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2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文中学七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文中学七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.将下列长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形的是( )
A. 5，6，10B. 3，4，5C. 11，6，5D. 5，5，5
3.如图，在△ABC中，BC边上的高为( )
A. 线段AEB. 线段BFC. 线段ADD. 线段CF
4.如图，下列说理中，正确的是( )
A. 因为∠2=∠3，所以a//b
B. 因为∠2=∠3，所以c//d
C. 因为∠1+∠2=180°，所以c//d
D. 因为∠1+∠2=180°，所以a//b
5.如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( )
A. 60°B. 90°C. 75°D. 105°
6.下列命题中，是真命题的是( )
A. 内错角相等B. 三角形的外角等于两个内角的和
C. 五边形的外角和等于360°D. 相等的两个角是对顶角
7.如图，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE//BC，若∠C=70°，则∠FEC=( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
8.如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF=12EF，AD=13FD，BE=14DE，△DEF的面积是12，则△ABC的面积是( )
A. 24.5B. 26C. 29.5D. 30
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.写出命题“内错角相等”的逆命题__________________________．
10.一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为 ．
11.如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转x°，再沿直线前进10米后，又向左转x°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了90米，则x= ______．
12.等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为______．
13. 如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=28°，∠B=52°，则∠DCE=______°.
14.一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则∠1的度数是 °.
15.如图，将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______．
16.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠1=∠2，则∠APB= ______°.
17.将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2=30°，则AC//DE；②∠2+∠CAD=180°；③如果BC//AD，则有∠2=60°；④如果∠CAD=150°，必有∠4=∠C；其中正确的结论有______．
18.如图，直线AB//CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P为直线AB与CD间一动点，连接EP，FP，且∠EPF=120°，∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q，则∠EQF的度数为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′根据下列条件，仅利用无刻度的直尺画图：
(1)补全△A′B′C′；
(2)画出BC边上的中线AD和AC边上的高线BE；
(3)求△ABD的面积．
20.(本小题8分)
如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1=∠2，
求证：∠CED+∠ACB=180°.请你将小明的证明过程补充完整．
证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D(已知)
∴∠FGB=∠CDB=90°(______)，
∴GF//CD(______).
∵GF//CD(已证)
∴∠2=∠BCD(______)，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1= ______，(______)，
∴ ______，(______)，
∴∠CED+∠ACB=180°(______)，
21.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD//BC．
22.(本小题8分)
如图，∠1+∠2=∠AEC.求证：AB//CD．
23.(本小题8分)
证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直.(在下面方框内画出图形)
已知：______．
求证：______．
证明：
24.(本小题8分)
凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题：
(1)用图①证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；
(2)在图①中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，运用(1)的结论写出∠BDC、∠BEC和∠BAC之间的关系，并说明理由；
(3)如图②，若∠1=13∠ABD，∠2=13∠ACD，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC三个角之间的关系为______(直接写出结果即可)．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=∠BAC.过点A作MN//BC．
(1)判断AC是否平分∠BAN，并说明理由；
(2)如图2，点D是射线CB上一动点(不与点B，C重合)，AE平分∠BAD交射线BC于E，过点E作EF⊥AC于F．
①当点D在点B左侧时，若∠AEF=20°，求∠ADB的度数；
②点D在运动过程中，∠AEF和∠ADB之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵只有C的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，
故选：C．
根据平移的性质，结合图形对小题进行一一分析，选出正确答案．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移后所得图形与原图形形状和大小没有变化是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、由于5+6=11>10，10−5=5<6，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
B、由于3+4=7>5，5−3=2<4，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
