2024年小升初数学专题 （通用版）-09 有理数的加法（原卷版+解析版）

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1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性；
2．能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算；
3．经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法；
4. 能合理使用加法运算律使运算简便。
【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度：
(1) 第一次上升5°C，接着再上升3°C； (2) 第一次下降5°C，接着再下降3°C；
(3) 第一次下降5°C，接着再上升3°C； (4) 第一次下降3°C，接着再上升5°C。
问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度?
注意： (1)上升：下降5°C，即上升-5°C；下降3C，即上升- 3°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和；
（3）可借助温度计（或数轴）理解。
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．
注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定数字；
2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；
3.运算律：
注意：1）利用加法交换律、结合律,可以使运算简化,认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用.
考点1、 有理数加法法则的辨析
【解题技巧】有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数．
例1．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数
C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号
例2．（2022·广东七年级期中）（1）若，，，则____
（2）若，，，则____
变式1．（2022秋·四川乐山·七年级统考期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（ ）
A．两个加数必须都为正数B．两个加数都为负数
C．两个加数中至少有一个正数D．两个加数必须一正，一负
变式2．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（ ）
A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等
变式3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”）

考点2、 有理数的加法运算
【解题技巧】根据有理数加法的法则计算即可。
例1．（2023·宁夏吴忠·校考二模）计算的结果是（ ）
A．B．3C．7D．
例2．（2023·河北石家庄·统考二模）若要等式4成立，“”中应填的运算符号是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·河北保定·统考二模）按照有理数加法法则，计算的正确过程是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·天津河西·统考二模）计算的结果等于（ ）
A．5B．3C．D．
变式3．（2022秋·河南驻马店·七年级校考阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作的《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负），如图1表示的是，根据这种表示法，图2所表示的算式是，由此可推算出图2被盖住的部分是（ ）
A．B．C．D．
考点3、有理数加法的运算律
【解题技巧】有理数常见简算方法：
①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
例1．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）计算，比较合适的做法是（ ）
A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合
B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合
C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合
D．把第一、二、四这三个加数结合
例2．（2022秋·七年级课时练习）计算：
(1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43）
(3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）
(5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4）
例3．（2022秋·广东广州·七年级校考期中）阅读下面的解题方法．
计算：．
解：原式
．
上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
．
变式1．（2022·浙江金华·七年级校考阶段练习）计算时运算律用得恰当的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2022·河南南阳·七年级校考阶段练习）计算
(1)；(2)．
变式3．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
考点4、 有理数加法在生活实际中的应用
【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（2022·江苏淮安·七年级校考阶段练习）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记为“”，低于80分记为“”，例如：78分记为“”，81分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，0，则这五名同学的平均成绩应为 __．
例2．（2022秋·吉林松原·七年级统考期中）现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图位置放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12与乙温度计的度数对齐，那么此时乙温度计与甲温度计数对齐的度数是____________．
例3．（2023·北京房山·统考二模）甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负． 如此进行……比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局；若丙负3局，那么丙胜了___________局，三位同学至少进行了___________局比赛．
变式1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）西岳华山，是我国著名的五岳之一.已知华山山顶某日早晨的气温是，到中午上升了，则华山山顶这天中午的气温是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）小明在家庭的熏陶和学校的教育下，养成了好习惯．他把家里可回收物积攒起来拿到废品收购站回收换钱，这样既保护了环境，又可以为自己积攒一些零花钱．下表是他国庆节期间的部分收支情况（单位：元）．
