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重难点01代数式规律题与代数式求值（2考点5题型）2024年中考数学复习冲刺过关（全国通用）
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这是一份重难点01代数式规律题与代数式求值（2考点5题型）2024年中考数学复习冲刺过关（全国通用），文件包含重难点01代数式规律题与代数式求值原卷版docx、重难点01代数式规律题与代数式求值解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
考点一：代数式求值
代数式核心考点：
整式中：同类项与合并同类项、同底数幂的乘除法计算公式、乘法公式、整式的混合运算等；
分式中：分式的意义、分式的基本性质、分式的化简求值；
题型01 整式及其运算
【中考真题练】
1．（2023•黑龙江）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．（a+b）2＝a2+b2
C．（xy2）3＝x3y6D．（a5）2÷a7＝a
2．（2023•南充）关于x，y的方程组的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝ ．
4．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是 ．
5．（2023•宿迁）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝ ．
6．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
7．（2023•西宁）计算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．
8．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．
表2
表3
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．
【中考模拟练】
1．（2024•天河区校级一模）下列计算，正确的是（ ）
A．a2⋅a3＝a6B．a2+a2＝2a4
C．（﹣a2）3＝﹣a6D．（a﹣1）2＝a2﹣1
2．（2024•惠州模拟）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2
3．（2023秋•凉山州期末）已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．8
4．（2024•邗江区校级一模）已知a﹣2b＝8，则代数式a2﹣4ab+4b2的值为 ．
5．（2024•长安区一模）规定一种新运算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．
（1）计算：（3a）☆5＝ ；
（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，则x的值为 ．
6．（2024•南岗区校级一模）阅读材料：若x满足（6﹣x）（x﹣4）＝﹣3，求（6﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设（6﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则（6﹣x）（x﹣4）＝ab＝﹣3，a+b＝（6﹣x）+（x﹣4）＝2．
所以（6﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
带仿照上例解决下面问题：
若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣5，则（20﹣x）2+（x﹣10）2的值是 ．
7．（2024•南京模拟）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为 ．
8．（2024•重庆模拟）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝ ．
9．（2024•郸城县二模）（1）计算：；
（2）化简：（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x﹣y）2．
10．（2024•文水县一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务，
妙用平方差公式解决问题
学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：
例计算+
观察算式发现：如果将 乘 这时可以连续运用平方差公式进行计算，为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝2﹣+
＝2．
以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程．
任务：
（1）请仿照上述方法计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1；
（2）请认真观察，计算：．
题型02 分式及其化简计算
【中考真题练】
1．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（ ）
A．1B．C．D．
2．（2023•河北）化简的结果是（ ）
A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6
3．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．0或1
4．（2023•北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
5．（2023•宁夏）计算：+＝ ．
6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 ．
7．（2023•大庆）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为 ．
8．（2023•大连）计算：（+）÷．
9．（2023•丹东）先化简，再求值：
，其中．
10．（2023•宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
11．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【中考模拟练】
1．（2024•珠海校级一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024•绵阳模拟）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三数的大小为（ ）
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a
3．（2024•运城模拟）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．1
4．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．
5．（2024•湖州一模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
6．（2024•西城区校级一模）如果分式的值为0，则x的值是 ．
7．（2024•新疆模拟）当a＝﹣2时，代数式的值为 ．
8．（2024•凤翔区一模）化简：．
9．（2024•绵阳模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
10．（2024•天河区校级一模）先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
11．（2024•兴庆区校级一模）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”
规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．
请根据如表的“接力游戏”回答问题：
任务一：①在“接力游戏”中，丁同学是依据 C 进行变形的．
A．等式的基本性质
B．不等式的基本性质
C．分式的基本性质
D．乘法分配律
②在“接力游戏”中，从 同学开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：请你写出该分式化简的正确结果 ．
题型03 利用整体思想解决代数式求值问题
【中考真题练】
1．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ）
A．5B．7C．10D．﹣13
