北京市第二十七中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共6页，100分，考试用长100分钟，考生务必将答案作答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题纸交回．
一、选择题（共20分，每小题2分）
1. 下列各点中，在直线上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别将四个选项中的点的坐标代入已知解析式进行验证，即可得出答案．
【详解】解：A. 当时，，则不在直线上，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，，则不在直线上，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当时，，则不在直线上，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当时，，则在直线，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标的特点，熟练掌握函数图像上的点的坐标满足函数解析式是解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以选项错误；
B、，所以选项错误；
C、，所以选项错误；
D、，所以选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
3. 若|x﹣5|+2=0，则x﹣y的值是（ ）
A. ﹣7B. ﹣5C. 3D. 7
【答案】D
【解析】
【详解】根据非负数的意义，可得x-5=0，y+2=0，解得x=5，y=-2，所以x-y=5-（-2）=7.
故选D.
【点睛】此题主要考查了非负数的意义，解题关键是利用绝对值、平方、二次根式的和为0时，是使各部分均为0，即可求解.
4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）．
A. 两组对边分别平行B. 对角线相等
C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解：
【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意；
B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意；
C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意；
D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意．
故选B．
5. 若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（ ）.
A. 3B. C. 2D. 或2
【答案】D
【解析】
【分析】x可为斜边也可为直角边，因此要分类进行讨论，利用勾股定理求解．
【详解】解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以;
当4为斜边时，x2=16-4=12，
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论．
6. 下列表示是的函数图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义，按照一一对应的原则去判断即可，当任意一个都有唯一的一个与之对应，则称是的函数．
【详解】解：当任意一个都有唯一的一个与之对应，则称是的函数．
由图象可知：A，B，D选项都不符合题意，
C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象表示法，正确理解变量之间的一一对应思想是解题的关键．
7. 在△ABC中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出a2＋b2＝c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D．
【详解】解：A、根据选项，化简得a2＝c2−b2，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B、根据选项中，，，可得，
∴12＋22≠32，即，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、根据选项∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、根据选项中∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设，则由三角形内角和定理∠A＋∠B＋∠C＝180°得，解得，
∴最大角∠C＝＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
8. 已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ）
A. y 的值随 x 的值增大而增大B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象必经过点D. 当 时，y<0
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质逐项进行分析即可．
【详解】解：A、由于一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将（0,2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0,2）在y=-x+2上，故该选项符合题意；
D、一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
9. 下面的三个问题中都有两个变量：
①将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量y与放水时间x；
②用弹簧测力计测量物体的质量，弹簧挂重物后的长度y与重物的质量x；
③汽车从甲地匀速向乙地行驶，汽车距离乙地的路程y与行驶时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）

A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】①根据游泳池中的剩余水量随放水时间的增大而减小判断即可；②根据弹簧挂重物后的长度y随重物的质量x增大而增大判断即可；③根据汽车从甲地匀速向乙地行驶，汽车距离乙地的路程y与行驶时间x增大而减小判断即可．
【详解】解：将游泳池中的水匀速放出，直至放完，根据游泳池中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故①符合题意；
用弹簧测力计测量物体的质量，弹簧挂重物后的长度y随重物的质量x增大而增大，故②不符合题意；
汽车从甲地匀速向乙地行驶，汽车距离乙地的路程y随行驶时间x的增大而减少，故③符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图像，掌握函数图像表示的意义是解题的关键．
10. 已知直线l及线段，点B在直线上，点A在直线外，如图，（1）在直线l上取一点C（不与点B重合），连接；（2）以点A为圆心，长为半径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线异侧）；（3）连接交于点O，连接．根据以上作图过程及所作图形，在下列结论：①；②；③中，一定正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图可得，则四边形是平行四边形，进而根据平行四边形性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，；故①②正确，
∵不一定相等，则不一定成立，即③不一定正确；
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握基本作图以及平行四边形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题（共20分，每小题2分）
11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式的意义，有，
解得，
故自变量x的取值范围是，
故答案为：．
12. 写出一个图象位于第二、四象限的正比例函数的解析式是______．
【答案】y=-x
【解析】
【分析】先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．
【详解】解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=-x（答案不唯一）．
故答案为：y=-x（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＜0时函数的图象经过二、四象限．
13. 已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，则y1___y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】根据题意易得k=2＞0，则有y随x的增大而增大，再由点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝2x﹣3的图象上可进行求解．
【详解】解：由题意得：k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，
∴；
故答案为＜．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
14. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形．
【答案】AC⊥BD（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据正方形的判定定理可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：或或或，
根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，
故答案为AC⊥BD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是________．
【答案】第一、二、三象限
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图像平移，掌握一次函数图像平移的特征是解题的关键．根据题意可知，对于一次函数，可有，，结合一次函数图像的性质即可获得答案．
【详解】解：∵一次函数图像由直线（）向上平移3个单位长度得到，
∴，
∵，，
∴一次函数的图像经过的象限是第一、二、三象限．
故答案为：第一、二、三象限．
16. 如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=____度．
【答案】15
【解析】
【详解】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，

为等边三角形，




故答案为15．
17. 如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长等于________．
【答案】####1.5
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．根据折叠得到，，，设，则，
根据勾股定理求得的值，再由勾股定理可得方程，解方程即可算出答案．
【详解】解：根据折叠可得，，，
∴，
设，则，
在中，，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，解得．
故答案为：1.5．
18. 如图，直线与直线相交于点，则方程的解为_____________.

