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甘肃省武威市凉州区 武威第十一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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1. 把根号外的因式移入根号内得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质．由二次根式的性质，得，然后再按照二次根式的性质运算即可．
【详解】解：由二次根式的性质，得，，
.
故选：D．
2. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查倒数及二次根式的化简，熟练掌握倒数及二次根式的化简是解题的关键；因此此题可根据倒数及二次根式的性质进行求解．
【详解】解：的倒数是；
故选A．
3. 下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
根据最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 属于最简二次根式，故本选项符合题意；
C． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AD，进而得到OE的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可．
【详解】解：由题意得，BD=OB=1，
在Rt△ABD中，AD=，
∴OE=AE-1=，
∴点E对应的实数是
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
5. 如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，
∴，
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
∴，
此时，
所以取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
6. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A. 24B. 18C. 12D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：∵E、F分别是的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：A．
7. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对边平行B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角互补
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据菱形与矩形的性质定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：∵菱形的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线垂直且互相平分；矩形具有的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线相等且互相平分，
∴菱形具有而矩形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及矩形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解答此题的关键．
9. 如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OE，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到∠EFO，∠EGO，∠FOG都是直角，即可得到四边形OFEG是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形OFEG的面积．
【详解】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故选：B．
【点睛】此题考查菱形的性质及中点问题，进而求面积，难度一般．
10. 如图，已知菱形的边与轴重合，点，，，若固定点，，将菱形沿箭头方向推，当点落在轴上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的坐标和菱形的性质求出C点坐标，可得点落在轴上时，菱形向右平移7个单位，进而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴,
∴在菱形中，，
∵，
∴，
∴当点落在轴上时，菱形向右平移7个单位，
∴此时点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，菱形的性质，求出菱形的边长是解题的关键．
二、填空题(共24分)
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．
直接根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
故答案：．
12. 如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】作EK∥BC交AD于K，根据平行线的性质可得出△AEK是等边三角形，故EK=AE，∠DKE=∠DCB，再根据DE=BD可知∠DEB=∠DBE，由三角形外角的性质可知∠A+∠KDE=∠DEC，因为∠DBC+∠ABC=∠DBE，故可得出∠A+∠KDE =∠DBC+∠ABC，再由∠A=∠ABC=60°可知∠KDE=∠DBC，故可得出△EKD≌△DCB，故KE=CD，进而可得AE=CD．根据根据线段和差列方程即可得出结论．
【详解】解：作EK∥AC交AB于K．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC．
∵EK∥BC，∠AKE=∠BCA=60°，∠AEB=∠ABC=60°，
∴△BEK是等边三角形，∠DKE=∠DCB，
∴EK=AE=AK．
∵DE=DB，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠A+∠KDE=∠DBC+∠ABC．
∵∠A=∠ABC=60°，
∴∠KDE=∠DBC．
在△EKD与△DAC中，
∵,
∴△EKD≌△DCB（AAS），
∴CD=EK，
∴AE=CD．
设AB=BC=AC=x,CD=AE=y,
∵AD+AE=，BE=，
∴ ，解得
∴BC=，
故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟知等边三角形的三个内角都相等且都等于60°是解答此题的关键．
13. 一个矩形的长和宽分别是 ，，则它的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式乘法．根据矩形的面积公式计算，即可．
【详解】解：矩形的面积 ．
故答案为：
14. 如图，，点D在射线上，且，点P在射线上运动，当是直角三角形时，的长为______．
【答案】4或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论，
根据勾股定理和直角三角形的性质可求解；
【详解】解：是直角三角形,
当时，
,
当时，
在直角中 ，
，
，
故答为：4或
15. 如图，在中，，点D是的中点，，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求解即可．
【详解】解：∵，点D是的中点，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
16. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】先根据矩形的性质求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=16，
∴BC=16，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=6，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=16-6=10，
在Rt△CEF中，CF==8，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+8）2=x2+162，解得x=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
17. 点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于_______．
【答案】50°##50度
【解析】
【分析】根据题意画出图形，再根据三角形中位线的性质得出四边形ADEF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出答案．
【详解】由题意画出图形．
∵点D，E，F是边AB，BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，平行四边形的性质和判定等，根据三角形中位线的性质得出平行四边形是解题的关键．
18. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点N是的中点，连接，若，则线段的最大值是 _____．
【答案】9
【解析】
【分析】连接，根据直角三角形斜边中线求出，再利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：连接
在中，
，，
点M是的中点，
由旋转可知：，，，
点N是的中点，
，
是等边三角形，
，
，
，
的最大值是9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系．解题的关键在于灵活地运用这些知识点，将这些知识点串联起来．
三、计算题(共8分)
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【小问1详解】
（1）解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
四、作图题(共5分)
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画，使的三边长分别为3、4、5；