2．（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（ ）
A．24B．20C．18D．16
3．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 ．
4．（2023•宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝ 毫米．
5．（2023•赤峰）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（ ）
A．6B．﹣5C．﹣3D．4
6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 ．
7．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．
8．（2023•成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为 ．
9．（2023•菏泽）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．
【中考模拟练】
1．（2023•香洲区一模）已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（ ）
A．5B．3C．﹣7D．﹣10
2．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ）
A．5B．7C．10D．﹣13
3．（2023•姑苏区校级二模）若a2﹣3a+2＝0，则1+6a﹣2a2＝（ ）
A．5B．﹣5C．3D．﹣3
4．（2023•龙江县四模）代数式3x2﹣4x﹣5的值为7，则x2﹣x﹣5的值为（ ）
A．4B．﹣1C．﹣5D．7
5．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．
6．（2024•汉川市模拟）已知x2﹣x﹣6＝0，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
7．（2024•潼南区一模）当x＝1时，ax3+bx+3＝5；则当x＝﹣2时，则多项式ax2﹣2bx﹣2的值为 ．
8．（2024•咸安区模拟）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝ ．
9．（2024•安溪县模拟）已知，且x≠y，则的值为 ．
10．（2024•武侯区校级一模）若2x2+2xy﹣5＝0，则代数式的值为 ．
11．（2024•东阿县模拟）已知：m+＝5，则m2+＝ ．
12．（2023•河源一模）已知m2﹣4m+1＝0，则代数式值＝ ．
13．（2024•东城区校级模拟）已知a2+a﹣2＝0，求代数式的值．
考点二：代数式规律题
题型01 数字变化类规律题
【中考真题练】
1．（2023•牡丹江）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92B．87C．83D．78
2．（2023•常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a﹣b的值为（ ）
A．2003B．2004C．2022D．2023
3．（2023•临沂）观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律， ＝n2．
4．（2023•内蒙古）观察下列各式：
S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+ …
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝ ．
5．（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①
0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
6．（2023•聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
7．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【中考模拟练】
1．（2024•官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a，2a3，4a5，8a7，16a9，…，则第2024个式子为（ ）
A．22023a2025B．（22024﹣1）a4047
C．22023a4047D．22024a4049
2．（2024•渝中区校级模拟）有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，设为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}…以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个．
①a5＝2，，，，
②a10＝﹣2，
③a2015＝3，
④．
A．0B．1C．2D．3
3．（2024•南岗区校级一模）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
那么，当输入数据为8时，输出的数据为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024•东兴区一模）对于每个正整数n，设f（n）表示n×（n+1）的末位数字．例如：f（1）＝2（1×2末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字）…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）的值是（ ）
A．4020B．4030C．4040D．4050
5．（2024•沈阳模拟）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（ ）
A．B．37C．1D．4
6．（2024•兰山区校级模拟）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a2023﹣a2021＝ ．
7．（2024•湖南模拟）观察下面“品”字图形中各数字之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为 ．
8．（2023•咸丰县模拟）把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，……，则第21个数字是 ．
9．（2024•花山区校级一模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个式：
第3个等式：
第4个等式：
…
【总结规律】按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n个等式： （用含有n的等式表示）；
（3）利用以上规律，化简下面的问题（结果只需化简）．
．
题型02 图形变化类规律题
【中考真题练】
1．（2023•重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14B．20C．23D．26
2．（2023•达州）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，、、、的圆心依次为A、B、C、D循环，则的长是（ ）
A．B．2023πC．D．2022π
3．（2023•广元）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 21 ．
4．（2023•山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）．
5．（2023•十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 ．（用含n的式子表示）
6．（2023•绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝ .（结果用含n的代数式表示）
7．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
【中考模拟练】
1．（2024•济宁一模）如图都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，第9个图形中小正方形的个数是（ ）
A．100B．99C．98D．80
2．（2024•松山区一模）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由（ ）个基础图形组成．
A．3n﹣1B．3n+1C．4n﹣1D．4n
3．（2024•张家口一模）如图是P1，P2，…，P10十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等份．连接P1P2和P5P6，并延长交于一点，连接P9P10和P6P7并延长交于一点，则夹角各是多少（ ）
