2023届上海市杨浦区高三下学期4月模拟质量调研（二模）数学试卷含答案

杨浦区2022学年度第二学期高三年级模拟质量调研

              数学学科试卷                       2023.4 

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．

2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果

1. 集合，，则_________.

2. 复数的虚部是_________.

3. 已知等差数列中，，则通项公式为_________.

4. 设，则_________.

5. 函数的导数是_________.

6. 若圆锥的侧面积为，高为4，则圆锥的体积为_________.

7. 由函数的观点，不等式的解集是_________.

8. 某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛

学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），

估计：学生的平均成绩为_________分.

9. 内角的对边是，若

，，，则_________.

10. ，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交

于两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为_________.

11. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为__________.

12. 已知非零平面向量，，，满足，，且，则的

最小值是________.

二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 已知，则 “” 是 “” 的                             （    ）

A. 充分非必要条件           B. 必要非充分条件  

C.  充要条件                 D. 既非充分又非必要条件.

14. 对成对数据用最小二乘法求回归方程是为了使（    ）

A.   B.  C.最小  D. 最小.

15. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是            （    ）

A.         B.      C.        D. .

16. 如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在

支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是                   （    ）

A.          

B.         

C.  2    

D. .

三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知一个随机变量的分布为：.

（1）          已知，求的值；

（2）          记事件：为偶数；事件：. 已知，求，，并判断是否相互独立？

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为.

（1）求点到平面的距离；

（2）求直线与平面所成的角.

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线，为公园边界. 已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米），曲线的轨迹方程为: . 计划修一条与湖边相切于点的直路（宽度不计），直路与公园边界交于点两点，把人工湖围成一片景区.

（1）若点坐标为，计算直路的长度; （精确到0.1千米）

（2）若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值. （精确到0.1平方千米）

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知椭圆的右焦点为，直线.

（1）若到直线的距离为，求;

（2）若直线与椭圆交于两点，且的面积为，求;

（3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围.

21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，

（为正整数）．

（1）写出数列前4项的所有可能取法；

（2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由;

（3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值.

参考答案

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果

1．            2．              3．            4． 80     

5．         6．             7．             8．107       

9．             10．             11．          12．

三、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

13．C              14． D               15． A              16． B

三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

解：（1）由可得： ①       （2分）

由，

可得： ②                             （2分）

        联立① ② 解得：，                   （2分）

（2）由可得：，所以；   （2分）

由，可得：；                       （2分）

，； （2分）

因为，

所以事件不是相互独立.                          （2分）

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

【解】（1）作于.                 （2分）

   ，

，.

   .

，

为到平面的距离.                 （2分）

根据二面角定义，则.

，.

解得.                    （2分）

（2）作于，连接                 （2分）

  .   

.

.

.

为与平面所成的角.           （2分）

中，，     （2分）

得，.        （2分）

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

【解】（1）

相切于点的切线斜率                （2分）

切线                            （2分）

解得，，  .        （2分）

答：直路的长度为5.6千米

（2）如图设，

，相切于点的切线斜率为，

切线                   （2分）

，，

有.        （2分）

，

为驻点.

在上是严格减函数，在为严格增函数.  （2分）

.                         （2分）

答：景观区最小面积为平方千米.

20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

【解】（1）                      （2分）

解得  （0舍）.                             （2分）

（2）设直线与轴交于点，与椭圆交于，

，得.             （2分）

由    得   （2分）

，

解得，验证判别式大于0成立.                  （2分）

（3）若，直线经过，此时直线和直线的夹角为（舍）；

若，直线和直线的夹角为且     

或不存在    直线或，

代入得：或            （2分）

直线或，代入椭圆方程得：

或 （2分）

由 或，

解得或.                         （2分）

综上且.                         （2分，各1分）

21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

【解】（1）3，7，10，17或 3，7，10，3或 3，7，4，11     （4分）

（2）不存在.                                             （2分）

先证：.

由题设，得或.

①       若，
此时若，得；

若，得.

②       若，则.

此时若，得；

  若.（舍）

综上，.                                          （2分）

于是，，  证毕        （2分）

（3）由，得.

对于任意，均可以使用①递推，只有满足，才可以使用②递推；

若 ，显然，则下一次只能使用①递推，

即，即②不能连续使用.                     （2分）

记 （且）

Ⅰ 若 则

Ⅱ 若 则 所以

综合ⅠⅡ 得 （且）           （2分）

中至少有共51项，即

举例如下：

：3，7，10，3，13，10，23，13，36，23，此时   （2分）

所以最小值为51.                     （2分） （直接猜出结果得2分）