下列说法正确的是（ ）
A．国庆节这天卖可回收物换收入元 B．买书花了元
C．买书时妈妈代付元 D．买书的钱与妈妈代付的钱数之和是21元
变式3．（2023·北京海淀·校考模拟预测）为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：
该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案____________（写出要购买的大礼包编号）
考点5、 有理数加法的运用（幻方问题）
【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。
例1．（2023秋·广东阳江·七年级统考期末）如图，是由3×3的方格构成的幻方，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，称为“幻方”．则的值为（ ）
A．4B．3C．0D．
例2．（2022·北京西城·七年级期末）在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．请将图中的数字补全______．
变式1．（2022秋·天津南开·七年级统考期中）把，，，，这五个数填入下列圆中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·山西朔州·七年级统考期末）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中国梦”这三个字表示的数之和为 _____．
变式3．（2023·河北唐山·统考二模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．

（1）若，则A处的数值为________；（2）①用含m的代数式表示________；②x的值为________
考点6、有理数加法的运用（新定义）
【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．以上答案都不对
例2．（2022秋·北京通州·七年级统考期中）用符号表示a，b两个有理数中的较大的数，用符号表示a，b两个有理数中的较小的数，则的值为________．
变式1．（2022秋·重庆·七年级校考期中）对有理数a、b定义新运算如下：，则_________．
变式2．（2022秋·七年级单元测试）设表示不超过的最大整数，计算：______．
变式3．（2022秋·重庆七年级课时练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为= ___________．
A级（基础过关）
1．（2023·天津西青·统考二模）计算的结果等于（ ）
A．B．5C．D．9
2．（2023·江苏南通·统考一模）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入18元B．收入6元C．支出6元D．支出12元
3．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图（1）表示的是的计算过程，则图（2）表示的计算过程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河北邢台·七年级金华中学校考阶段练习）在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·广东七年级期末）在计算时，佳佳的板演过程如下：
解：原式．
老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？”
甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”；
乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”；
丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”．
下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对
6．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）下列是运用有理数加法法则计算思考、计算过程的叙述：
①和2的绝对值分别为5和2；②的绝对值5较大；2的绝对值2较小
③是异号两数相加；④结果的绝对值是用得到；⑤计算结果为；
⑥结果的符号是取的符号－－负号；请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：______．
7．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）如果，，且，那么的值是___________．
8．（2023·重庆·九年级专题练习）如图的数轴上表示整数的点部分被墨迹盖住，那么被盖住的点表示整数的和为_________．
9．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）我国新疆大部分地区春夏和秋冬之交温差极大，故历来有“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果其某地某天的最低气温为，且全天最大温差为30℃，那么当天的最高气温是_________℃．
10．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知，，且，则的值为______．
11．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）在计算“”时，小明同学的做法如图所示，其中步骤①所运用的运算法则或运算律是_______．
12．（2022秋·河南郑州·七年级校考阶段练习）（1）如图，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里．
3.5，，0，，，3，，．
（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示____________数的集合．
（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．
13．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）计算
(1) (2) (3) (4)
14．（2022秋·江苏·七年级专题练习）计算：
(1)3+（−10）+9+（−12）+7 (2)（−0.19）+（−3.27）+（+6.19）+（−5）+2.27
(3)1+（−2）++ (4)4.4+（−）+（−7）+（−3）+（−2.4）
15．（2022秋·河南信阳·七年级校考阶段练习）用简便的方法计算：
(1)； (2)．
16．（2023秋·湖南常德·七年级校联考期末）已知箱苹果，以每箱千克为标准，超过千克的数记为正数，不足千克的数记为负数，称重记录如下：
(1)求箱苹果的总重量．(2)若每箱苹果的重量标准为（千克），则这箱有几箱不符合标准的？
B级（能力提升）
1．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）若“”的值为负数，则“□”不可能是（ ）
A．－1B．0C．D．3
2．（2023·河北·模拟预测）若两个非零的有理数a、b，满足：，，，则在数轴上表示数的点正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
4．（2022秋·广东中山·七年级期中）下列变形，运用加法运算律正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）一名粗心的同学在进行加法运算时，将“”错写成“”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（ ）
A．少5B．少10C．多5D．多10
6．（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）计算：______．