C、由于5+6=11，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形，符合题意；
D、由于三条相等边组成了等边三角形，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
故选：C．
根据构成三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐项验证即可得到答案．
本题考查构成三角形三边条件，熟练掌握构成三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解决问题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：△ABC中，BC边上的高是线段AE．
故选：A．
从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，由此即可得到答案．
本题考查三角形的高，关键是掌握三角形高的定义．
4.【答案】C
【解析】解：由∠2=∠3，不能判定a//b，
故A错误，不符合题意；
由∠2=∠3，不能判定c//d，
故B错误，不符合题意；
因为∠1+∠2=180°，所以c//d，
故C正确，符合题意；
因为∠1+∠2=180°，所以c//d，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∴此三角形是直角三角形，
∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．
故选：B．
根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，熟知三角板的特点及三角形内角和定理是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：内错角相等是假命题，故A不符合题意；
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，故B故符合题意；
五边形的外角和等于360°是真命题，故C符合题意；
相等的两个角是对顶角是假命题，故D不符合题意；
故选：C．
根据内错角定义，三角形内角和定理的推论，n边形外交和定理，对顶角定义逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的性质和定理．
7.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，∠C=70°，
∴∠AED=∠C=70°，
由折叠得：∠DEF=∠AED=70°，
∴∠FEC=180°−∠AED−∠DEF=180°−70°−70°=40°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠AED=∠C=70°，根据折叠的性质求出∠DEF，进而可计算∠FEC的度数．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：分别连接AE、DC、FB，
∵CF=12EF，
∴S△DEF=2S△DFC=12，
∴S△DFC=6①．
∵AD=13FD，
∴S△ADC=13S△DFC=2②，
S△DEF=3S△ADE=12，
∴S△ADE=4③，
∵BE=14DE，
∴S△ABE=14S△ADE=1④．
S△BEF=14S△DEF=3⑤
∴S△BFC=12S△BEF=1.5⑥，
由①+②+③+④+⑤+⑥+12=29.5．
故选：C．
分别连接AE、DC、FB，利用三角形的面积公式得到图中是6个小三角形的面积，然后将其相加．
此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是分别连接AE、DC、FB，求出各三角形的面积．
9.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是内错角．
【解析】解：其逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是内错角．
将原命题的条件与结论互换就得到其逆命题了．
此题主要考查学生对逆命题的理解及运用能力．
10.【答案】八
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【解答】
解：设多边形的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=3×360°，
解得n=8，
所以这个多边形为八边形．
故答案为八．
11.【答案】40
【解析】解：向左转的次数90÷10=9(次)，
则左转的角度是360°9=40°．
故答案是：40．
首先求得左转的次数，则已知多边形的边数，则左转的角度即可求得．
本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．
12.【答案】10
【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，三角形的周长为10．
故答案为：10．
分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
13.【答案】12
【解析】解：因为∠A=28°，∠B=52°，
所以∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−28°−52°=100°，
因为CE是△ABC的角平分线，
所以∠ACE=12∠ACB=50°，
所以∠CED=180°−∠AEC=180°−[180°−(∠A+∠ACE)]=∠A+∠ACE=28°+50°=78°，
因为CD是高，
所以∠CDE=90°，
所以∠DCE=90°−∠CED=90°−78°=12°，
故答案为：12．
根据三角形内角和定理得∠ACB=100°，再由角平分线定义得∠ACE=50°，求得∠CED=78°，再利用角的和差关系得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
14.【答案】15
【解析】解：延长CB交直线AE于点M，
∵AE//CD，
∴∠AMB=∠BCD=30°，
∵∠ABC=45°，
∴∠1=∠ABC−∠AMB=45°−30°=15°．
故答案为：15．
延长CB交直线AE于点M，由平行线的性质可得出∠AMB=∠BCD=30°，再由∠ABC=45°即可得出结论．
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
15.【答案】26．
【解析】解：根据题意，将周长为20个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，
∴AD=3，BF=BC+CF=BC+3，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=20，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=3+AB+BC+3+AC=26．
故答案为：26．
由将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，根据平移的性质得到BE=AD=3，EF=BC，DF=AC，然后利用周长的定义可计算出四边形ABFD的周长．
本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
16.【答案】120
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PAB=∠1+∠PAB=∠BAC=60°，
∴∠APB=180°−(∠2+∠PAB)=120°，
故答案为120．
求出∠2+∠PAB的度数即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】①②④
【解析】解：∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，故①正确；
