甘肃省兰州市第十一中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份甘肃省兰州市第十一中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A．﹣3＜x≤2B．﹣3≤x≤2C．x＜﹣3或x≥2D．x≤﹣3或x≥2
3．（3分）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6x2y3＝2x2•3y3B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（7，3）向右平移4个单位后，它的坐标变为（ ）
A．（7，7）B．（11，3）C．（3，3）D．（7，﹣1）
5．（3分）如图，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE＝DF，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CDF，则还要添加一个条件是（ ）
A．∠A＝∠CB．AB＝CDC．∠B＝∠DD．AE＝CF
6．（3分）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（ ）
A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
8．（3分）如果（a+1）x＜a+1的解集是x＞1，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜﹣1
C．a＞﹣1D．a是任意有理数
9．（3分）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6B．﹣6C．1D．﹣1
10．（3分）如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝12，则DF等于（ ）
A．10B．8C．12D．6
11．（3分）对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（ ）
A．被9整除B．被a整除C．被a+1整除D．被a﹣1整除
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，，EF是AC的垂直平分线，分别交AC，AB于点E，F，点D是BC边的中点，点M是线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，则a+b＝ ．
14．（3分）若：x2+mx﹣10＝（x+2）（x﹣5），则m＝ ．
15．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，a+10），则a＝ ．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解不等式组：，
18．（4分）分解因式：m2（n﹣3）+4（3﹣n）．
19．（5分）如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB．
求证：OC＝OD．
20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ．
21．（6分）某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．
（1）求每个足球和篮球的价格；
（2）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？
22．（5分）如图，将△ABC绕A点逆时针旋转得到△AEF，点E恰好落在BC上，若∠ABC＝70°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
23．（7分）如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
24．（6分）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．
25．（6分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程：
解：设x2﹣2x＝y
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底则，该因式分解的最终结果为 ；
（2）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．
26．（6分）数学课上，老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，归纳猜想】
（1）当点E为AB的中点时，如图2．确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【特例启发，推理证明】
（2）如图3，当点E为AB边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作EF∥BC，交AC于点F．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪书写完整证明过程.
27．（8分）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以，方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．
（1）在方程①x﹣2＝0，②，③5x﹣2＝0中，不等式组的关联方程是 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）
（3）若方程x﹣2＝0，都是关于x的不等式组的关联方程，求m得取值范围．
28．（9分）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，DE经过点C，过点A作AD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．
【模型应用】
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（0，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，求点C的坐标．
（2）如图3，一次函数y＝ax+2（a＜0）的图象与坐标轴分别交于点A、B．
①过点B在y轴右侧作BC⊥AB，且BC＝AB，连结OC，则△OBC的面积为 ；
②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ．
【模型拓展】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，分别以CB、AB为直角边，点B为直角顶点，在CB两侧作等腰直角△CBE和等腰直角△ABD，连接DE，交CB的延长线于点F，则BF的长为 ．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A．﹣3＜x≤2B．﹣3≤x≤2C．x＜﹣3或x≥2D．x≤﹣3或x≥2
【解答】解：根据数轴可得：，
∴此不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
故选：A．
3．（3分）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6x2y3＝2x2•3y3B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1
【解答】解：A．6x2y3＝2x2•3y3，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（7，3）向右平移4个单位后，它的坐标变为（ ）
A．（7，7）B．（11，3）C．（3，3）D．（7，﹣1）
【解答】解：将点A（7，3）向右平移4个单位后，它的坐标变为（7+4，3），即（11，3）．
故选：B．
5．（3分）如图，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE＝DF，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CDF，则还要添加一个条件是（ ）
A．∠A＝∠CB．AB＝CDC．∠B＝∠DD．AE＝CF
【解答】解：在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
故选：D．
6．（3分）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（ ）
A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4
【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12．
故选：D．
8．（3分）如果（a+1）x＜a+1的解集是x＞1，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜﹣1
