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2023-2024学年江苏省扬州市江都区八校联谊七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省扬州市江都区八校联谊七年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. m6÷m3=m2B. (m3)2=m5
C. (x−y)2=x2−y2D. m2⋅m3=m5
3.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是( )
A. ∠3=∠4B. ∠1=∠2
C. ∠D=∠DCED. ∠D+∠DCA=180°
4.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x2+x+1B. x2+2x−1C. x2−1D. 81+18x+x2
5.若3x=4，32y=7，则3x+2y的值为( )
A. 11B. 28C. 47D. 18
6.如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=110°，则∠A+∠B+∠D+∠E=( )
A. 220°
B. 240°
C. 260°
D. 290°
7.若M=(x−2)(x−3)，N=(x−1)(x−4)，则M与N的大小关系是( )
A. 由x的取值而定B. M=NC. MN
8.如图点B在线段AC上(BC>AB)，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3……，则S21−S20的值是( )
A. 20.5B. 21C. 21.5D. 22
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为______．
10.计算：(−3a3)2= ______．
11.一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为______．
12.已知x+y=12，xy=2，则代数式x2y+xy2的值为______．
13.233、418、810的大小关系是(用>号连接) ．
14.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=50°，则∠2−∠1= ______．
15.若(x+3)(x+n)=x2+mx−15，则m−n= ______．
16.已知x2−mx+36是完全平方式，则m的值为______．
17.如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点，当∠DEF=∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2=130°，则∠BEC=______．
18.在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°.小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第______秒时，边AB与边DE平行．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(3.14−π)0−(−12)−2+(−2)3；
(2)(x+4)2−(x+2)(x−5)．
20.(本小题8分)
因式分解：
(1)(a2+9)2−36a2；
(2)−18a2+50．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+2y)(x−2y)−(x+y)2，其中x=2，y=−1．
22.(本小题8分)
(1)已知m+4n+3=0，求3m×81n的值；
(2)已知n为正整数，且x2n=4，求(x3n)2−2(x2)2n的值．
23.(本小题10分)
画图并填空，如图：方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′.图中标出了点C的对应点C′．
(1)请画出平移后的△A′B′C′；
(2)若连接AA′，BB′，则这两条线段的关系是______；
(3)利用网格画出△ABC中AC边上的中线BD以及AB边上的高CE；
(4)线段AB在平移过程中扫过区域的面积为______．
24.(本小题10分)
已知，如图所示，AB//CD，点E在AD的延长线上，∠EDC与∠B互为补角．
(1)问AD，BC是否平行？请说明理由；
(2)如果∠EDC=72°，∠1=∠2=2∠CAB，求∠CAF的度数．
25.(本小题10分)
如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，
(1)探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
(2)如果点A落在四边形BCDE外点A′′的位置，∠A与∠1、∠2之间的数量关系有何变化，请说明理由．
26.(本小题10分)
已知(x3+mx+n)(x2−3x+4)的展开式中不含x3和x2项．
(1)求m与n的值．
(2)在(1)的条件下，求(m+n)(m2−mn+n2)的值．
27.(本小题12分)
我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形．
(1)观察图形，写出一个(a+b)2、(a−b)2、ab三者之间的等量关系式是______；
(2)运用(1)中的结论，当x−y=7，xy=−6时，求x+y的值；
(3)若(2022−m)(2023−m)=4，求(2022−m)2+(2023−m)2的值．
28.(本小题12分)
在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题.小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】