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；
∵BC//AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°−45°=45°，故③错误；
∵∠D=30°，∠CAD=150°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴AC//DE，
∴∠4=∠C，故④正确．
故答案为：①②④．
根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④．
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
18.【答案】60°或120°
【解析】解：∵∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q，
∴∠AEQ=∠QEP=12∠AEP，∠CFQ=∠PFQ=12∠CFP，
当P在EF左侧时，如图①，
由拐点问题得：∠AEP+∠CFP=∠EPF=120°，
∴∠EQF=∠AEQ+∠CFQ=12(∠AEP+∠CFP)=60°，
当P在EF右侧时，如图②，
由拐点问题得：∠BEP+∠DFP=∠EPF=120°，
∴∠AEP+∠CFP=360°−(∠BEP+∠DFP)=240°，
∴∠EQF=∠AEQ+∠CFQ=12(∠AEP+∠CFP)=120°，
故答案为：60°或120°．
根据拐点问题及平分线的性质分类求解．
本题考查了平行线的性质，掌握拐点问题的结论及角平分线的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图：△A′B′C′即为所求；
(2)AD，BE即为所求；
(3)△ABD的面积为：12×4×4=8．
【解析】(1)根据平移的性质作图；
(2)根据中线的意义作图；
(3)根据网格线的特点作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点和三角形的面积公式是解题的关键．
20.【答案】垂直定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∠BCD 等量代换 DE//BC 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G，D(已知)
∴∠FGB=∠CDB=90°(垂直定义)．
∴GF//CD(同位角相等，两直线平行)，
∵GF//CD(已证)，
∴∠2=∠BCD(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠BCD(等量代换)，
∴DE//BC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠CED+∠ACB=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BCD；等量代换；DE//BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
根据同位角相等两直线平行证得GF//CD，然后根据两直线平行同位角相等得出∠2=∠BCD，根据已知进一步得出∠1=∠BCD，即可证得DE//BC，得出∠CED+∠ACB=180°．
本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是正确利用平行线的性质与判定定理证明．
21.【答案】证明：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠B+∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∴∠B=∠EAD，
∴AD//BC．
【解析】点拨
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC=∠B+∠C，再根据角平分线的定义可得∠EAC=2∠EAD，从而得到∠B=∠EAD，然后根据同位角相等两直线平行证明即可．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，平行线的判断，熟记性质与平行线的判定方法并求出∠B=∠EAD是解题的关键．
22.【答案】证明：过点E作EF//AB，
所以∠1=∠AEF，
因为∠1+∠2=∠AEC，∠AEF+∠CEF=∠AEC，
所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF，
所以∠2=∠CEF，
所以EF//CD，
因为EF//AB，
所以AB//CD．
【解析】过点E作EF//AB，得到∠1=∠AEF，由∠1+∠2=∠AEC推出∠2=∠CEF，得到EF//CD，即可证明问题．
本题考查平行线的判定，关键是过点E作EF//AB，推出EF//CD．
23.【答案】如图，AB//CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE OE⊥OF
【解析】解：已知：如图，AB//CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE．
求证：OE⊥OF．
证明：∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠OEF+∠OFE=12∠AEF+12∠CFE=90°．
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF=180°，
∴∠EOF=90°．
∴OE⊥OF．
故答案为：如图，AB//CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE；OE⊥OF．
根据题意画出图形，再根据平行线的性质得出∠AEF+∠CFE=180°，由角平分线的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
24.【答案】2∠BDC+∠BAC=3∠BEC
【解析】(1)证明：如图，连接BC，
在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−∠BDC；
在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，
而∠DBC+∠DCB=180°−∠BDC，
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°−(180°−∠BDC)=∠BDC，
即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．
(2)解：∠BDC+∠BAC=2∠BEC，理由如下：
由题意得，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2①，
∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE②，
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABE=∠1，∠ACE=∠2，
①−②得，∠BDC−∠BEC=∠BEC−∠BAC，
∴∠BDC+∠BAC=2∠BEC；
(3)解：2∠BDC+∠BAC=3∠BEC，理由：
∵∠1=13∠ABD，∠2=13∠ACD，
∴∠ABE=23∠ABD，∠ACE=23∠ACD，
∵∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE=∠BAC+23∠ABD+23∠ACD①，
∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD②，
②+①得，
∠BDC+∠BEC=2∠BAC+53∠ABD+53∠ACD，
∴3∠BDC+3∠BEC=6∠BAC+5∠ABD+5∠ACD，