（2）在图2中以格点为顶点画，使的三边长分别为、、．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意找到长度分别为3、4、5的线段，然后顺次连接即可；
（2）根据勾股定理找到长度分别为、、的线段，然后顺次连接即可；
【小问1详解】
，，，
∴如图所示，即为所求，
【小问2详解】
根据勾股定理可得，，，，
∴如图所示．即为所求，
【点睛】此题考查了勾股定理和网格综合题，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
五、解答题(共54分)
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式化简，然后代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：
.当时，
原式．
22. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先求解，，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练地利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．
23. 如图,在▱ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线AF,CE分别与对角线BD交于点F,E．
求证:四边形AFCE是平行四边形．
【答案】详见解析．
【解析】
【分析】由在▱ABCD中，可证得AB=CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，又由∠BAD和
∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠BAE=∠DCF，继而可证得△ABE≌△CDF（ASA），则可证得AE=CF，AE∥CF，判定四边形AECF是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，
∴∠BAE=，∠DCF=，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，关键是熟记并灵活运用平行四边形的性质与判定．
24. 如图，在中，点E、F分别是边、的中点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，由中点的性质可得，可证四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E、F分别是边、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键．
25. 如图，四边形中，，对角线，于E，，，，．
（1）求证：；
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，运用了等积法．
（1）由勾股定理求出长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断；
（2）利用等面积法即可求解．
【小问1详解】
解：在直角中，，，，
∴．
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
26. 如图，是的一条角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，当______度时，四边形为正方形（直接填空）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：有两组对边相互平行的四边形是平行四边形，推知四边形是平行四边形；然后由平行四边形的对角相等、对角线平分对角的性质以及角平分线的性质证得；最后由等角对等边推知的邻边；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【小问1详解】
解：证明：，，
，，
四边形是平行四边形，
；
又是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，，
∴,
∵四边形是菱形，
∴四边形为正方形．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定是解题的关键．
27. 已知在中，，，于．
（1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
求证：；
（2）如图2，点是线段上一点（），连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解，②．
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论；
（2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；
②由勾股定理求出，，，则可求出答案．
【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，，于，
，，
，
，
又，
，
；
（2）①证明：过点作交于点，连接，
由（1）知为的中点，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
，
，，
，，
又，
，
，
，
；
②解：，，
，
，
，，
，
，
又，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
1. 把根号外的因式移入根号内得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质．由二次根式的性质，得，然后再按照二次根式的性质运算即可．
【详解】解：由二次根式的性质，得，，
.
故选：D．
2. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查倒数及二次根式的化简，熟练掌握倒数及二次根式的化简是解题的关键；因此此题可根据倒数及二次根式的性质进行求解．
【详解】解：的倒数是；
故选A．
3. 下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
根据最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 属于最简二次根式，故本选项符合题意；
C． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AD，进而得到OE的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可．
【详解】解：由题意得，BD=OB=1，
在Rt△ABD中，AD=，
∴OE=AE-1=，
∴点E对应的实数是
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
5. 如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，
∴，
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
∴，
此时，
所以取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
6. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A. 24B. 18C. 12D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：∵E、F分别是的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：A．
7. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对边平行B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角互补
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据菱形与矩形的性质定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：∵菱形的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线垂直且互相平分；矩形具有的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线相等且互相平分，
∴菱形具有而矩形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及矩形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解答此题的关键．
9. 如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OE，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到∠EFO，∠EGO，∠FOG都是直角，即可得到四边形OFEG是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形OFEG的面积．
【详解】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故选：B．
【点睛】此题考查菱形的性质及中点问题，进而求面积，难度一般．
10. 如图，已知菱形的边与轴重合，点，，，若固定点，，将菱形沿箭头方向推，当点落在轴上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的坐标和菱形的性质求出C点坐标，可得点落在轴上时，菱形向右平移7个单位，进而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴,
∴在菱形中，，
∵，
∴，
∴当点落在轴上时，菱形向右平移7个单位，
∴此时点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，菱形的性质，求出菱形的边长是解题的关键．
二、填空题(共24分)
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．
直接根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
故答案：．
