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    2024年上海市青浦区高三下学期4月学业质量调研数学试卷含答案

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    这是一份2024年上海市青浦区高三下学期4月学业质量调研数学试卷含答案,共13页。试卷主要包含了04, ;14等内容,欢迎下载使用。

    (时间120分钟,满分150分) 2024.04
    学生注意:
    本试卷包括试卷纸和答题纸两部分.
    在试卷纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.
    可使用符合规定的计算器答题.
    填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6每题4分,第7-12每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
    1.不等式的解集为____________.
    2.已知向量,,则____________.
    3.已知复数,则____________.
    4.的二项展开式中的常数项为____________.
    5.设随机变量服从正态分布,若,则实数_____.
    6.椭圆的离心率为,则____________.
    7.已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小,则的斜率为____________.
    8.已知,,若,则满足条件的 的取值范围是____________.
    9.对于函数,其中,若关于的方程有两个不同的零点,则实数的取值范围是____________.
    10.从中任取个不同的数字,设“取到的个数字之和为偶数”为事件,“取到的个数字均为奇数”为事件,则_________.
    11.如图,某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥,杯深,上口宽,若以的速度匀速往杯中注水,当水深为时,酒杯中水升高的瞬时变化率_________
    12.如图,在棱长为的正方体中,在棱上,且,以△为底面作一个三棱柱,使点分别在平面上,则这个三棱柱的侧棱长为____________.
    二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14每题4分,第15-16每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
    13.函数的最小值是 .
    A.B.C.D.
    14.已知点是抛物线上一点,点到的准线的距离为,是轴上一点,则“点的坐标为”是“”的( ).
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件,
    15.设是首项为,公比为的等比数列的前项和,且,则( ).
    A.B.C.D.
    16.如图,已知直线与函数的图像相切于两点,则函数有( ).
    A.2个极大值点,1个极小值点B.3个极大值点,2个极小值点
    C.2个极大值点,无极小值点D.3个极大值点,无极小值点
    三.解答题(本大题共有5题,满分78分),解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
    17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    对于函数,其中,.
    (1)求函数的单调增区间;
    (2)在锐角三角形中,若,,求△的面积.
    18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    如图,三棱柱是所有棱长均为的直三棱柱,分别是棱和棱的中点.
    (1)求证:平面平面;
    (2)求二面角的余弦值大小.
    19.(本题满分14分,第1小题4分,第2小题( = 1 \* rman i)4分,第2小题( = 2 \* rman ii)6分)
    垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏,同时能提高资源循环利用的效率.目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法,即干垃圾,湿垃圾,可回收垃圾与有害垃圾.某校为调查学生对垃圾分类的了解程度,随机抽取100名学生作为样本,按照了解程度分为A等级和B等级,得到如下列联表:
    (1)根据表中的数据回答:学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关(规定:显著性水平)?
    附:,其中,.
    (2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度,学校特举办垃圾分类知识问答比赛.每局比赛由二人参加,主持人A和B轮流提问,先赢局者获得奖项并结束比赛.甲,乙两人参加比赛,已知主持人A提问甲赢的概率为,主持人B提问甲赢的概率为,每局比赛互相独立,且每局都分输赢.现抽签决定第一局由主持人A提问.
    ( = 1 \* rman i)求比赛只进行3局就结束的概率;
    ( = 2 \* rman ii)设为结束比赛时甲赢的局数,求的分布和数学期望.
    20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
    已知双曲线,,分别为其左、右焦点.
    (1)求,的坐标和双曲线的渐近线方程;
    (2)如图,是双曲线右支在第一象限内一点,圆是△的内切圆,设圆与,,分别切于点,,,当圆的面积为时,求直线的斜率;
    (3)是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于,两点,且使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
    21(2)图

    21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
    若无穷数列满足:存在正整数,使得对一切正整数成立,则称是周期为的周期数列.
    (1)若(其中正整数m为常数,),判断数列是否为周期数列,并说明理由;
    (2)若,判断数列是否为周期数列,并说明理由;
    (3)设是无穷数列,已知.求证:“存在,使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”.
    参考答案 2024.04
    一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
    1.;2.;
    3.;4.;
    5.;6.;
    7.;8.;
    9. ;10. ;
    11.;12. .
    二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
    13. ;14. ; 15. ;16..
    三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
    17.(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.
    解:(1)

    由,得
    所以,函数的单调增区间是.
    (2)由已知,所以
    因为,所以,即,所以
    又,所以,,
    所以,△的面积.
    18.(本题满分14分)第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.
    解:(1)为棱中点,△为正三角形,.
    又三棱柱是直三棱柱,
    平面,又平面,,
    因为
    平面平面,
    平面,平面平面
    (2)由(1)得平面, 平面,
    ,是二面角的平面角
    在△中,
    二面角的余弦值为.
    19.(本题满分14分,第1小题4分,第2小题( = 1 \* rman i)4分,第2小题( = 2 \* rman ii)6分)
    解:(1)提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关,
    确定显著性水平,由题意得,
    可得,
    由,且,
    所以接受原假设,学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.
    (2)(i)比赛只进行3局就结束,甲赢得比赛的概率为
    比赛只进行3局就结束,乙赢得比赛的概率为,
    故比赛只进行3局就结束的概率为;
    (ii)的可能取值为,
    ,即进行了3场比赛,且乙赢得比赛,故,
    ,即进行了4场比赛,且乙赢得比赛,前3场中,甲赢得1场比赛,乙第4场赢,
    故,
    ,即进行了5场比赛,且乙赢得比赛,前4场中,甲赢得2场比赛,乙第5场赢,


    ,即最后甲赢得比赛,由概率性质得,
    所以分布为
    故数学期望为
    20.(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分.
    解:(1)因为双曲线,所以,所以,
    即,,
    所以双曲线的渐近线方程是
    (2)解法一:由题意可知,,,
    所以,
    ,即是椭圆右顶点
    设圆的半径为,因为圆的面积为,则,即,

    设直线的斜率为,则直线的方程为,即,
    由圆心到直线的距离等于圆的半径,
    可得,
    解得直线的斜率为
    (3)假设存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于,两点,且使得,
    设,,,,中点为,,
    又,,
    由,可知△为等腰三角形,,且直线不与轴重合,
    于是,即,
    因此,,
    ,点,在双曲线上,
    所以,
    ①②化简整理得:,,
    则,
    可得,

    联立(Ⅰ)(Ⅱ)得,,
    得或(舍)所以
    由,得,
    所以直线的方程为.
    21.(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分.
    解:(1)∵
    ∴是为周期为的周期数列.
    (2)①当时,,,
    ∴当时,是周期为1的周期数列;
    ②当时,记,则,
    ,当且仅当时等号成立.
    即,所以在上严格增.
    若,则,即,进而可得,即是严格增数列,不是周期数列;
    同理,若,可得是严格减数列,不是周期数列.
    综上,当时,是周期为1的周期数列;当时,不是周期数列.
    (3)证明:
    必要性.
    若存在,使得是周期数列,设的周期为,则

    所以是周期为的周期数列.
    充分性.
    若是周期数列,设它的周期为,记,则
    ,是关于x的连续函数;
    ,是关于x的连续函数;

    ,是关于x的连续函数;

    令,则是连续函数,且
    ,,
    ∴存在零点.于是
    取,则,从而


    ……
    一般地,对任何正整数n都成立,即是周期为T的周期数列.
    (说明:关于函数连续性的说明不作要求)
    男生
    女生
    总计
    A等级
    40
    20
    60
    B等级
    20
    20
    40
    总计
    60
    40
    100
    0
    1
    2
    3
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