∴3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+5(∠BAC+∠ABD+∠ACD)，
∴3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+5∠BDC，
∴2∠BDC+∠BAC=3∠BEC．
故答案为：2∠BDC+∠BAC=3∠BEC．
(1)根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠DBC+∠DCB+∠D=180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，即可求得∠A+∠ABD+∠ACD=180°−(180°−∠BDC)=∠BDC，则容易得到∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；
(2)用题中给出的结论表示出∠BDC与∠BEC，再把两式相减即可得出结论；
(3)利用题中给出的结论解答即可．
本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
25.【答案】解：(1)AC平分∠BAN，
∵MN//BC，
∴∠ACB=∠CAN，
∵∠ACB=∠BAC．
∴∠BAC=∠CAN，
∴AC平分∠BAN，
(2)∵EF⊥AC，
∴∠EAF=90°−∠EAF=70°，
∵AC、AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，∠BAC=∠CAN，
∴∠EAF=∠BAC+∠BAE=90°−20°=70°=∠DAE+∠CAN=12∠DAN，
∴∠DAN=140°，
∴∠ADB=40°．
②设∠AEF=α，
∵EF⊥AC，
∴∠EAF=90°−α，
如图2，当点D在点B左侧时，
由(1)知∠NAC=∠BAC=12∠BAN，
∵AE平分∠BAD交射线BC于E，
∴∠DAE=∠BAE=12∠BAD，
又∵∠EAF=∠BAE+∠BAC=12∠BAD+12∠BAN=12(∠BAD+∠BAN)=12∠DAN=90°−α，
∴∠DAN=180°−2α，
∵MN//BC，
∴∠ADB+∠DAN=180°，
∴∠ADB=180°−∠DAN=180°−(180°−2α)=2α，
∴∠ADB=2∠AEF；
当点D在点B右侧时，如图：
∵AC、AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE=12∠BAD，∠BAC=∠CAN=12∠BAN，
∵∠EAF=∠BAC−∠BAE=12∠BAN−12∠BAD=12(∠BAN−∠BAD)=12∠DAN=90°−α，
∴∠DAN=180°−2α，
∵MN//BC，
∴∠ADB=∠DAN=180°−2α，
∴∠ADB=180°−2∠AEF．
综上，∠ADB=2∠AEF或180°−2∠AEF．
【解析】(1)根据MN//BC得∠ACB=∠CAN，结合已知条件得证；
(2)①在直角三角形AFE中，∠AEF=20°，则∠EAF=90°−∠EAF=70°，根据∠EAF=∠BAC+∠BAE=90°−20°=70°=∠DAE+∠CAN=12∠DAN，从而求出∠DAN=140°，即可求出∠ADB；
②分两种情况进行讨论，当点D在点B左侧时和点D在点B右侧时，数形结合即可解答．
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证．
1.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.将下列长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形的是( )
A. 5，6，10B. 3，4，5C. 11，6，5D. 5，5，5
3.如图，在△ABC中，BC边上的高为( )
A. 线段AEB. 线段BFC. 线段ADD. 线段CF
4.如图，下列说理中，正确的是( )
A. 因为∠2=∠3，所以a//b
B. 因为∠2=∠3，所以c//d
C. 因为∠1+∠2=180°，所以c//d
D. 因为∠1+∠2=180°，所以a//b
5.如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( )
A. 60°B. 90°C. 75°D. 105°
6.下列命题中，是真命题的是( )
A. 内错角相等B. 三角形的外角等于两个内角的和
C. 五边形的外角和等于360°D. 相等的两个角是对顶角
7.如图，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE//BC，若∠C=70°，则∠FEC=( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
8.如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF=12EF，AD=13FD，BE=14DE，△DEF的面积是12，则△ABC的面积是( )
A. 24.5B. 26C. 29.5D. 30
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.写出命题“内错角相等”的逆命题__________________________．
10.一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为 ．
11.如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转x°，再沿直线前进10米后，又向左转x°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了90米，则x= ______．
12.等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为______．
13. 如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=28°，∠B=52°，则∠DCE=______°.
14.一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则∠1的度数是 °.
15.如图，将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______．
16.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠1=∠2，则∠APB= ______°.
17.将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2=30°，则AC//DE；②∠2+∠CAD=180°；③如果BC//AD，则有∠2=60°；④如果∠CAD=150°，必有∠4=∠C；其中正确的结论有______．
18.如图，直线AB//CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P为直线AB与CD间一动点，连接EP，FP，且∠EPF=120°，∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q，则∠EQF的度数为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′根据下列条件，仅利用无刻度的直尺画图：
(1)补全△A′B′C′；
(2)画出BC边上的中线AD和AC边上的高线BE；
(3)求△ABD的面积．
20.(本小题8分)
如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1=∠2，
求证：∠CED+∠ACB=180°.请你将小明的证明过程补充完整．
证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D(已知)
∴∠FGB=∠CDB=90°(______)，
∴GF//CD(______).