12. 如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】作EK∥BC交AD于K，根据平行线的性质可得出△AEK是等边三角形，故EK=AE，∠DKE=∠DCB，再根据DE=BD可知∠DEB=∠DBE，由三角形外角的性质可知∠A+∠KDE=∠DEC，因为∠DBC+∠ABC=∠DBE，故可得出∠A+∠KDE =∠DBC+∠ABC，再由∠A=∠ABC=60°可知∠KDE=∠DBC，故可得出△EKD≌△DCB，故KE=CD，进而可得AE=CD．根据根据线段和差列方程即可得出结论．
【详解】解：作EK∥AC交AB于K．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC．
∵EK∥BC，∠AKE=∠BCA=60°，∠AEB=∠ABC=60°，
∴△BEK是等边三角形，∠DKE=∠DCB，
∴EK=AE=AK．
∵DE=DB，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠A+∠KDE=∠DBC+∠ABC．
∵∠A=∠ABC=60°，
∴∠KDE=∠DBC．
在△EKD与△DAC中，
∵,
∴△EKD≌△DCB（AAS），
∴CD=EK，
∴AE=CD．
设AB=BC=AC=x,CD=AE=y,
∵AD+AE=，BE=，
∴ ，解得
∴BC=，
故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟知等边三角形的三个内角都相等且都等于60°是解答此题的关键．
13. 一个矩形的长和宽分别是 ，，则它的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式乘法．根据矩形的面积公式计算，即可．
【详解】解：矩形的面积 ．
故答案为：
14. 如图，，点D在射线上，且，点P在射线上运动，当是直角三角形时，的长为______．
【答案】4或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论，
根据勾股定理和直角三角形的性质可求解；
【详解】解：是直角三角形,
当时，
,
当时，
在直角中 ，
，
，
故答为：4或
15. 如图，在中，，点D是的中点，，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求解即可．
【详解】解：∵，点D是的中点，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
16. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】先根据矩形的性质求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=16，
∴BC=16，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=6，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=16-6=10，
在Rt△CEF中，CF==8，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+8）2=x2+162，解得x=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
17. 点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于_______．
【答案】50°##50度
【解析】
【分析】根据题意画出图形，再根据三角形中位线的性质得出四边形ADEF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出答案．
【详解】由题意画出图形．
∵点D，E，F是边AB，BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，平行四边形的性质和判定等，根据三角形中位线的性质得出平行四边形是解题的关键．
18. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点N是的中点，连接，若，则线段的最大值是 _____．
【答案】9
【解析】
【分析】连接，根据直角三角形斜边中线求出，再利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：连接
在中，
，，
点M是的中点，
由旋转可知：，，，
点N是的中点，
，
是等边三角形，
，
，
，
的最大值是9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系．解题的关键在于灵活地运用这些知识点，将这些知识点串联起来．
三、计算题(共8分)
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【小问1详解】
（1）解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
四、作图题(共5分)
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画，使的三边长分别为3、4、5；
（2）在图2中以格点为顶点画，使的三边长分别为、、．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意找到长度分别为3、4、5的线段，然后顺次连接即可；
（2）根据勾股定理找到长度分别为、、的线段，然后顺次连接即可；
【小问1详解】
，，，
∴如图所示，即为所求，
【小问2详解】
根据勾股定理可得，，，，
∴如图所示．即为所求，
【点睛】此题考查了勾股定理和网格综合题，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
五、解答题(共54分)
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式化简，然后代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：
.当时，
原式．
22. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先求解，，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练地利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．
23. 如图,在▱ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线AF,CE分别与对角线BD交于点F,E．
求证:四边形AFCE是平行四边形．
【答案】详见解析．
【解析】
【分析】由在▱ABCD中，可证得AB=CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，又由∠BAD和
∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠BAE=∠DCF，继而可证得△ABE≌△CDF（ASA），则可证得AE=CF，AE∥CF，判定四边形AECF是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，
∴∠BAE=，∠DCF=，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，关键是熟记并灵活运用平行四边形的性质与判定．
24. 如图，在中，点E、F分别是边、的中点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，由中点的性质可得，可证四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E、F分别是边、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键．
25. 如图，四边形中，，对角线，于E，，，，．
（1）求证：；
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，运用了等积法．
（1）由勾股定理求出长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断；
（2）利用等面积法即可求解．
【小问1详解】
解：在直角中，，，，
∴．
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
26. 如图，是的一条角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，当______度时，四边形为正方形（直接填空）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：有两组对边相互平行的四边形是平行四边形，推知四边形是平行四边形；然后由平行四边形的对角相等、对角线平分对角的性质以及角平分线的性质证得；最后由等角对等边推知的邻边；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【小问1详解】
解：证明：，，
，，
四边形是平行四边形，
；
又是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，，
∴,
∵四边形是菱形，
∴四边形为正方形．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定是解题的关键．
27. 已知在中，，，于．
（1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
求证：；
（2）如图2，点是线段上一点（），连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解，②．
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论；
（2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；
②由勾股定理求出，，，则可求出答案．
【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，，于，
，，
，
，
又，
，
；
（2）①证明：过点作交于点，连接，
由（1）知为的中点，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
，
，，
，，
又，
，
，
，
；
②解：，，
，
，
，，
，
，
又，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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