7．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．
8．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期末）观察下面*运算的运算结论．
根据观察，归纳＊运算的运算法则为：“两数相，同号得正，异号得负，______；特别地，0和任何数运算或任何数和0运算，都得这个数的绝对值．”
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：
若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 ___分钟．
10．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）计算的值为___________．
11．（2022秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读并解答题目后提出的探究问题．
第一步：【提出问题】
三个有理数满足，求的值．
第二步：【解决问题】
解：由题意三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，
①当都是正数，即、、时，
则：．
②当有一个为正数，另两个为负数时，设、、，
则：．
所以的值为或．
第三步：【探究问题】
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
三个有理数满足，求的值．
12．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服．后人称之为“洛书”（如图1所示），即现在的三阶幻方．
(1)请将1～9这九个数按照“洛书”表达的意思填在三行三列的数表中（图2），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．
(2)将，，0，1，2，3，4，5，6填入到图3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．
(3)图4是一个不完整的幻方，请将你认为正确的7个整数填入表格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．
(4)请将1-16剩余数字填入到图5的表格中，使得每行、每列、斜对角的四个数之和相等，构成四阶幻方．
13．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过7个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
(1)中间第2站上车人数是______人，下车人数是______人，开车时车上人数是______人；
(2)中间的7个站中，第______站没有人上车，第______站没有人下车，第______站上车人数与下车人数相同；(3)从表中你还能知道什么信息？请说出一条即可．
14．（2022秋·山东烟台·六年级统考期中）阅读材料：对于可以如下计算：
原式
．
上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：
．
15．（2022秋·河南信阳·七年级校考期中）对于一个数x，我们用表示小于x的最大整数，例如，．(1)填空：__________；__________；___________．
(2)若a，b都是整数，且和互为相反数，求的相反数．
C级（培优拓展）
1．（2022秋·浙江金华·七年级统考阶段练习）若，，且，则的值（ ）
A．大于 B．小于 C．大于或等于 D．小于或等于
2．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（ ）
A．点在线段（不包括端点）上B．点在线段（不包括端点）上
C．点在线段（不包括端点）上D．点在线段（不包括端点）上
3．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么原点的位置可能是（ ）
A．线段AM上，且靠近点AB．线段AB上，且靠近点B
C．线段BM上，且靠近点BD．线段BM上，且靠近点M
4．（2023·江苏常州·统考二模）如图，将数轴上与8两点间的线段六等分，五个等分点所对应的数依次为，，，，，则______0（填“>”、“=”或“<”）．
5．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是____________．
6．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）爱动脑筋的小明同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将，，7，这四个数填入了圆圈，则图中的值为 __．
7.（2022·浙江嘉兴市·七年级期末模拟）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻的可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用表示观测点A相对观测点C的高度），根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（ ）
A．米B．240米C．390米D．210米
8．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）计算：
9．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；．
(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．
(2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）
10．（2022秋·四川广安·七年级统考期末）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：
计算：
解：原式
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方式计算：
11．（2022秋·宁夏固原·七年级校考期中）如图是某旅游区景区示意图，在景区大门西侧还有景区C，旅游观光车从景区大门出发到A景区和B景区，然后再到C景区，最后回到景区大门．
(1)如果从B景区到C景区需要走8.5千米，以景区大门为原点写出各景区对应的数，并在图中标出景区C的位置，用m表示观光车到过所有景区后第一次回到景区大门走过的路程，求m；
(2)设A、B、C所表示的数字和为n，如果以A景区为原点，计算n；
(3)若观光车充足一次电能行走15千米，则该电瓶车能否在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此次任务?请计算说明．
12．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为_____，当时，的值为_____，当x为不等于0的有理数时，的值为_____；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
日期
收入或支出
结余
备注
1日


卖可回收物
5日
买书，不足部分由妈妈代付
大礼包编号
一等奖（个）
二等奖（个）
三等奖（个）
总奖品数（个）
1
5
4
10
2
3
3
8
3
1
4
8
4
2
5
11
5
1
3
9
3
4
5
12
﹣2
中
国
4
﹣1
梦
x
2
①_________，
同号两数的加法法则
异号两数的加法法则
，；，；
；．…
项目时间分钟
组别
①调整桌椅（A同学）
②扫地（B同学）
③拖地（C同学）
第一组
5
4
3
第二组
6
5
4
第三组
4
3
2
停靠站
起点站
中间第1站
中间第2站
中间第3站
中间第4站
中间第5站
中间第6站
中间第7站
终点站
上下车人数
0
0
100米
80米
米
50米
米
20米