∵GF//CD(已证)
∴∠2=∠BCD(______)，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1= ______，(______)，
∴ ______，(______)，
∴∠CED+∠ACB=180°(______)，
21.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD//BC．
22.(本小题8分)
如图，∠1+∠2=∠AEC.求证：AB//CD．
23.(本小题8分)
证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直.(在下面方框内画出图形)
已知：______．
求证：______．
证明：
24.(本小题8分)
凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题：
(1)用图①证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；
(2)在图①中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，运用(1)的结论写出∠BDC、∠BEC和∠BAC之间的关系，并说明理由；
(3)如图②，若∠1=13∠ABD，∠2=13∠ACD，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC三个角之间的关系为______(直接写出结果即可)．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=∠BAC.过点A作MN//BC．
(1)判断AC是否平分∠BAN，并说明理由；
(2)如图2，点D是射线CB上一动点(不与点B，C重合)，AE平分∠BAD交射线BC于E，过点E作EF⊥AC于F．
①当点D在点B左侧时，若∠AEF=20°，求∠ADB的度数；
②点D在运动过程中，∠AEF和∠ADB之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵只有C的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，
故选：C．
根据平移的性质，结合图形对小题进行一一分析，选出正确答案．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移后所得图形与原图形形状和大小没有变化是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、由于5+6=11>10，10−5=5<6，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
B、由于3+4=7>5，5−3=2<4，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
C、由于5+6=11，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形，符合题意；
D、由于三条相等边组成了等边三角形，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
故选：C．
根据构成三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐项验证即可得到答案．
本题考查构成三角形三边条件，熟练掌握构成三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解决问题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：△ABC中，BC边上的高是线段AE．
故选：A．
从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，由此即可得到答案．
本题考查三角形的高，关键是掌握三角形高的定义．
4.【答案】C
【解析】解：由∠2=∠3，不能判定a//b，
故A错误，不符合题意；
由∠2=∠3，不能判定c//d，
故B错误，不符合题意；
因为∠1+∠2=180°，所以c//d，
故C正确，符合题意；
因为∠1+∠2=180°，所以c//d，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∴此三角形是直角三角形，
∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．
故选：B．
根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，熟知三角板的特点及三角形内角和定理是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：内错角相等是假命题，故A不符合题意；
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，故B故符合题意；
五边形的外角和等于360°是真命题，故C符合题意；
相等的两个角是对顶角是假命题，故D不符合题意；
故选：C．
根据内错角定义，三角形内角和定理的推论，n边形外交和定理，对顶角定义逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的性质和定理．
7.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，∠C=70°，
∴∠AED=∠C=70°，
由折叠得：∠DEF=∠AED=70°，
∴∠FEC=180°−∠AED−∠DEF=180°−70°−70°=40°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠AED=∠C=70°，根据折叠的性质求出∠DEF，进而可计算∠FEC的度数．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：分别连接AE、DC、FB，
∵CF=12EF，
∴S△DEF=2S△DFC=12，
∴S△DFC=6①．
∵AD=13FD，
∴S△ADC=13S△DFC=2②，
S△DEF=3S△ADE=12，
∴S△ADE=4③，
∵BE=14DE，
∴S△ABE=14S△ADE=1④．
S△BEF=14S△DEF=3⑤
∴S△BFC=12S△BEF=1.5⑥，
由①+②+③+④+⑤+⑥+12=29.5．
故选：C．
分别连接AE、DC、FB，利用三角形的面积公式得到图中是6个小三角形的面积，然后将其相加．
此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是分别连接AE、DC、FB，求出各三角形的面积．
9.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是内错角．
【解析】解：其逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是内错角．
将原命题的条件与结论互换就得到其逆命题了．
此题主要考查学生对逆命题的理解及运用能力．
10.【答案】八
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【解答】
解：设多边形的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=3×360°，
