2024年小升初数学专题 （通用版）-20 整体思想专项训练（原卷版+解析版）

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1. 了解数学中的整体思想；
2. 了解五种常见的整体思想求值题型；
3. 会灵活使用整体思想求整式的值。
【思考1】下图是实际生活中整体思想的应用，你还能举出哪些整体思想在生活中的应用呢？
【思考2】（1）天太热了，爸爸为涵涵准备了一满杯果汁，涵涵喝了杯，然后加满冰水，又喝了杯，再加满冰水又喝了半杯，再加满水，最后把一杯都喝了，涵涵喝的果汁多还是水多？
（2）甲乙两人从两地同时出发，甲每分走60米，乙每分走50米．有条小狗在两人之间往返跑个不停．小狗每分钟99米甲乙两地相距800米，两人相向走来．问两人相遇时，小狗跑了多少米？
提示：大家是否都有点似曾相识的感觉（都在小学见过），上面两道数学题如果按照事情发展的过程去逐步分析会很麻烦，但是用整体的数学思想去解决会取得意想不到的惊喜！
整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题. 这种思想方法在解题中往往能起到意想不到的效果．学生如果能应用整体思想思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。
在代数中有一类题目，给出一个含有未知变量的等式，解出未知变量确有很大难度，此类问题用最常规的思维方法来解，必然要先求出未知变量，然后代入所求的式子中进行求解．这种常规方法虽然可以求出答案，但是过程繁琐，计算复杂．而用整体法求解则会截然不同．
考点1、 整体思想--直接代入法
例1．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数：若，则；若，则．例，；已知当，时有，则代数式的值为________．
变式1．（2023·湖北十堰·统考二模）若，则的值为___________．
变式2.（2022·山东·七年级期中）已知，则的值为__________．
变式3．（2022·福建泉州·七年级期末）“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它在数学运算、推理中有广泛的应用．如：已知，，则．利用上述思想方法计算：已知，．则______．
考点2、整体思想-部分代入法（配系数法）
例1．（2023·江苏苏州·校考二模）若，则（ ）
A．5B．－5C．3D．－3
变式1．（2023秋·河南开封·七年级统考期末）若代数式的值是4，则的值是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）若代数式的值为，则代数式的值为______ ．
考点3、整体思想--奇次项为相反数（二次代入法）
例1．（2022·浙江杭州·七年级期中）当时，多项式的值为2，则当时，多项式的值为（ ）
A．0B．C．D．
变式1．（2022·浙江衢州·七年级校考期中）当时，，则当时的值为（ ）．
A．B．C．D．
变式2.（2022·广西·七年级期末）当时，代数式的值为3，则当时，代数式值为_______．
考点4、整体思想--整体构造法
例1．（2023秋·陕西延安·七年级校考期末）已知，，则代数式的值为
A．38B．35C．D．
变式1．（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）若，，则的值为（ ）
A．6B．4C．D．
变式2．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考阶段练习）若，，则式子的值是（ ）
A．B．16C．10D．
变式3．（2023秋·湖南衡阳·七年级校考期末）已知等式，，如果a和b分别代表一个整数，那么的值是___________；
考点5、整体思想--赋值法（特值法）
例1. （2022•安丘市七年级月考）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；
（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：
已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，
求（1）a0的值；（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）a6+a4+a2的值．
变式1．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为______．
变式2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）某数学小组在观察等式时发现：当时，.现在请你计算：______________
A级（基础过关）
1.（2022·江苏九年级一模）已知，那么代数式的值是（ ）
A．B．0C．23D．3
2.（2022·安徽七年级期末）对于多项式，当时，它的值等于，那么当时，它的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知整式的值是6，则的值是______．
4．（2023·湖北十堰·统考一模）若，则代数式的值是______ ．
5．（2023·河北石家庄·校联考二模）若，则的值为 _____．
6．（2023·四川广安·统考一模）已知，则代数式的值是__________．
7．（2022·四川内江·七年级校考阶段练习）按如图的程序计算，若开始输入x的值为2，则最后输出的结果是_________；
8.已知a﹣2b＝2，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝9，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
9.（2022•三明期末）已知a﹣3b＝2，m+2n＝4，求代数式2a﹣6b﹣m﹣2n的值．
10．（2022·湖南岳阳·七年级统考期末）已知多项式中，a，b，c为常数，当时，多项式的值是1；当时，多项式的值是2；若当x是和时，多项式的值分别为M与N，求的值．
B级（能力提升）
1．（2023春·七年级单元测试）若，，则的值是（ ）
A．B．2C．0D．
2．（2023秋·贵州遵义·七年级统考期末）如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（ ）
A．2B．C．－2D．
3.（2022•丹阳市期末）若代数式x2的值和代数式2x+y﹣1的值相等，则代数式9﹣2（y+2x）+2x2的值是（ ）
A．7B．4C．1D．不能确定
4．（2023·山东菏泽·统考二模）若，，则的值为________．
5．（2022秋·七年级课时练习）已知，，则____．
6．（2023·甘肃白银·统考一模）按下面的程序计算：
若开始输入x的值为2，则最后输出的结果为______．
7．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）当时，整式的值等于2021，那么当时，整式的值为______．
8．(2022.河北初一期末)已知代数式，当时，该代数式的值为-1.
（1）求的值．（2）已知当时，该代数式的值为-1，求的值．
（3）已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值．
（4）在第（3）小题已知条件下，若有成立，试比较与的大小．
9．已知，求的值．
10．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：(1)若，则_______；
(2)已知，求代数式的值；
(3)当时，代数式的值为5，则当，时，求代数式的值．
C级（培优拓展）
1．（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）关于x的多项式：，其中n为正整数．各项系数各不相同且均不为．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“亲密多项式”．当时，．
①多项式共有个不同的“亲密多项式”；②多项式共有个不同的“亲密多项式”；
③若多项式，则的所有系数之和为；④若多项式，则．
以上说法正确的有（ ）
A．①B．①②③C．①②④D．①②③④
2．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为（ ）
A．2B．C．4D．
3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．B．2C．14D．16
4．（2022·河北初一期中），那么等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·重庆·七年级专题练习）根据如图的程序计算，如果输入的x值是的整数，最后输出的结果不大于，那么输出结果最多有（ ）
A．种B．种C．种D．种
6．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）已知线段 ，，且 ，，则 等于____．
7．（2023·湖北宜昌·统考二模）若，则__________．
8．（2022·河南周口·七年级期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成是一个整体，则．
尝试应用：(1)把看成一个整体，合并的结果是____________．
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．
9．（2022·山东七年级期末）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则
（1）取时，直接可以得到；（2）取时，可以得到；
（3）取时，可以得到；（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：
已知．
求：（1）的值；（2）的值；（3）的值．
10．（2022·安徽安庆市·七年级期末）1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书﹣﹣《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，如图1，这个数字三角形原名“开方作法本源图”，是1050～100年间北宋人贾宪做的．后来，我们就把这种数字三角形叫做贾宪三角或杨辉三角，杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表，如图2所示．
（1）写出杨辉三角中的你所发现的规律（1条即可）；（2）写出（a+b）7展开式中的各项系数；
（3）已知（x﹣1）6＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+1，求a+b+c+d+e+f的值．