A．30°和60°B．54°和72°C．36°和54°D．36°和72°
4．（2024•重庆模拟）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中地①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第7个图案中共有画点的个数是（ ）
A．40B．49C．50D．52
5．（2024•南岸区校级模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（ ）
A．C12H24B．C12H25C．C12H26D．C12H28
6．（2024•渝中区校级模拟）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，……，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（ ）
A．97B．95C．87D．85
7．（2024•阿城区一模）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，继续排列下去，如果第n幅图中有337个菱形，则n＝ ．
8．（2024•巴东县模拟）如图，数轴上的点O为原点，点A表示的数为﹣3，动点P从点O出发，按以下规律跳动：第1次从点O跳动到OA的中点A1处，第2次从点A1跳动到A1A的中点A2处，第3次从点A2跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从点An﹣1 跳动到An﹣1A的中点A，处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A2024处，那么点A2024所表示的数为 ．
9．（2024•滕州市一模）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2023A2024＝ ．
10．（2024•东莞市校级一模）如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，把边长分别为x1，x2，x3，…xn的n个正方形依次放在△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…其他正方形依次放入，则第2022个正方形的边长x2022为 ．
易错点01：幂的各公式记背
易错点02：乘法公式的记背与区别
完全平方公式：
首先，需注意公式中ab乘积项的符号与两数和或差的一致性；其次，公式也是等式，从右往左也可以应用，故应用时要注意两平方项符号的一致性，如：
特别注意：当完全平方公式未知项为“中间项”时，答案一般会有两种情况，即正负皆可。
平方差公式：
平方差公式从左往右应用，只要一项系数相同，一项系数互为相反数即可，不需要都和公式长的一模一样，而结果特征为符号相同项的平方-符号相反项的平方；如：
易错点01：分式的判断只需要确定分母中含有未知数即可，不需要看化简后的结果；
易错点02：分式的值为0时，必须同步保证分母是有意义的，也就是分母不等于0，否则分式无意义；
解题大招01：若，则A、B同号；若 ，则A、B异号；
解题大招02：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数既要方便计算，又尽可能大点；
接力游戏
老师：化简：
甲同学：原式＝
乙同学：＝
丙同学：＝
丁同学：＝．
代数式求值问题常用处理办法：
①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式
②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，
③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果；
x/克
0
2
4
6
10
y/毫米
10
14
18
22
30
解题大招01：周期型规律题常见处理办法：
①.找出第一周期的几个数，确定周期数
②.算出题目中的总数和待求数
③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）
④.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；
解题大招02：推理型规律题常见处理办法：
①依题意推出前3~4项规律的表达式；
②类推第N项表达式
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
…
解题大招：多从图形的变化规律上找相同点，再类比数字变化类推论去推导所求目标项的数字或表达式
考点一：代数式求值
代数式核心考点：
整式中：同类项与合并同类项、同底数幂的乘除法计算公式、乘法公式、整式的混合运算等；
分式中：分式的意义、分式的基本性质、分式的化简求值；
题型01 整式及其运算
【中考真题练】
1．（2023•黑龙江）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．（a+b）2＝a2+b2
C．（xy2）3＝x3y6D．（a5）2÷a7＝a
2．（2023•南充）关于x，y的方程组的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝ ．
4．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是 ．
5．（2023•宿迁）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝ ．
6．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
7．（2023•西宁）计算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．
8．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．
表2
表3
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．
【中考模拟练】
1．（2024•天河区校级一模）下列计算，正确的是（ ）
A．a2⋅a3＝a6B．a2+a2＝2a4
C．（﹣a2）3＝﹣a6D．（a﹣1）2＝a2﹣1
2．（2024•惠州模拟）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2
3．（2023秋•凉山州期末）已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．8
4．（2024•邗江区校级一模）已知a﹣2b＝8，则代数式a2﹣4ab+4b2的值为 ．
5．（2024•长安区一模）规定一种新运算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．
（1）计算：（3a）☆5＝ ；
（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，则x的值为 ．
6．（2024•南岗区校级一模）阅读材料：若x满足（6﹣x）（x﹣4）＝﹣3，求（6﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设（6﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则（6﹣x）（x﹣4）＝ab＝﹣3，a+b＝（6﹣x）+（x﹣4）＝2．
所以（6﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
带仿照上例解决下面问题：
若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣5，则（20﹣x）2+（x﹣10）2的值是 ．
7．（2024•南京模拟）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为 ．
8．（2024•重庆模拟）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝ ．
9．（2024•郸城县二模）（1）计算：；
（2）化简：（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x﹣y）2．
10．（2024•文水县一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务，
妙用平方差公式解决问题
学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：
例计算+
观察算式发现：如果将 乘 这时可以连续运用平方差公式进行计算，为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝2﹣+