C．a＞﹣1D．a是任意有理数
【解答】解：如果（a+1）x＜a+1的解集是x＞1，
得 a+1＜0，
a＜﹣1，
故选：B．
9．（3分）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6B．﹣6C．1D．﹣1
【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故选：B．
10．（3分）如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝12，则DF等于（ ）
A．10B．8C．12D．6
【解答】解：过D作DM⊥AC，
∵∠DAE＝∠ADE＝15°，
∴∠DEC＝30°，AE＝DE，
∵AE＝12，
∴DE＝12，
∴DM＝6，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE＝15°，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF＝DM＝6．
故选：D．
11．（3分）对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（ ）
A．被9整除B．被a整除C．被a+1整除D．被a﹣1整除
【解答】解：原式＝（3a+5+2）（3a+5﹣2）＝3（3a+7）（a+1），
则对于任何整数a，多项式（3a+5）2﹣4都能被a+1整除．
故选：C．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，，EF是AC的垂直平分线，分别交AC，AB于点E，F，点D是BC边的中点，点M是线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：连接AD，AM，
∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，
解得AD＝6，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴CM＝AM，
∴CM+DM＝AM+DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小，
∴CM+DM的最小值为6．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，则a+b＝ ﹣2 ．
【解答】解：∵点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，
∴a＝1，b＝﹣3，
∴a+b＝1﹣3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（3分）若：x2+mx﹣10＝（x+2）（x﹣5），则m＝ ﹣3 ．
【解答】解：∵（x+2）（x﹣5）＝x2﹣3x﹣10＝x2+mx﹣10，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是 m≤2 ．
【解答】解：∵不等式组无解，
∴m≤2．
故答案为：m≤2．
16．（3分）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，a+10），则a＝ 5 ．
【解答】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，
∵点C在第一象限，
∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标（角平分线性质），即3a＝a+10，
得a＝5，
故答案为：5．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解不等式组：，
【解答】解：，
由①得：x≥﹣3，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2．
18．（4分）分解因式：m2（n﹣3）+4（3﹣n）．
【解答】解：原式＝m2（n﹣3）﹣4（n﹣3）
＝（n﹣3）（m2﹣4）
＝（n﹣3）（m+2）（m﹣2）．
19．（5分）如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB．
求证：OC＝OD．
【解答】证明：
∵AB∥DC，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∴∠C＝∠D，
∴OC＝OD．
20．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 （﹣2，0） ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心Q的坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
21．（6分）某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．
（1）求每个足球和篮球的价格；
（2）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？
【解答】解：（1）设每个足球和篮球的价格分别为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
（2）设八年级购买了m个足球，则购买了（10﹣m）个篮球．
由题意得，50m+40（10﹣m）≤460，
解得m≤6，
∴m的最大值为6，
答：该校八年级最多购买了6个足球．
22．（5分）如图，将△ABC绕A点逆时针旋转得到△AEF，点E恰好落在BC上，若∠ABC＝70°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
【解答】解：△ABC绕A点逆时针旋转得到△AEF，
∴△ABC≌△AEF，
∴AB＝AE，∠B＝∠AEF＝70°，
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝70°．
∴∠FEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝40°，
∵∠FGC是△EGC的外角，
∴∠FGC＝∠FEG+∠ACB＝40°+28°＝68°．
23．（7分）如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
【解答】解：（1）∵将点P （﹣2，﹣5）代入y1＝2x+b，得﹣5＝2×（﹣2）+b，解得b＝﹣1，将点P （﹣2，﹣5）代入y2＝ax﹣3，得﹣5＝a×（﹣2）﹣3，解得a＝1，
∴这两个函数的解析式分别为y1＝2x﹣1和y2＝x﹣3；
（2）∵在y1＝2x﹣1中，令y1＝0，得x＝，
∴A（，0）．
∵在y2＝x﹣3中，令y2＝0，得x＝3，
∴B（3，0）．
∴S△ABP＝AB×5＝××5＝．
（3）由函数图象可知，当x＜﹣2时，2x+b＜ax﹣3．
24．（6分）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．
【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS）．
∴∠DAF＝∠EAF，
∴AP平分∠BAC．
（2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PG＝PQ＝6．
∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB•PQ+AC•PG，
∴AB×6+×9×6＝60．
∴AB＝11．
25．（6分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程：
解：设x2﹣2x＝y
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底则，该因式分解的最终结果为 （x﹣1）4 ；
（2）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．
【解答】解：（1）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4，
∴该同学因式分解的结果不彻底．
故答案为：不彻底，（x﹣1）4．
（2）设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4．
26．（6分）数学课上，老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，归纳猜想】
（1）当点E为AB的中点时，如图2．确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【特例启发，推理证明】
（2）如图3，当点E为AB边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作EF∥BC，交AC于点F．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪书写完整证明过程.