如图(1)，若∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D.则∠D= ______°；
(2)【问题推广】
①如图(2)，若∠MON=α(0°<α<180°)，(1)中的其余条件不变，则∠D= ______°(用含α的代数式表示)；
②如图(2)，∠MON=α(0°<α<180°)，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，点E是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D=12α，则AE是△OAB的角平分线吗？请说明理由；
(3)【拓展提升】
如图(3)，若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系(用含m的代数式表示)，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：只有选项B的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，A、C、D都不能通过平移得到，
故选：B．
根据平移的性质，结合图形对小题进行一一分析，选出正确答案．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移后所得图形与原图形形状、大小不变是解答此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.m6÷m3=m3，计算错误，故A选项错误，不符合题意；
B.(m3)2=m6，计算错误，故B选项错误，不符合题意；
C.(x−y)2=x2−2xy+y2，计算错误，故C选项错误，不符合题意；
D.m2⋅m3=m5，计算正确，故D选项符合题意．
故选：D．
根据同底数幂乘除法法则、幂的乘方运算法则、完全平方公式分别进行计算即可求出答案．
本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3.【答案】B
【解析】解：A、∠3=∠4，根据内错角相等，BD//AC，故此选项不符合题意；
B、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB//CD，故此选项符合题意；
C、∠D=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD//AC，故此选项不符合题意；
D、∠D+∠DCA=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD//AC，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
4.【答案】D
【解析】解：A、x2+2x+1能用完全平方公式进行因式分解，∴不符合题意；
B、x2+2x+1能用完全平方公式进行因式分解，∴不符合题意；
C、x2+2x+1能用完全平方公式进行因式分解，∴不符合题意；
D、81+18x+x2=(9+x)2，∴符合题意；
故选：D．
A、中间项应该是2x；
B、第三项应该是+1；
C、中间2x，第三项应该是+1；
D、符合用完全平方公式进行因式分解．
本题考查了公式法分解因式，掌握能运用完全平方公式分解因式的条件：多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵3x=4，32y=7，
∴3x+2y=3x⋅32y=4×7=28，
故选：B．
根据同底数幂的乘法法则化简计算即可得出结果．
本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用，熟记同底数幂的乘法法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：如图，连接BD，
∵∠BCD=110°，
∴∠CBD+∠CDB=180°−∠BCD=180°−110°=70°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠A+∠ABC+∠CDE+∠E=360°−(∠CBD+∠CDB)=360°−70°=290°，
故选：D．
连接BD，结合已知条件，利用三角形内角和定理求得∠CBD+∠CDB的度数，然后利用四边形内角和与(∠CBD+∠CDB)作差即可求得答案．
本题主要考查多边形内角和及三角形内角和定理，连接BD，构造△BCD与四边形ABCD是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵M=(x−2)(x−3)=x2−5x+6，
N=(x−1)(x−4)=x2−5x+4，
∴M−N=2，
∴M>N，
故选：D．
先将M和N别去括号计算，再根据M−N=2即可得到答案．
本题考查整式乘法运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则．
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接BE，
∵正方形ABMN和正方形BCEF，
∴∠BAM=45°，∠CBE=45°，AB=BM，∠ABM=90°，
∴∠BAM=∠CBE，
∴AM//BE，
∴△AME和△AMB的底相同，高相等，
∴△AME和△AMB的面积相等，
当AB=20时，△AME的面积为S20=2022，
当AB=21时，△AME的面积为S21=2122，
∴S21−S20=212−2022=20.5，
故选：A．
由正方形的性质得出∠BAM=45°，∠CBE=45°，AB=BM，∠ABM=90°，即可证得AM//BE，根据平行线间的距离相等得出△AME和△AMB的底相同，高相等，即面积相等，再根据△ABM为等腰直角三角形即可求出当AB=20和21时的面积，从而得出答案．
本题考查了三角形的面积，图形的变化规律问题，正方形的性质，其中利用△AME和△AMB的底相同，高相等推出面积相等是解题的关键．
9.【答案】7.7×10−4