＝2．
以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程．
任务：
（1）请仿照上述方法计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1；
（2）请认真观察，计算：．
题型02 分式及其化简计算
【中考真题练】
1．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（ ）
A．1B．C．D．
2．（2023•河北）化简的结果是（ ）
A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6
3．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．0或1
4．（2023•北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
5．（2023•宁夏）计算：+＝ ．
6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 ．
7．（2023•大庆）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为 ．
8．（2023•大连）计算：（+）÷．
9．（2023•丹东）先化简，再求值：
，其中．
10．（2023•宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
11．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【中考模拟练】
1．（2024•珠海校级一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024•绵阳模拟）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三数的大小为（ ）
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a
3．（2024•运城模拟）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．1
4．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．
5．（2024•湖州一模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
6．（2024•西城区校级一模）如果分式的值为0，则x的值是 ．
7．（2024•新疆模拟）当a＝﹣2时，代数式的值为 ．
8．（2024•凤翔区一模）化简：．
9．（2024•绵阳模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
10．（2024•天河区校级一模）先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
11．（2024•兴庆区校级一模）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”
规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．
请根据如表的“接力游戏”回答问题：
任务一：①在“接力游戏”中，丁同学是依据 C 进行变形的．
A．等式的基本性质
B．不等式的基本性质
C．分式的基本性质
D．乘法分配律
②在“接力游戏”中，从 同学开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：请你写出该分式化简的正确结果 ．
题型03 利用整体思想解决代数式求值问题
【中考真题练】
1．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ）
A．5B．7C．10D．﹣13
2．（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（ ）
A．24B．20C．18D．16
3．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 ．
4．（2023•宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝ 毫米．
5．（2023•赤峰）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（ ）
A．6B．﹣5C．﹣3D．4
6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 ．
7．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．
8．（2023•成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为 ．
9．（2023•菏泽）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．
【中考模拟练】
1．（2023•香洲区一模）已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（ ）
A．5B．3C．﹣7D．﹣10
2．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ）
A．5B．7C．10D．﹣13
3．（2023•姑苏区校级二模）若a2﹣3a+2＝0，则1+6a﹣2a2＝（ ）
A．5B．﹣5C．3D．﹣3
4．（2023•龙江县四模）代数式3x2﹣4x﹣5的值为7，则x2﹣x﹣5的值为（ ）
A．4B．﹣1C．﹣5D．7
5．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．
6．（2024•汉川市模拟）已知x2﹣x﹣6＝0，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
7．（2024•潼南区一模）当x＝1时，ax3+bx+3＝5；则当x＝﹣2时，则多项式ax2﹣2bx﹣2的值为 ．
8．（2024•咸安区模拟）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝ ．
9．（2024•安溪县模拟）已知，且x≠y，则的值为 ．
10．（2024•武侯区校级一模）若2x2+2xy﹣5＝0，则代数式的值为 ．
11．（2024•东阿县模拟）已知：m+＝5，则m2+＝ ．
12．（2023•河源一模）已知m2﹣4m+1＝0，则代数式值＝ ．
13．（2024•东城区校级模拟）已知a2+a﹣2＝0，求代数式的值．
考点二：代数式规律题
题型01 数字变化类规律题
【中考真题练】
1．（2023•牡丹江）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92B．87C．83D．78
2．（2023•常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a﹣b的值为（ ）
A．2003B．2004C．2022D．2023
3．（2023•临沂）观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律， ＝n2．
4．（2023•内蒙古）观察下列各式：
S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+ …
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝ ．
5．（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①
0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
6．（2023•聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
7．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【中考模拟练】
1．（2024•官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a，2a3，4a5，8a7，16a9，…，则第2024个式子为（ ）
A．22023a2025B．（22024﹣1）a4047
C．22023a4047D．22024a4049
2．（2024•渝中区校级模拟）有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，设为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}…以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个．