【答案】
【解析】
【分析】将代入，得出，根据直线与直线相交于点，即可求解．
【详解】解：将代入，解得：，
∴，
∵直线与直线相交于点，
则方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两直线交点坐标与方程组的解的关系，数形结合解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是___．
【答案】（0，-5）
【解析】
【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【详解】解：∵A（12，13），
∴OD=12，AD=13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=13，
在Rt△ODC中，，
∴C（0，-5）．
故答案为：（0，-5）
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为__________．
【答案】10
【解析】
【详解】（14×14﹣2×2）÷8=（196﹣4）÷8=192÷8=24
24×4+2×2=96+4=100
=10．
即正方形EFGH的边长为10．
故答案为10．
三、解答题（本题共60分）
21 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式乘除运算法则求解即可；
（2）首先根据将和化为最简二次根式，计算并化为最简二次根式，然后相加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
22. 已知：如图，四边形中，，求四边形的面积．
【答案】．
【解析】
【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接．
∵
∴，
在中，，
∴是直角三角形，
∴，
，
．
故四边形ABCD的面积为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点．
（1）求，两点的坐标；
（2）画出该函数图像；
（3）当时，直接写出的取值范围；
（4）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）见详解 （3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了画一次函数的图像、求解一次函数与坐标轴的交点、一次函数的增减性等知识，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）对于一次函数，令，则有，令，则有，即可确定，两点的坐标；
（2）取，两点，作直线即可获画出该函数图像；
（3）分别先求解当和时的值，再根据一次函数的增减性即可得到答案；
（4）首先解得当时的值，再根据一次函数的增减性即可得到答案．
【小问1详解】
解：对于一次函数，
令，则，即
令，则，即；
【小问2详解】
【小问3详解】
对于一次函数，
当时，，
当时，，
∴当时， 的取值范围为；
【小问4详解】
对于一次函数，
当时，可有，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时， 的取值范围为．
24. 下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】方法一：先证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，则由矩形的性质可得；
方法二：证明是的中位线，得到，则垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得．
【详解】证明：方法一：∵点是边的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
方法二：∵是斜边的中线，
∴点O是的中点，
∵的中点D，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）若直线上存在一点，使得的面积是的面积的2倍，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数图像相交问题、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数综合应用，解题关键是掌握两函数图像相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解．
（1）利用待定系数法即可得到直线AB的表达式；
（2）通过解方程组即可得到点P的坐标；
（3）设点的坐标为，依据的面积是的面积的2倍，即可得出或3，，进而得到答案．
【小问1详解】
解：设直线的表达式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的表达式为；
【小问2详解】
联立两直线解析式，可得，
解得，
∴点的坐标为；
【小问3详解】
∵直线的表达式为，
令，则，
∴直线与轴交于点，
设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，
解得或3，
∴点坐标为或．
26. 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【详解】（1）∵CE∥BD DE∥AC
∴四边形ODEC是平行四边形
又∵菱形ABCD
∴AC⊥BD
∴∠DOC=90°
∴四边形ODEC是矩形
（2）∵Rt△AOD中,∠ADO=60°
∴∠OAD=30°
∴OD=AD=
∴AO==3
∴AC=6
∵四边形ODEC是矩形
∴EC=OD= ∠ACE=90°
∴AE==
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键．
27. 如图，四边形ABCD中，，过点D作交AB于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若，求四边形EBFD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可证四边形为菱形；
（2）利用勾股定理求高，再求出面积．
【小问1详解】
证明：连接，
，，
四边形平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
平行四边形是菱形．
小问2详解】
解：平行四边形是菱形，
，
，，
，
四边形的面积为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定及角平分线的判定，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．
28. 在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合），
①求证：；
②求证：；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②见解析；
（2）图形见解析，
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质可得∠F+∠BCF=90°，再由，可得∠F+∠BAP=90°，即可求证；②在AP上取点Q，使AQ=CE，可证得△ABQ≌CBE，从而得到BQ=BE，∠ABQ=∠CBE，进而得到△EBQ为等腰直角三角形，可得到，即可求证；
（2）先依题意补全图形，先证明∠BAP=∠BCF，然后在CE上截取CG=AE，可证得△ABE≌△CBG，从而得到∠ABE=∠CBG，BE=BG，进而得到△EBG为等腰直角三角形，可得到，即可求解．
【小问1详解】
证明∶ ①在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=∠CBF=90°，
∴∠F+∠BCF=90°，
∵，
∴∠AEF=90°，
∴∠F+∠BAP=90°，
∴∠BCF=∠BAP；
②如图，在AP上取点Q，使AQ=CE，
在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=∠CBF=90°，
∵∠BCF=∠BAP，
∴△ABQ≌CBE，
∴BQ=BE，∠ABQ=∠CBE，
∵∠ABQ+∠CBQ=∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠CBQ=∠EBQ=90°，
∴△EBQ为等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
解： 依题意补全图形，如下：
在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=∠ABP=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∵CE⊥AP，
∴∠CEP=90°，
∴∠BCF+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠BCF，
在CE上截取CG=AE，
∵∠BAP=∠BCF，AB=CB，
∴△ABE≌△CBG，
∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，
∴∠EBG=∠ABE+∠FBG=∠CBG+∠FBG=∠ABC=90°，
∴△EBG为等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在中，，是斜边的中线．
求证：．
方法一
证明：如图，延长至点D，使得，连接．

方法二
证明：如图，取的中点D，连接．