【解析】解：0.00077=7.7×10−4，
故答案为：7.7×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】9a6
【解析】解：原式=(−3)2a3×2
=9a6，
故答案为：9a6．
根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案．
本题考查了积的乘方，积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
11.【答案】8
【解析】解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴3−2即：1∵第三边长为奇数，
∴x=3，
∴这个三角形的周长为2+3+3=8，
故答案为：8．
首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3−2此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
12.【答案】24
【解析】解：∵x+y=12，xy=2，
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
=2×12
=24，
故答案为：24．
先将原式变形为xy(x+y)，再代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】418>233>810
【解析】【分析】
此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
直接利用幂的乘方运算法则将原式变形化成同底数幂的的形式，进而比较得出答案．
【解答】
解：∵418=236，810=(23)10=230，
∴236>233>230，
∴418>233>810．
14.【答案】20°
【解析】解：由题意可得：∠DEF=∠GEF．
∵DE//BC，
∴∠DEF=∠EFG=50°．
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=50°．
∴∠1=180°−∠GFD=180°−100=80°．
∵AE//BG，
∴∠1+∠2=180°．
∴∠2=100°．
∴∠2−∠1=100°−80°=20°．
故答案为：20°．
由折叠的性质可得∠DEF=∠GEF，由DE//BC可得∠DEF=∠GEF=∠EFG=50°，∠1可求，由AE//BG可得∠1+∠2=180°，∠2可求，用∠2−∠1，结论可得．
本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练应用上述性质是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：(x+3)(x+n)=x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3n，
∵(x+3)(x+n)=x2+mx−15，
∴n+3=m3n=−15，
解得：m=−2n=−5，
∴m−n=−2−(−5)=3．
故答案为：3．
根据多项式乘多项式法则计算(x+3)(x+n)=x2+mx−15，即得出n+3=m3n=−15，解出m和n的值，即可求解．
本题考查多项式乘多项式，解二元一次方程组．掌握多项式乘多项式法则是解题关键．
16.【答案】±12
【解析】解：∵x2−mx+36是完全平方式，
∴x2−mx+36=(x±6)2=x2±12x+36，
故答案为：±12．
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
17.【答案】122.5°
【解析】解：连接AE.，如图，
则∠1=∠DAE+∠DEA，∠2=∠FAE+∠FEA，
∵∠1+∠2=130°，
∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA=130°，
即∠DEF+∠A=130°，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠A=65°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB
∴∠BEC=180°−(∠EBC+∠ECB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)
=180°−12(180°−65°)
=122.5°．
故答案为122.5°．
根据角平分线的性质与三角形内角和性质计算即可．
本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，正确运用角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
18.【答案】252或852
【解析】解：①当DE在AB的上方时，如图，
∵∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB//DE，
∴∠BAE=∠E=45°，
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，
∴其旋转的时间为：75°6∘=252(秒)；
②DE在AB的下方，如图，
∵∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB//DE，
∴∠BAE+∠E=180°，
∴∠BAE=180°−∠E=135°，
∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=105°，
∴旋转的角度为：360°−∠CAE=255°，
∴旋转的时间为：255°6∘=852(秒)，
综上所述：当旋转过程中，第252或852秒时，边AB与边DE平行．
故答案为：252或852．
分两种情况：①DE在AB的上方；②DE在AB的下方，画出相应的图形．利用平行线的性质得出即可．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对DE的位置进行讨论，明确有两种情况．