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD＝30°，
∵∠EBC＝∠D+∠BED，
∴∠D＝∠BED＝30°，
∴DB＝BE＝AE，
故答案为：＝；
（2）AE＝DB，
理由如下：如图3，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
则∠CEF＝∠ECD，∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠A，∠EFC＝120°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠CEF＝∠D，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝120°＝∠EFC，
∵∠D＝∠ECB＝∠CEF，
在△DBE和△FEC中，
，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴BD＝FE，
∴BD＝AE．
27．（8分）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以，方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．
（1）在方程①x﹣2＝0，②，③5x﹣2＝0中，不等式组的关联方程是 ① ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 x﹣1＝0，答案不唯一 ；（写出一个即可）
（3）若方程x﹣2＝0，都是关于x的不等式组的关联方程，求m得取值范围．
【解答】解：（1）解不等式组得：1＜x＜3，
∵方程①x﹣2＝0的解为x＝2；方程②的解为x＝﹣；方程③5x﹣2＝0的解为x＝，
∴不等式组的关联方程是①，
故答案为：①；
（2）解不等式组得：＜x＜，
所以不等式组的整数解为x＝1，
则该不等式组的关联方程为x﹣1＝0，
故答案为：x﹣1＝0，答案不唯一；
（3），
解不等式①，得：x＞m，
解不等式②，得：x≤m+2，
所以不等式组的解集为m＜x≤m+2．
方程x﹣2＝0的解为x＝2，
方程的解为x＝3，
所以m的取值范围是1≤m＜2．
28．（9分）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，DE经过点C，过点A作AD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．
【模型应用】
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（0，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，求点C的坐标．
（2）如图3，一次函数y＝ax+2（a＜0）的图象与坐标轴分别交于点A、B．
①过点B在y轴右侧作BC⊥AB，且BC＝AB，连结OC，则△OBC的面积为 2 ；
②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 2 ．
【模型拓展】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，分别以CB、AB为直角边，点B为直角顶点，在CB两侧作等腰直角△CBE和等腰直角△ABD，连接DE，交CB的延长线于点F，则BF的长为 3 ．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥OA于D，
∴∠CDA＝∠AOB＝90°，
∵将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，
∴∠BAC＝90°，AB＝CA，
∴∠CAD+∠OAB＝∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∴CD＝AO＝5，AD＝BO＝3，
∴OD＝OA+AD＝8，
∴点C的坐标为（﹣8，5）；
（2）①如图3，过点C作CD⊥OB于D，
∵一次函数y＝ax+2（a＜0）的图象与坐标轴分别交于点A、B，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
同（1）得△BCD≌△ABO（AAS），
∴CD＝OB＝2，
∴S△OBC＝•OB•CD＝×2×2＝2，
故答案为：2；
②如图4，连接AQ，
∵OQ≥AQ﹣OA，
∴当Q、O、A共线时，OQ＝AQ﹣OA，OQ的长最小，如图，
∵AB＝BQ，OB⊥OA，
∴OQ＝OA＝OB＝2，
∴OQ长的最小值是 2．
故答案为：2；
（3）如图5，过点D作DH⊥CB于H，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
同理得△ABC≌△BDH（AAS），
∴BH＝AC＝6，CB＝DH，
∵△CBE是等腰直角三角形，
∴EB＝CB，
∴EB＝DH，
∵∠EBF＝∠DHF＝90°，∠BFE＝∠HFD，
∴△EBF≌△DHF（AAS），
∴BF＝HF＝BH＝3，
故答案为：3如图1，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
如图1，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．