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD；
△ACD的周长为：AC+AD+CD，
∴△ABD与△ACD的周长为：AB﹣AC＝9﹣7＝2，
∵△ABD的周长为19．
∴△ACD的周长为17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握中线的定义及三角形的周长公式是解题的关键．
15．（2分）如图，长方形纸片AD＝6x，AB＝3，沿MN折叠纸片，使得D，C分别落到D′，C′处，已知AM＝2x，MD′⊥BN．连接BD′，则六边形ABD′C′NM的面积是 4x2+15x﹣ .（结果用含有x的代数式表示）
【分析】求出BN＝2x+3，C'N＝4x﹣3，可得S四边形ABNM＝6x+，S四边形BD'C'N＝4x2+9x﹣9，即可得六边形ABD′C′NM的面积是6x++4x2+9x﹣9＝4x2+15x﹣．
【解答】解：根据题意可得，BN＝2x+3，D'N＝4x，
∴C'N＝4x﹣3，
∴S四边形ABNM＝＝6x+，
S四边形BD'C'N＝＝4x2+9x﹣9，
∴六边形ABD′C′NM的面积是6x++4x2+9x﹣9＝4x2+15x﹣；
故答案为：4x2+15x﹣．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是掌握梯形的面积公式．
16．（2分）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 15 ．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴选4，5，7，9，∵4+5+7＝16，9﹣4＝5，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是15．故答案为：15．
【点评】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）（a2）3•（﹣2a3）2．
【分析】（1）先计算乘方与负整数指数幂的运算，再计算乘除即可；
（2）先根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝2
＝8；
（2）原式＝a6•（4a6）
＝4a12．
【点评】此题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
18．（9分）计算：
（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）；
（2）（﹣3x+2）2；
（3）（2x﹣1）（2x+1）（4x2+1）．
【分析】（1）根据多项式乘多项式计算即可；
（2）根据完全平方公式计算即可；
（3）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
＝a3+b3；
（2）（﹣3x+2）2＝9x2﹣12x+4；
（3）（2x﹣1）（2x+1）（4x2+1）
＝（4x2﹣1）（4x2+1）
＝16x4﹣1．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（5分）填空：
已知：如图，AC，BD相交于点O．
求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．
证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（ 三角形的内角和等于180° ）．
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（ 等式的性质 ）．
在△COD中，同理可得
（ ∠C+∠D＝180°﹣∠COD ）．
∵∠AOB＝∠COD（ 对顶角相等 ），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（ 等量代换 ）．
【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等解答即可．
【解答】证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（等式的性质），
在△COD中，同理可得，
∠C+∠D＝180°﹣∠COD，
∵∠AOB＝∠COD（对顶角相等），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换），
故答案为：三角形的内角和等于180°，等式的性质，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，对顶角相等，等量代换．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，掌握对顶角相等是解此题的关键．
20．（6分）化简：（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）．
【分析】先根据平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）
＝（b﹣3）2+（2a）2﹣（b﹣3）2﹣4a2+b2
＝b2．
【点评】本题考查了平方差公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
21．（6分）（1）若25+25＝2a，37+37+37＝3b，则a+b＝ 14 ．