19.【答案】解：(1)原式=1−4−8
=−11；
(2)原式=x2+8x+16−(x2−3x−10)
=x2+8x+16−x2+3x+10
=11x+26．
【解析】(1)利用零指数幂、负整数指数幂及幂的的运算法则进行计算即可；
(2)利用完全平方公式及多项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=(a2+9+6a)(a2+9−6a)
=(a+3)2(a−3)2；
(2)−18a2+50
=−2(9a2−25)
=−2(3a+5)(3a−5)．
【解析】(1)先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
(2)先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题主要考查提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21.【答案】解：[(x+2y)(x−2y)−(x−y)2]
=x2−4y2−(x2−2xy+y2)
=x2−4y2−x2+2xy−y2
=2xy−5y2，
当x=2，y=−1时，
原式=2×(−1)×2−5×(−1)2
=−4−5
=−9．
【解析】利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】解：(1)∵m+4n+3=0，
∴m+4n=−3，
∴3m×81n
=3m×(34)n
=3m×34n
=3m+4n
=3−3
=127；
(2)∵x2n=4，
∴(x3n)2−2(x2)2n
=x6n−2x4n
=(x2n)3−2(x2n)2
=43−2×42
=64−2×16
=64−32
=32．
【解析】(1)先根据已知条件求出m+4n的值，再把所求代数式写成底数是3的幂，然后根据同底数幂相乘法则进行计算，最后把m+4n的值代入计算即可；
(2)先根据幂的乘方法则进行计算，然后逆用幂的乘方法则，把所求式子写成含有a2n的形式，再整体代入计算即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握逆用幂的乘方法则．
23.【答案】平行且相等 20
【解析】解：(1)如图所示，
(2)根据平移的性质可得，AA′//BB′，AA′=BB′，
故答案为：平行且相等；
(3)如图所示；
(4)线段AB在平移过程中扫过区域的面积=S四边形AA′B′B=5×4=20．
故答案为：20．
(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系；
(3)利用网格得出AC的中点即可得出答案；利用网格得出高CE即可得出答案；
(4)直接线段AB在平移过程中扫过区域的面积进而得出答案．
此题主要考查了平移的性质以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
24.【答案】解：(1)AD//BC，理由如下：
∵AB//CD，
∴∠DCB+∠B=180°，
又∵∠EDC与∠B互补，
∴∠EDC+∠B=180°，
∴∠EDC=∠DCB，
∴AD//BC．
(2)∵∠EDC=72°，
∴∠B=108°，
设∠CAB=x，则∠1=∠2=2x，
在△ABC中，∠2+∠CAB+∠B=180°，即：2x+x+108°=180°，
∴x=24°，
∴∠1=48°，
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠1=48°，
∴∠CAF=∠BAF−∠BAC=48°−24°=24°．
【解析】(1)由AB//CD得∠DCB+∠B=180°，由∠EDC+∠B=180°得∠EDC=∠DCB，得证AD//BC；
(2)设∠CAB=x，利用已知条件表示∠1、∠2，结合△ABC的内角和为180°，求出x，利用“两直线平行，内错角相等”求出∠CAF的度数．
本题考查了平行线的性质和判定、三角形的内角和定理．解题的时候要注意找准平行和所构成的角之间的关系(相等或者互补)，然后再结合已知条件进行等量代换，得出证明的关键信息．
25.【答案】解：(1)2∠A=∠1+∠2，
理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠1+∠2=180°+180°−2(∠AED+∠ADE)，
∴∠1+∠2=360°−2(180°−∠A)=2∠A．
(2)∵沿DE折叠A和A′′重合，
∴∠AED=∠A′′ED，∠ADE=∠A′′DE，
又∵∠1=∠A′ED−∠BED=∠AED−(180°−∠AED)=2∠AED−180°，
∠2=180°−2∠ADE，
∠AED+∠ADE=180°−∠A，
∴12∠1+90°+90°−12∠2=180°−∠A，
即∠A=12(∠2−∠1)．
【解析】(1)根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°−∠A，代入∠1+∠2=180°+180°−2(∠AED+∠ADE)求出即可；
(2)先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
26.【答案】解：(1)(x3+mx+n)(x2−3x+4)
=x5−3x4+(m+4)x3+(n−3m)x2+(4m−3n)x+4n，
根据展开式中不含x2和x3项，得：
m+4=0n−3m=0，
解得：m=−4n=−12．
即m=−4，n=−12；
(2)∵(m+n)(m2−mn+n2)
=m3−m2n+mn2+m2n−mn2+n3
=m3+n3，
当m=−4，n=−12时，
原式=(−4)3+(−12)3=−64−1728=−1792．
【解析】此题主要考查了多项式与多项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
(1)利用多项式乘多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；
