山西省大同市2023-2024学年七年级下学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列实数是无理数的是（ ）
A B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的定义，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【详解】解：是无限不循环小数，它是无理数；
，0是整数，是分数，它们都不是无理数；
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点判断即可．
【详解】解：∵点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴在平面直角坐标系中，点在第四象限．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（正，正）；第二象限（负，正）；第三象限（负，负）；第四象限（正，负）．
3. 如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被㬼盖住数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别估算四个数的大小，即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴被墨迹覆盖的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小．
4. 如图，直线，将直角三角尺的直角顶点放在直线a上．若，则的度数为（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据直角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵是直角三角尺
，
．
故选：D．
5. 归纳平方根和立方根的特征时，分了正数、、负数三种情况进行研究，其中主要体现的数学思想是（ ）
A. 转化思想B. 方程思想C. 分类讨论思想D. 数形结合思想
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据平方根和立方根的性质解答即可．
【详解】归纳平方根和立方根的特征时，分了正数、、负数三种情况进行研究，其中主要体现的数学思想是，分类讨论思想．
故选：．
【点睛】本题考查是平方根和立方根，掌握正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是，体现了分类讨论的数学思想．
6. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意；
B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意；
C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意；
D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 的平方根是B. 在同一平面内，若，，则
C. 若，，则D. 的立方根是
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查平方根及立方根的计算，平行线的推理，根据平方根、立方根及平行线的推理依次判断即可．
【详解】解：A、的平方根是，选项错误，不符合题意；
B、在同一平面内，若，，则，选项错误，不符合题意；
C、若，，则，选项正确，符合题意；
D、的立方根是，，选项错误，不符合题意；
故选：C．
8. 如图是一个教室的平面示意图，把小强的作为“第2列第4排”记为．若小华的座位为，则下列四个座位中，与小华的座位相邻的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，关键是根据有序数对表示点的位置，根据点的坐标确定位置．
根据小华的座位为，结合四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与其相邻的座位，即可得出答案．
【详解】解：∵小华的座位为，
∴与小华的座位相邻的是，
故选：B．
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，已知点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为6，则t的值为（ ）
A. 6B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，根据点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为6，解出的值．
【详解】解： A到x轴的距离为1，到y轴的距离为6，
且，
解得：且或，
故，
故选：A．
10. 如图，将一张长方形纸条折叠．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查平行线的性质，根据题意标注字母，然后根据平行线的性质及折叠的性质进行求解即可，熟练掌握平行线的性质是解题关键
【详解】解：如图所示：
∵长方形纸条，
∴，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
故选：C
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上）
11. 如图，现要从幸福小区修建一条连接街道的最短小路，过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是_______．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】由垂线的性质，即可判断．
【详解】解：沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．
12. 某地举办了“绘少年力量，画无烟未来”青少年控烟绘画大赛．小宇想裁出一块面积为81的正方形画布，画上自己的作品参加比赛，则这块正方形画布的边长为______dm．

【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的面积，算术平方根的意义，利用正方形的面积和算术平方根的意义解答即可．
【详解】解：正方形的面积为边长，
正方形的边长，
故答案为：9；
13. 如图，若棋盘中“相”的坐标是，“卒”的坐标是，则“馬”的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
根据“相”和“卒”的坐标得出原点的位置建立直角坐标系，即可求得“馬”的坐标．
【详解】如图所示：
∴ “馬”的坐标是：．
故答案为：．
14. 如图1，从一个边长为4的正方形纸片中剪掉两个边长为a的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2的周长为22，则a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据所给图形及周长列出关于a的一元一次方程，解方程即可．
详解】解：由题意得，
解得，
故答案为：．
15. 如图，点E，F分别在射线，上，且平分．若，，，则的度数为_______．
【答案】##71度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，然后再利用角平分线的定义进行计算即可解答．
【详解】∵
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴，
故答案为：71．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