①a5＝2，，，，
②a10＝﹣2，
③a2015＝3，
④．
A．0B．1C．2D．3
3．（2024•南岗区校级一模）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
那么，当输入数据为8时，输出的数据为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024•东兴区一模）对于每个正整数n，设f（n）表示n×（n+1）的末位数字．例如：f（1）＝2（1×2末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字）…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）的值是（ ）
A．4020B．4030C．4040D．4050
5．（2024•沈阳模拟）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（ ）
A．B．37C．1D．4
6．（2024•兰山区校级模拟）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a2023﹣a2021＝ ．
7．（2024•湖南模拟）观察下面“品”字图形中各数字之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为 ．
8．（2023•咸丰县模拟）把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，……，则第21个数字是 ．
9．（2024•花山区校级一模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个式：
第3个等式：
第4个等式：
…
【总结规律】按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n个等式： （用含有n的等式表示）；
（3）利用以上规律，化简下面的问题（结果只需化简）．
．
题型02 图形变化类规律题
【中考真题练】
1．（2023•重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14B．20C．23D．26
2．（2023•达州）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，、、、的圆心依次为A、B、C、D循环，则的长是（ ）
A．B．2023πC．D．2022π
3．（2023•广元）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 21 ．
4．（2023•山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）．
5．（2023•十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 ．（用含n的式子表示）
6．（2023•绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝ .（结果用含n的代数式表示）
7．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
【中考模拟练】
1．（2024•济宁一模）如图都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，第9个图形中小正方形的个数是（ ）
A．100B．99C．98D．80
2．（2024•松山区一模）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由（ ）个基础图形组成．
A．3n﹣1B．3n+1C．4n﹣1D．4n
3．（2024•张家口一模）如图是P1，P2，…，P10十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等份．连接P1P2和P5P6，并延长交于一点，连接P9P10和P6P7并延长交于一点，则夹角各是多少（ ）
A．30°和60°B．54°和72°C．36°和54°D．36°和72°
4．（2024•重庆模拟）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中地①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第7个图案中共有画点的个数是（ ）
A．40B．49C．50D．52
5．（2024•南岸区校级模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（ ）
A．C12H24B．C12H25C．C12H26D．C12H28
6．（2024•渝中区校级模拟）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，……，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（ ）
A．97B．95C．87D．85
7．（2024•阿城区一模）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，继续排列下去，如果第n幅图中有337个菱形，则n＝ ．
8．（2024•巴东县模拟）如图，数轴上的点O为原点，点A表示的数为﹣3，动点P从点O出发，按以下规律跳动：第1次从点O跳动到OA的中点A1处，第2次从点A1跳动到A1A的中点A2处，第3次从点A2跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从点An﹣1 跳动到An﹣1A的中点A，处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A2024处，那么点A2024所表示的数为 ．
9．（2024•滕州市一模）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2023A2024＝ ．
10．（2024•东莞市校级一模）如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，把边长分别为x1，x2，x3，…xn的n个正方形依次放在△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…其他正方形依次放入，则第2022个正方形的边长x2022为 ．
易错点01：幂的各公式记背
易错点02：乘法公式的记背与区别
完全平方公式：
首先，需注意公式中ab乘积项的符号与两数和或差的一致性；其次，公式也是等式，从右往左也可以应用，故应用时要注意两平方项符号的一致性，如：
特别注意：当完全平方公式未知项为“中间项”时，答案一般会有两种情况，即正负皆可。
平方差公式：
平方差公式从左往右应用，只要一项系数相同，一项系数互为相反数即可，不需要都和公式长的一模一样，而结果特征为符号相同项的平方-符号相反项的平方；如：
易错点01：分式的判断只需要确定分母中含有未知数即可，不需要看化简后的结果；
易错点02：分式的值为0时，必须同步保证分母是有意义的，也就是分母不等于0，否则分式无意义；
解题大招01：若，则A、B同号；若 ，则A、B异号；
解题大招02：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数既要方便计算，又尽可能大点；
接力游戏
老师：化简：
甲同学：原式＝
乙同学：＝
丙同学：＝
丁同学：＝．
代数式求值问题常用处理办法：
①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式
②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，
③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果；
x/克
0
2
4
6
10
y/毫米
10
14
18
22
30
解题大招01：周期型规律题常见处理办法：
①.找出第一周期的几个数，确定周期数
②.算出题目中的总数和待求数
③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）
④.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；
解题大招02：推理型规律题常见处理办法：
①依题意推出前3~4项规律的表达式；
②类推第N项表达式
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
…
解题大招：多从图形的变化规律上找相同点，再类比数字变化类推论去推导所求目标项的数字或表达式
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