(2)先利用多项式乘以多项式的法则将(m+n)(m2−mn+n2)展开，再合并同类项化为最简形式，然后将(1)中所求m、n的值代入计算即可．
27.【答案】(a+b)2−(a−b)2=4ab
【解析】解：(1)图1中四个长方形的面积之和为4ab，
图2中四个长方形的面积之和为(a+b)2−(a−b)2，
∴(a+b)2−(a−b)2=4ab．
故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab．
(2)∵x−y=7，xy=−6，
∴(x+y)2=(x−y)2+4xy=72+4×(−6)=25，
∴x+y=±5．
(3)令2022−m=a，2023−m=b，
则ab=4，
(a−b)2
=[(2022−m)−(2023−m)]2
=(2022−m−2023+m)2
=(−1)2
=1，
(2022−m)2+(2023−m)2
=a2+b2
=(a−b)2+2ab
=1+2×4
=9．
(1)根据两个图形中四个长方形的面积之和相等，即可得出答案；
(2)根据x−y=7，xy=−6，先求出(x+y)2，再求出x+y的值即可；
(3)2022−m=a，2023−m=b，得出ab=4，(a−b)2=[(2022−m)−(2023−m)]2=1，根据(2022−m)2+(2023−m)2=a2+b2求出结果即可．
本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，(a±b)2=a2±2ab+b2．
28.【答案】45° 12α
【解析】解：(1)∵∠ABN=90°+∠OAB，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，
∴∠BAD=12∠OAB，∠CBN=12∠ABN，
∴∠DBO=∠CBN=12(90°+∠OAB)，
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=12(90°+∠OAB)+∠OBA，
∴∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°−12(90°+∠OAB)−∠OBA−12∠OAB=180°−135°=45°，
故答案为：45°
(2)①∠ABN=α+∠OAB，
∠OAB+∠OBA=180°−α，
∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，
∴∠BAD=12∠OAB，∠CBN=12∠ABN，
∴∠DBO=∠CBN=12(α+∠OAB)，
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=12(α+∠OAB)+∠OBA，
∴∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°−12(α+∠OAB)−∠OBA−12∠OAB=12α，
故答案为：12α；
②是，理由如下：
∵∠ABN=α+∠OAB，
∴∠OAB+∠OBA=180°−α，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠CBN=12∠ABN，
∴∠DBO=∠CBN=12(α+∠OAB)，
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=12(α+∠OAB)+∠OBA，
∴∠BAD=180°−∠D−∠DBA
=180°−12(α+∠OAB)−∠OBA−12α，
=∠OAB+∠OBA−12∠OAB−∠OBA
=12∠OAB，
∴AE是△OAB的角平分线；
(3)∠D=(1−1m)∠O，理由如下：
∵∠ABN=∠O+∠OAB，
∴∠OAB+∠OBA=180°−∠O，
∴∠DBO=∠NBC=1m∠ABN=1m(∠O+∠OAB)，
∴∠DBA=1m(∠O+∠OAB)+∠OBA，
∵∠DAO=1m∠BAO，
∴∠BAD=∠BAO−∠DAO=∠BAO−1m∠BAO，
∠D=180°−∠DBA−∠BAD
=180°−1m(∠O+∠OAB)−∠OBA−(∠BAO−1m∠BAO)
=(1−1m)∠O，
即∠D=(1−1m)∠O．
(1)利用三角形外角的性质可得∠ABN=90°+∠OAB，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；
(2)①利用三角形外角的性质可得∠ABN=∠MON+∠OAB，在根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；②根据三角形内角和的性质以及角平分线的定义，得出∠BAD=12∠OAB，即可求解；
(3)利用三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可．
此题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
1.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. m6÷m3=m2B. (m3)2=m5
C. (x−y)2=x2−y2D. m2⋅m3=m5
3.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是( )
A. ∠3=∠4B. ∠1=∠2
C. ∠D=∠DCED. ∠D+∠DCA=180°
4.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x2+x+1B. x2+2x−1C. x2−1D. 81+18x+x2
5.若3x=4，32y=7，则3x+2y的值为( )
A. 11B. 28C. 47D. 18
6.如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=110°，则∠A+∠B+∠D+∠E=( )
A. 220°
B. 240°
C. 260°
D. 290°