解得n=8，
所以这个多边形为八边形．
故答案为八．
11.【答案】40
【解析】解：向左转的次数90÷10=9(次)，
则左转的角度是360°9=40°．
故答案是：40．
首先求得左转的次数，则已知多边形的边数，则左转的角度即可求得．
本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．
12.【答案】10
【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，三角形的周长为10．
故答案为：10．
分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
13.【答案】12
【解析】解：因为∠A=28°，∠B=52°，
所以∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−28°−52°=100°，
因为CE是△ABC的角平分线，
所以∠ACE=12∠ACB=50°，
所以∠CED=180°−∠AEC=180°−[180°−(∠A+∠ACE)]=∠A+∠ACE=28°+50°=78°，
因为CD是高，
所以∠CDE=90°，
所以∠DCE=90°−∠CED=90°−78°=12°，
故答案为：12．
根据三角形内角和定理得∠ACB=100°，再由角平分线定义得∠ACE=50°，求得∠CED=78°，再利用角的和差关系得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
14.【答案】15
【解析】解：延长CB交直线AE于点M，
∵AE//CD，
∴∠AMB=∠BCD=30°，
∵∠ABC=45°，
∴∠1=∠ABC−∠AMB=45°−30°=15°．
故答案为：15．
延长CB交直线AE于点M，由平行线的性质可得出∠AMB=∠BCD=30°，再由∠ABC=45°即可得出结论．
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
15.【答案】26．
【解析】解：根据题意，将周长为20个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，
∴AD=3，BF=BC+CF=BC+3，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=20，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=3+AB+BC+3+AC=26．
故答案为：26．
由将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，根据平移的性质得到BE=AD=3，EF=BC，DF=AC，然后利用周长的定义可计算出四边形ABFD的周长．
本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
16.【答案】120
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PAB=∠1+∠PAB=∠BAC=60°，
∴∠APB=180°−(∠2+∠PAB)=120°，
故答案为120．
求出∠2+∠PAB的度数即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】①②④
【解析】解：∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，故①正确；
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；
∵BC//AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°−45°=45°，故③错误；
∵∠D=30°，∠CAD=150°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴AC//DE，
∴∠4=∠C，故④正确．
故答案为：①②④．
根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④．
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
18.【答案】60°或120°
【解析】解：∵∠AEP的平分线与∠PFC的平分线交于点Q，
∴∠AEQ=∠QEP=12∠AEP，∠CFQ=∠PFQ=12∠CFP，
当P在EF左侧时，如图①，
由拐点问题得：∠AEP+∠CFP=∠EPF=120°，
∴∠EQF=∠AEQ+∠CFQ=12(∠AEP+∠CFP)=60°，
当P在EF右侧时，如图②，
由拐点问题得：∠BEP+∠DFP=∠EPF=120°，
∴∠AEP+∠CFP=360°−(∠BEP+∠DFP)=240°，
∴∠EQF=∠AEQ+∠CFQ=12(∠AEP+∠CFP)=120°，
故答案为：60°或120°．
根据拐点问题及平分线的性质分类求解．
本题考查了平行线的性质，掌握拐点问题的结论及角平分线的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图：△A′B′C′即为所求；
(2)AD，BE即为所求；
(3)△ABD的面积为：12×4×4=8．
【解析】(1)根据平移的性质作图；
(2)根据中线的意义作图；
(3)根据网格线的特点作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点和三角形的面积公式是解题的关键．
20.【答案】垂直定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∠BCD 等量代换 DE//BC 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G，D(已知)
∴∠FGB=∠CDB=90°(垂直定义)．
∴GF//CD(同位角相等，两直线平行)，
∵GF//CD(已证)，
∴∠2=∠BCD(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠BCD(等量代换)，
∴DE//BC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠CED+∠ACB=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BCD；等量代换；DE//BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
根据同位角相等两直线平行证得GF//CD，然后根据两直线平行同位角相等得出∠2=∠BCD，根据已知进一步得出∠1=∠BCD，即可证得DE//BC，得出∠CED+∠ACB=180°．
本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是正确利用平行线的性质与判定定理证明．
21.【答案】证明：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠B+∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∴∠B=∠EAD，
∴AD//BC．
【解析】点拨