（2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n．
（3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr．
【分析】（1）根据乘方的意义，把加法运算写成乘法运算，再按照同底数幂相乘法则进行计算，从而求出a，b，再求出a+b即可；
（2）把4和27分别写成底数是2和3的幂，然后根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，求出m，n即可；
（3）根据已知条件，利用幂的乘方法则进行计算，从而求出答案即可．
【解答】解：（1）∵25+25＝25×2＝26＝2a，37+37+37＝37×3＝38＝3b，
∴a＝6，b＝8，
∴a+b＝6+8＝14，
故答案为：14；
（2）∵2m×3n＝（4×27）7＝（22×33）7＝22×7×33×7＝214×321，
∴m＝14，n＝21；
（3）∵2p＝m，mq＝n，nr＝32，
∴（2p）q＝n，[（2p）q]r＝32，
∴2pqr＝25，
∴pqr＝5．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则．
22．（6分）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：如图， b∥a，c∥a ．
求证： b∥c ．
证明：
【分析】根据平行线的判定证明即可．
【解答】证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：如图，b∥a，c∥a，
求证：b∥c，
证明：作直线DF交直线a、b、c，交点分别为D、E、F，
∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
又∵a∥c，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴b∥c．
故答案为：b∥a，c∥a；b∥c
【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
23．（6分）如图．
（1）已知AB∥CD，∠A＝∠D，求证∠BED＝∠AFC．
（2）已知∠A＝∠D，∠BED＝∠AFC，求证AB∥CD．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠AFC，∠BED＝∠D，等量代换即可得解；
（2）根据邻补角定义求出∠AFD＝∠AED，根据四边形内角和是360°求出∠A+∠AFD＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AFC，∠BED＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠BED＝∠AFC；
（2）∵∠BED＝∠AFC，∠AFC+∠AFD＝180°，∠BED+∠AED＝180°，
∴∠AFD＝∠AED，
∵∠A＝∠D，∠A+∠D+∠AFD+∠AED＝360°，
∴∠A+∠AFD＝180°，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24．（7分）用两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图的直角梯形．
（1）用两种方法计算该梯形的面积，说明a2+b2＝c2．
（2）是否存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形仍是一个直角三角形？请判断并说明理由．
【分析】（1）根据不同方法计算同一个图形的面积不变列等式变形证明即可；
（2）可用反证法判断，并推理证明即可．
【解答】解：（1）∵整个图形的面积＝（a+b）（a+b），整个图形的面积＝ab×2+c2，
∴（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，即（a+b）（a+b）＝2ab+c2，
整理，得a2+b2＝c2；
（2）不存在．
理由如下：（反证法）假定存在，且它的斜边c与另一条直角边b都增加x（x≠0），
则a2+（b+x）2＝（c+x）2，
即a2+b2+2bx+x2＝c2+2cx+x2，
∵a2+b2＝c2，
∴2bx＝2cx，
∵x≠0，
∴b＝c，
这与斜边大于直角边矛盾，
∴假设不成立，
故不存在．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答中涉及面积计算，反证法，完全平方公式，掌握面积法和反证法是解题的关键．
25．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠BCA＝30°，D，E是射线BA，BC上的点，连接DE．分别过D，C作△BDE，△ABC外角的角平分线相交于点P．
（1）如图1，点D，E在线段BA，BC延长线上，若DE∥AC，求∠P．
（2）如图2，点D在线段BA延长线上，点E在线段BC上，DE与AC相交于点F．若∠AFD＝20°，求∠P．
