福建师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题4分，共40分）
1. 能经过平移得到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平移图形的识别，根据平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变图形的位置判断即可．
【详解】解：由平移不改变图形的大小，方向和形状可知，四个选项中只有A选项中的图形可以通过平移得到，
故选：A．
2. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. B. C. 0.3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，涉及无理数的定义及常见无理数形式、算术平方根运算等知识，由无理数定义及常见形式逐项判断即可得到答案．
【详解】解：，
、、是有理数，是无理数，
故选：B．
3. 下列各数中没有平方根的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方根定义，根据平方根定义逐项验证即可得到答案，熟记负数没有平方根是解决问题的关键．
【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根可知符合题意，
，
、、都有平方根，
故选：D．
4. 如图，直线经过点，若，则图中与的关系是（ ）
A. 对顶角B. 互为余角C. 互为邻补角D. 互为补角
【答案】B
【解析】
【分析】根据得到，进而得到，根据互为余角的定义即可得解．
【详解】解：，
，
，
与的关系是互为余角．
故选B．
【点睛】本题考查了垂直和互为余角的定义，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键．
5. 如图,由下列条件不能得到直线a∥b的是( )
A. ∠1=∠2B. ∠1=∠3C. ∠1+∠4=180°D. ∠2+∠4=180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法逐个进行判断．
【详解】解：A、∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
C、∠1+∠4=180°与a，b的位置无关；
D、∵∠2+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键．
6. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行
B. 对顶角相等
C. 若，则
D. 若点在x轴上，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定等知识，难度不大．
利用平行线的判定及性质、对顶角相等、有理数的乘方、x轴上点的坐标特点等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：选项A、内错角相等，两直线平行，是真命题，本选项不符合题意；
选项B、对顶角相等，是真命题，本选项不符合题意；
选项C、若，则，是真命题，本选项不符合题意；
选项D、若点在x轴上，则，原说法是假命题，本选项符合题意．
故选：D．
7. 若，则的算术平方根可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平方根、代数式求值及求算术平方根，根据题意，求出，分类求解得到，再求出算术平方根即可得到答案，熟记平方根及算术平方根定义及运算是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
当时，，则没有算术平方根；
当时，，则的算术平方根为；
故选：B．
8. 如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，若点E在数轴上位于A点的右侧，且，点E表示的数为，则点A所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，先根据正方形面积计算公式求出，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是面积为2的正方形，
∴，
∵点E表示的数为，
∴点A所表示的数为，
故选：C．
9. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是 ：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据两种酒共用30钱，共2斗的等量关系列出方程组即可．
【详解】设醇酒为x斗，行酒为y斗，由题意，则有
，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是解题的关键．
10. 点位于轴右侧，且到轴的距离为3，则点的坐标不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及算术平方根定义、平方非负性等知识，根据题意，确定点的坐标特征即可得到答案，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：点位于轴右侧，
点的横坐标为正，
点到轴的距离为3，
点的纵坐标为，
符合题意；
由算术平方根的性质得到，则为，不符合题意；
，，
、符合题意；
点的坐标不可能是，
故选：A．
二、填空题（每空4分，共24分）
11. 把方程改写成用含y的代数式表示x，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个字母看做已知数，另一个字母看做未知数．
将y看作已知数值即可求解．
【详解】解：把方程改写成用含y的代数式表示x，
则．
故答案为：．
12. 若是方程的一个解，则a的值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】把代入方程得，
解得：，
故答案为：3．
13. 的整数部分是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的性质及无理数估算，由算术平方根性质得到，由无理数的估算即可得到答案，熟记算术平方根性质是解决问题的关键．
【详解】解：，
，则的整数部分是，
故答案为：．
14. 如图，直线与直线相交于点，，垂足为，，则的度数为______．
【答案】60°##60度
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得，由，可得，由，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
，
解得．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，几何图形角度的计算，数形结合是解题的关键．
15. 若，则______（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的性质与运算，根据，将代入即可得到答案，熟练掌握算术平方根的性质与运算是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
16. 如图，点在坐标轴上，为线段上一动点，为线段上的一动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，根据点到直线距离垂线段最段可知，的最小值为时，垂线段的长度，连接，如图所示，根据图形与坐标，数形结合得到相关线段长，再由等面积法列方程求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，根据点到直线距离垂线段最段可知，的最小值为时，垂线段的长度，连接，如图所示：
，
，
在中，，则，
，
，
，即，解得，则的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题-点到直线距离垂线段最短，涉及图形与坐标、勾股定理、等面积法求线段长等知识，数形结合求出线段长是解决问题的关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据立方根及算术平方根的运算先化简，再由有理数的加减运算求解即可得到答案；
（2）根据算术平方根的运算、去绝对值运算先化简，再由算术平方根的加减运算求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根运算、有理数加减运算、去绝对值等知识，熟记相关定义及运算法则是解决问题的关键．
18 解方程
（1）
（2）关于的二元一次方程组的解满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可得到答案；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组得到，代入解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
将①代入②得，解得；
将代入①得；
方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
①②得；
，
，解得．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，涉及代入消元法解二元一次方程组、加减消元法解二元一次方程组，利用二元一次方程组的解法求参数等，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
19. 已知：如图，中，点D、E分别是、上，平分，．交的延长线于点F，且．求证：．
完成下面证明，并在括号里补充推理的依据。
证明：∵平分（已知）
（______）
（已知），
∴∠____________，
（______）
（已知）
（______）
（______）
【答案】角平分线的定义；2；3；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵平分（已知）
（角平分线的定义）
（已知），
∴，
（内错角相等，两直线平行）
（已知）
（平行于同一条直线的两条直线平行）
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：角平分线的定义；2；3；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．
20. 已知，，点的横、纵坐标分别为、，
（1）求点的坐标；
（2）若在坐标轴上，是第二象限上的点，轴且，求出的坐标．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，平方根与立方根的定义；
（1）根据平方根与立方根的定义得出的值，进而即可求解；
（2）根据在坐标轴上，得出，进而根据轴且，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴或，，
∴或；
【小问2详解】
∵在坐标轴上，
∴，
∵是第二象限上的点，轴且，
∴．
21. 已知点A、B的坐标分别为，将线段平移到，使点与点对应，点移与点对应，设平移过程中线段扫过的面积为．
（1）若将线段向右平移3个单位，向上平移4个单位，在图1中画出平移后的线段，并写出点的坐标______；
（2）若平移后点的坐标为，则点的坐标为______，则的值为______；
（3）若，且点在轴上，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】（1）作图见解析，
（2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据平移性质，数形结合即可作出图形，从而得到点的坐标；
（2）根据平移性质，数形结合作出图形，从而得到点的坐标，在网格中求出平行四边形面积即可得到答案；
（3）根据题中条件，结合平移性质，数形结合作出图形，从而得到点的坐标．
【小问1详解】
解：如图所示：
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示：
，
，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：若，且点在轴上，如图所示：
或．
【点睛】本题考查图形与坐标，涉及平移作图、平移性质、网格中求图形面积等知识，熟练掌握平移作图，数形结合，利用平移性质求解是解决问题的关键．
22. 某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表：
（1）甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？
（2）该公司又新购买27吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？
【答案】（1）甲种货车满载时每辆能运输原料吨，乙种货车满载时每辆能运输原料吨
（2）有两种租车方案：①甲车有辆，乙车有辆；②甲车有辆，乙车有辆
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程及二元一次方程组解决实际问题，读懂题意，准确列出方程及方程组是解决问题的关键．
（1）根据题意，设甲种货车满载时每辆能运输原料吨，乙种货车满载时每辆能运输原料吨，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）由（1）中结论，设甲车有辆，乙车有辆，列二元一次方程，分类讨论即可得到答案．
【小问1详解】
解：设甲种货车满载时每辆能运输原料吨，乙种货车满载时每辆能运输原料吨，则
，解得，
答：甲种货车满载时每辆能运输原料吨，乙种货车满载时每辆能运输原料吨；
【小问2详解】
解：设甲车有辆，乙车有辆，则
，
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，不是整数，不符合题意；
当时，，解得，不是整数，不符合题意；
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，不是整数，不符合题意；
当时，，解得，不是整数，不符合题意；
综上所述，有两种租车方案：①甲车有辆，乙车有辆；②甲车有辆，乙车有辆．
23. 如图，是直线上两点，在直线外，平分．