7.若M=(x−2)(x−3)，N=(x−1)(x−4)，则M与N的大小关系是( )
A. 由x的取值而定B. M=NC. M
8.如图点B在线段AC上(BC>AB)，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3……，则S21−S20的值是( )
A. 20.5B. 21C. 21.5D. 22
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为______．
10.计算：(−3a3)2= ______．
11.一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为______．
12.已知x+y=12，xy=2，则代数式x2y+xy2的值为______．
13.233、418、810的大小关系是(用>号连接) ．
14.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=50°，则∠2−∠1= ______．
15.若(x+3)(x+n)=x2+mx−15，则m−n= ______．
16.已知x2−mx+36是完全平方式，则m的值为______．
17.如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点，当∠DEF=∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2=130°，则∠BEC=______．
18.在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°.小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第______秒时，边AB与边DE平行．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(3.14−π)0−(−12)−2+(−2)3；
(2)(x+4)2−(x+2)(x−5)．
20.(本小题8分)
因式分解：
(1)(a2+9)2−36a2；
(2)−18a2+50．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+2y)(x−2y)−(x+y)2，其中x=2，y=−1．
22.(本小题8分)
(1)已知m+4n+3=0，求3m×81n的值；
(2)已知n为正整数，且x2n=4，求(x3n)2−2(x2)2n的值．
23.(本小题10分)
画图并填空，如图：方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′.图中标出了点C的对应点C′．
(1)请画出平移后的△A′B′C′；
(2)若连接AA′，BB′，则这两条线段的关系是______；
(3)利用网格画出△ABC中AC边上的中线BD以及AB边上的高CE；
(4)线段AB在平移过程中扫过区域的面积为______．
24.(本小题10分)
已知，如图所示，AB//CD，点E在AD的延长线上，∠EDC与∠B互为补角．
(1)问AD，BC是否平行？请说明理由；
(2)如果∠EDC=72°，∠1=∠2=2∠CAB，求∠CAF的度数．
25.(本小题10分)
如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，
(1)探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
(2)如果点A落在四边形BCDE外点A′′的位置，∠A与∠1、∠2之间的数量关系有何变化，请说明理由．
26.(本小题10分)
已知(x3+mx+n)(x2−3x+4)的展开式中不含x3和x2项．
(1)求m与n的值．
(2)在(1)的条件下，求(m+n)(m2−mn+n2)的值．
27.(本小题12分)
我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形．
(1)观察图形，写出一个(a+b)2、(a−b)2、ab三者之间的等量关系式是______；
(2)运用(1)中的结论，当x−y=7，xy=−6时，求x+y的值；
(3)若(2022−m)(2023−m)=4，求(2022−m)2+(2023−m)2的值．
28.(本小题12分)
在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题.小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】
如图(1)，若∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D.则∠D= ______°；
(2)【问题推广】
①如图(2)，若∠MON=α(0°<α<180°)，(1)中的其余条件不变，则∠D= ______°(用含α的代数式表示)；
②如图(2)，∠MON=α(0°<α<180°)，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，点E是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D=12α，则AE是△OAB的角平分线吗？请说明理由；
(3)【拓展提升】
如图(3)，若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系(用含m的代数式表示)，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：只有选项B的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，A、C、D都不能通过平移得到，
故选：B．