16. （1）计算：
（2）已知，求x的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简与加减法、立方根、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
（1）先化简绝对值和二次根式，计算立方根和二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）利用平方根解方程即可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
，
，
，
．
17. 已知，．
（1）若x算术平方根为3，求a的值．
（2）若一个正数的两个不同的平方根分别为x，y，求这个正数．
【答案】（1）
（2）25
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，熟练掌握算术平方根，平方根的定义是解题的关键．
（1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值；
（2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数．
【小问1详解】
解：（1）的算术平方根为3，
，
，
，
；
【小问2详解】
根据题意得：，
即：，
，
，
这个正数为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，把三角形先向下平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度，得到三角形．
（1）在图中画出三角形，并写出，，三点的坐标；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）图见解析，，，
（2）7
【解析】
【分析】本题考查了平移变换及网格求三角形面积、坐标与图形；熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质作出图形；利用平移的性质得出对应点坐标即可求解；
（2）利用分割法即可求解．
【小问1详解】
解：画出三角形如图所示：
，，．
【小问2详解】
．
19. 完成下面的证明：
如图，，平分交的延长线于点E，交于点F，．求证：．
证明：∵平分，
∴（角平分线的定义）．
∵，
∴（______）．
∵，，
∴______（______）．
∴（______）．
【答案】两直线平行，同位角角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：∵平分，
∴（角平分线的定义）．
∵，
∴（两直线平行，同位角角相等）．
∵，，
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，同位角角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
20. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）若点A在x轴上，求a的值；
（2）若，求点B的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的特征及坐标与图形，根据平行于轴的点的纵坐标相同得出方程求解是解题关键．
（1）根据点在x轴上，则纵坐标为0求解即可；
（2）根据平行于轴的点的纵坐标相同得出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵点A的坐标为，点A在x轴上，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：点A的坐标为，点B的坐标为，轴，
点，
解得：，
点的横坐标为，
点的坐标为．
21. 阅读下面材料，并完成相应任务．
用夹值法估计无理数的大小
通过学习，我们知道很多正有理数的算术平方根或立方根是无理数，例如，，，等都是无理数，我们可以用有理数近似的表示它们，一般用科学计算器进行计算．当没有计算器时，我们可以用夹值法估算其大小．
例：探究的大小．
解：∵，，而，
∴．
∵，，而，
∴．
∵，，而，
∴．
……
如此进行下去，可以得到的更精确的近似值．
任务：
（1）根据下表回答问题：
①的平方根是______；
②______（精确到0.1）；
③请直接写出在表中哪两个相邻的数之间．
（2）请仿照上述方法求在哪两个相邻的数之间（精确到0.1）．
【答案】（1）①；②；③在和之间
（2）在和之间
【解析】
【分析】本题考查实数的估算方法，熟练掌握实数的估算方法是解题的关键．
（1）①结合表格中数据即可得出结果；②结合表格中数据即可得出结果；③结合表格中数据得，，即可得出结果；
（2）根据题干中的例题计算方法求解即可．
【小问1详解】
解：①∵ ，
∴的平方根是；
故答案为：；
②∵，
∴；
故答案为：；
③∵，，
∴在和之间；
【小问2详解】
解：∵，，而，
∴．
∵，，而，
∴，
∴在和之间．
22. 综合与实践
如图，直线，相交于点E，，平分．
（1）若，则的度数为______．
（2）小宇经探究发现的度数始终是度数的一半，请判断他的发现是否正确，并说明理由．
（3）在射线上取一点O，将线段延射线方向平移到的位置，连接，交于点H．若，求的度数．
【答案】（1）
（2）正确，理由见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，掌握对顶角相等、邻补角之和等于是解题的关键．
（1）根据对顶角相等求出的度数，根据垂直的定义计算即可；
（2）设，用表示出和，计算即可．
（3）根据平移对应点的连线互相平行或重合可得，即可的得出结论；
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
【小问2详解】
正确，理由如下：
设，
平分，
，
∴，
，
，
，
．
【小问3详解】
∵
∴
∵将线段延射线方向平移到的位置
∴为对应点，为对应点
∴
∴
∴
，
，
∴
23. 综合与探究
探索发现：
（1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，，点在、之间，连接、，试说明．
下面是两位同学添加辅助线方法：
请选择其中一种方法写出证明过程．
解决问题：
（2）已知直线，连接，，．
①如图4，分别平分，，求的度数．
②如图5，延长线段至点，过点作交CD的延长线于点，，分别平分，，请判断的度数是否为定值．若是， 直接写出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②为定值，
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，根据题意作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
（1）选择小刚添加辅助线的方法，证得，进而可求得，即可求得答案；选择小红添加辅助线的方法，求得，结合即可求得答案．
（2）过点E作，根据角平分线及平行线的性质即可求解．
（3）过点F作，则，根据平行线的性质及等量代换即可求解．
【详解】证明：（1）选择小刚添加辅助线的方法，证明如下：
∵，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
选择小红添加辅助线的方法，证明如下：
∵，
∴．
又，
∴．
（2）①过点E作，
∴，
∵，．
∴，，
∵分别平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
②为定值，理由如下：
过点F作，则，
∵，．
∴，，
∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴．x
18
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9