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC=∠B+∠C，再根据角平分线的定义可得∠EAC=2∠EAD，从而得到∠B=∠EAD，然后根据同位角相等两直线平行证明即可．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，平行线的判断，熟记性质与平行线的判定方法并求出∠B=∠EAD是解题的关键．
22.【答案】证明：过点E作EF//AB，
所以∠1=∠AEF，
因为∠1+∠2=∠AEC，∠AEF+∠CEF=∠AEC，
所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF，
所以∠2=∠CEF，
所以EF//CD，
因为EF//AB，
所以AB//CD．
【解析】过点E作EF//AB，得到∠1=∠AEF，由∠1+∠2=∠AEC推出∠2=∠CEF，得到EF//CD，即可证明问题．
本题考查平行线的判定，关键是过点E作EF//AB，推出EF//CD．
23.【答案】如图，AB//CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE OE⊥OF
【解析】解：已知：如图，AB//CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE．
求证：OE⊥OF．
证明：∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠OEF+∠OFE=12∠AEF+12∠CFE=90°．
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF=180°，
∴∠EOF=90°．
∴OE⊥OF．
故答案为：如图，AB//CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE；OE⊥OF．
根据题意画出图形，再根据平行线的性质得出∠AEF+∠CFE=180°，由角平分线的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
24.【答案】2∠BDC+∠BAC=3∠BEC
【解析】(1)证明：如图，连接BC，
在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−∠BDC；
在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，
而∠DBC+∠DCB=180°−∠BDC，
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°−(180°−∠BDC)=∠BDC，
即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．
(2)解：∠BDC+∠BAC=2∠BEC，理由如下：
由题意得，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2①，
∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE②，
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABE=∠1，∠ACE=∠2，
①−②得，∠BDC−∠BEC=∠BEC−∠BAC，
∴∠BDC+∠BAC=2∠BEC；
(3)解：2∠BDC+∠BAC=3∠BEC，理由：
∵∠1=13∠ABD，∠2=13∠ACD，
∴∠ABE=23∠ABD，∠ACE=23∠ACD，
∵∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE=∠BAC+23∠ABD+23∠ACD①，
∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD②，
②+①得，
∠BDC+∠BEC=2∠BAC+53∠ABD+53∠ACD，
∴3∠BDC+3∠BEC=6∠BAC+5∠ABD+5∠ACD，
∴3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+5(∠BAC+∠ABD+∠ACD)，
∴3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+5∠BDC，
∴2∠BDC+∠BAC=3∠BEC．
故答案为：2∠BDC+∠BAC=3∠BEC．
(1)根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠DBC+∠DCB+∠D=180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，即可求得∠A+∠ABD+∠ACD=180°−(180°−∠BDC)=∠BDC，则容易得到∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；
(2)用题中给出的结论表示出∠BDC与∠BEC，再把两式相减即可得出结论；
(3)利用题中给出的结论解答即可．
本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
25.【答案】解：(1)AC平分∠BAN，
∵MN//BC，
∴∠ACB=∠CAN，
∵∠ACB=∠BAC．
∴∠BAC=∠CAN，
∴AC平分∠BAN，
(2)∵EF⊥AC，
∴∠EAF=90°−∠EAF=70°，
∵AC、AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，∠BAC=∠CAN，
∴∠EAF=∠BAC+∠BAE=90°−20°=70°=∠DAE+∠CAN=12∠DAN，
∴∠DAN=140°，
∴∠ADB=40°．
②设∠AEF=α，
∵EF⊥AC，
∴∠EAF=90°−α，
如图2，当点D在点B左侧时，
由(1)知∠NAC=∠BAC=12∠BAN，
∵AE平分∠BAD交射线BC于E，
∴∠DAE=∠BAE=12∠BAD，
又∵∠EAF=∠BAE+∠BAC=12∠BAD+12∠BAN=12(∠BAD+∠BAN)=12∠DAN=90°−α，
∴∠DAN=180°−2α，
∵MN//BC，
∴∠ADB+∠DAN=180°，
∴∠ADB=180°−∠DAN=180°−(180°−2α)=2α，
∴∠ADB=2∠AEF；
当点D在点B右侧时，如图：
∵AC、AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE=12∠BAD，∠BAC=∠CAN=12∠BAN，
∵∠EAF=∠BAC−∠BAE=12∠BAN−12∠BAD=12(∠BAN−∠BAD)=12∠DAN=90°−α，
∴∠DAN=180°−2α，
∵MN//BC，
∴∠ADB=∠DAN=180°−2α，
∴∠ADB=180°−2∠AEF．
综上，∠ADB=2∠AEF或180°−2∠AEF．
【解析】(1)根据MN//BC得∠ACB=∠CAN，结合已知条件得证；
(2)①在直角三角形AFE中，∠AEF=20°，则∠EAF=90°−∠EAF=70°，根据∠EAF=∠BAC+∠BAE=90°−20°=70°=∠DAE+∠CAN=12∠DAN，从而求出∠DAN=140°，即可求出∠ADB；
②分两种情况进行讨论，当点D在点B左侧时和点D在点B右侧时，数形结合即可解答．
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证．
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