（3）如图3，点D在线段BA上运动（不与A，B重合），点E在线段BC的延长线上运动，请直接写出∠P的取值范围．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BDE＝80°，∠BED＝30°，结合邻补角的概念和角平分线的定义可求得∠PDE＝50°，∠PED＝75°，根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）根据邻补角的定义求出∠AFE＝160°，根据三角形的外角性质可得∠ADF＝60°．根据角平分线的定义可求得∠PDF＝60°，∠PCF＝75°，根据四边形内角和即可求解；
（3）设∠AFD＝α，根据三角形的外角性质可得∠BDE＝80°+α，结合邻补角的概念和角平分线的定义可得∠PDE＝50°﹣α，∠PCF＝75°，求得∠PDB＝130°+α，∠PCB＝105°，根据三角形的内角和求得∠B＝70°，根据四边形内角和即可出∠P的值，结合题意可得0°＜α＜30°，即可求解．
【解答】解：（1）∵DE∥AC，∠BAC＝80°，∠BCA＝30°，
∴∠BDE＝∠BAC＝80°，∠BED＝∠BCA＝30°，
∵△BDE，△ABC外角的角平分线交于点P，
∴∠PDE＝（180°﹣∠DBE）＝50°，∠PGD＝（180°﹣∠DEB）＝75°．
∴P＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝55°；
（2）∵∠AFD＝20°，
∴∠AFE＝180°﹣∠AFD＝160°，
∵∠BAC＝80°，∠AFD＝20°，
∴∠ADF＝∠BAC﹣∠AFD＝80°﹣20°＝60°，
∵△BDE，△ABC外角的角平分线交于点P，∠BCA＝30°，
∴∠PDF＝（180°﹣∠ADF）＝60°，∠PCF＝（180°﹣∠BCA）＝75°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝160°，
∴∠P＝360°﹣∠PDF﹣∠PCF﹣∠CFD＝360°﹣60°﹣75°﹣160°＝65°；
（3）设∠AFD＝α，
∵∠BAC＝80°，
∴∠BDE＝∠BAC+∠AFD＝80°+α，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDE＝100°﹣α，
∵△BDE，△ABC外角的角平分线交于点P，∠BCA＝30°，
∴∠PDE＝∠ADE＝50°﹣α，∠PCF＝（180°﹣∠BCA）＝75°，
∴∠PDB＝∠PDE+∠BDE＝50°﹣α+80°+α＝130°+α，
∠PCB＝∠PCF+∠BCA＝75°+30°＝105°，
∵∠BAC＝80°，∠BCA＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝70°，
∴∠P＝360°﹣∠B﹣∠PDB﹣∠PCB＝360°﹣70°﹣（130°+）﹣105°＝55°﹣，
∵0°＜α＜30°，
∴40°＜55°﹣＜55°，
即40°＜∠P＜55°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的相关计算，三角形内角和定理，三角形外角性质，邻补角的概念等，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
26．（9分）如图1，定点P在△ABC（∠B＜∠C）纸片内的位置如图所示．
平行可折
按如图所示方法折叠，可以得到折痕a与三角形底边BC平行．
①过点P折叠纸片，使得点B落在BC上的B′处，展平纸片，得到折痕MN．
②过点P再次折叠纸片，使得点N落在射线PM上．
③展平纸片，得到折痕a．
（1）说明a∥BC．
平行可作
（2）在图2中用直尺和圆规过点P作直线l，使l∥BC（保留作图的痕迹，不写作法）．
等角可折
（3）如图3，过点P折出折痕l，使得l与AB、AC分别相交于点D，E，且∠ADE＝∠C，请仿照上面“平行可折”的示例，画出示意图并简要描述折叠过程，不需证明．
【分析】（1）由折叠可知，MN是BB'的垂直平分线，a为NN'的垂直平分线，N'在直线MN上，故MN⊥BC，a⊥MN，从而a∥BC；
（2）过P作直线MN⊥BC，过P作直线l⊥直线MN，直线l即为所求；
（3）①沿过A的直线折叠△ABC，使C落在AB上的C'处，得到折痕AK，再展平纸片；②沿过C，C'的直线折叠△BCC'，得到△B'CC'，B'C交AB于T，交AK于K'，得到△ACT；③按照“平行可折”的方法，过P折直线DE，使DE∥CT，DE交AB于D，交AC于E，交AK于G，∠ADE即为所求．
【解答】（1）证明：如图：
由折叠可知，MN是BB'的垂直平分线，a为NN'的垂直平分线，N'在直线MN上，
∴MN⊥BC，a⊥MN，
∴a∥BC；
（2）解：过P作直线MN⊥BC，过P作直线l⊥直线MN，如图：
直线l即为所求；
（3）解：①沿过A的直线折叠△ABC，使C落在AB上的C'处，得到折痕AK，再展平纸片；
②沿过C，C'的直线折叠△BCC'，得到△B'CC'，B'C交AB于T，交AK于K'，得到△ACT；
③按照“平行可折”的方法，过P折直线DE，使DE∥CT，DE交AB于D，交AC于E，交AK于G；
∠ADE即为所求；
理由：由折叠可知，AK是CC'的垂直平分线，∠BAK＝∠CAK，∠BKK'＝∠B'K'K＝∠AK'C，
∴∠B＝∠ACK'，
∵DE∥CT，
∴∠AED＝∠ACK'
∴∠B＝∠AED，
∴180°﹣∠AED﹣∠EAD＝180°﹣∠B﹣∠BAC，即∠ADE＝∠ACB．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及尺规作图，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握翻折的性质并能灵活运用．