（1）试说明平分；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）．
【答案】（1）说明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合两个三角形全等的判定定理得到，从而利用全等三角形性质即可得证；
（2）由题中条件，根据平行线的判定定理得到，，再结合即可得出，利用三角形内角和定理求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：平分，
说明如下：
平分，
，
在和中，
，
，即平分；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，即，
，
由（1）知，
，
，
中，．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关几何知识的判定与性质，灵活运用是解决问题的关键．
24. 已知，，点是线段上一动点，连接、．

（1）如图1，证明；
（2）连接，若，过点作直线，在直线上取点，使；
①当时，求与之间的数量关系；
②在点运动过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是（用含的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差；
（1）作，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：如图所示，作，

∵
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：①分两种情况：
点在直线的上方时，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得；
点在直线的下方时，如图所示：

，
∴，
整理，得；
②作，如图所示：

∵，
∴点到直线的距离就是线段的长，
∵，
∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
25. 在平面直角坐标系中，点，且满足．
（1）请直接写出点的值；
（2）线段以每秒2个单位的速度向右运动，对应的点分别为、，
①若线段与轴的交于点，当时，求点坐标及的面积；
②若直线交轴于点，当时，求运动时间的值，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）①；；②当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）根据平方的非负性、算术平方根的非负性以及非负式和为零的条件求解即可得到答案；
（2）由（1）知，①设运动时间为，则运动距离为，得到，间接表示，列方程求解即可得到，从而确定，由列式即可得到，进而同理间接求出的面积；②由，表示，分三种情况列方程解出，从而确定，求出列式求解即可得到．
【小问1详解】
解：，，，
，解得；
【小问2详解】
解：由（1）中可得，
①如图所示：
设运动时间为，则运动距离为，
，
，
，解得，
，
，即；
如图所示：
，，
；
②根据题意，分三种情况：交轴于点；延长线交轴于点；延长线交轴于点；
当交轴于点时，如图所示：
由①知，
，
，则，
，解得，
，则，
，
，即；
当延长线交轴于点，如图所示：
由图可知，与题中矛盾，即此种情况不存在；
当延长线交轴于点，如图所示：
由①知，
，
，则，
，解得，
，则，
，
，即．
【点睛】本题考查图形与坐标，涉及平方非负性、算术平方根非负性、非负式和为零的条件、平移性质、三角形面积问题，读懂题意，数形结合，根据题意准确表示三角形面积是解决问题的关键．甲种货车
乙种货车
总量（吨）
第一次
4辆
5辆
31
第二次
3辆
6辆
30