根据平移的性质，结合图形对小题进行一一分析，选出正确答案．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移后所得图形与原图形形状、大小不变是解答此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.m6÷m3=m3，计算错误，故A选项错误，不符合题意；
B.(m3)2=m6，计算错误，故B选项错误，不符合题意；
C.(x−y)2=x2−2xy+y2，计算错误，故C选项错误，不符合题意；
D.m2⋅m3=m5，计算正确，故D选项符合题意．
故选：D．
根据同底数幂乘除法法则、幂的乘方运算法则、完全平方公式分别进行计算即可求出答案．
本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3.【答案】B
【解析】解：A、∠3=∠4，根据内错角相等，BD//AC，故此选项不符合题意；
B、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB//CD，故此选项符合题意；
C、∠D=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD//AC，故此选项不符合题意；
D、∠D+∠DCA=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD//AC，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
4.【答案】D
【解析】解：A、x2+2x+1能用完全平方公式进行因式分解，∴不符合题意；
B、x2+2x+1能用完全平方公式进行因式分解，∴不符合题意；
C、x2+2x+1能用完全平方公式进行因式分解，∴不符合题意；
D、81+18x+x2=(9+x)2，∴符合题意；
故选：D．
A、中间项应该是2x；
B、第三项应该是+1；
C、中间2x，第三项应该是+1；
D、符合用完全平方公式进行因式分解．
本题考查了公式法分解因式，掌握能运用完全平方公式分解因式的条件：多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵3x=4，32y=7，
∴3x+2y=3x⋅32y=4×7=28，
故选：B．
根据同底数幂的乘法法则化简计算即可得出结果．
本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用，熟记同底数幂的乘法法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：如图，连接BD，
∵∠BCD=110°，
∴∠CBD+∠CDB=180°−∠BCD=180°−110°=70°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠A+∠ABC+∠CDE+∠E=360°−(∠CBD+∠CDB)=360°−70°=290°，
故选：D．
连接BD，结合已知条件，利用三角形内角和定理求得∠CBD+∠CDB的度数，然后利用四边形内角和与(∠CBD+∠CDB)作差即可求得答案．
本题主要考查多边形内角和及三角形内角和定理，连接BD，构造△BCD与四边形ABCD是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵M=(x−2)(x−3)=x2−5x+6，
N=(x−1)(x−4)=x2−5x+4，
∴M−N=2，
∴M>N，
故选：D．
先将M和N别去括号计算，再根据M−N=2即可得到答案．
本题考查整式乘法运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则．
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接BE，
∵正方形ABMN和正方形BCEF，
∴∠BAM=45°，∠CBE=45°，AB=BM，∠ABM=90°，
∴∠BAM=∠CBE，
∴AM//BE，
∴△AME和△AMB的底相同，高相等，
∴△AME和△AMB的面积相等，
当AB=20时，△AME的面积为S20=2022，
当AB=21时，△AME的面积为S21=2122，
∴S21−S20=212−2022=20.5，
故选：A．
由正方形的性质得出∠BAM=45°，∠CBE=45°，AB=BM，∠ABM=90°，即可证得AM//BE，根据平行线间的距离相等得出△AME和△AMB的底相同，高相等，即面积相等，再根据△ABM为等腰直角三角形即可求出当AB=20和21时的面积，从而得出答案．
本题考查了三角形的面积，图形的变化规律问题，正方形的性质，其中利用△AME和△AMB的底相同，高相等推出面积相等是解题的关键．
9.【答案】7.7×10−4
【解析】解：0.00077=7.7×10−4，
故答案为：7.7×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】9a6
【解析】解：原式=(−3)2a3×2
=9a6，
故答案为：9a6．
根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案．
本题考查了积的乘方，积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
11.【答案】8
【解析】解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴3−2
∴x=3，
∴这个三角形的周长为2+3+3=8，
故答案为：8．
首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3−2
12.【答案】24
【解析】解：∵x+y=12，xy=2，
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
=2×12
=24，
故答案为：24．
先将原式变形为xy(x+y)，再代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】418>233>810
【解析】【分析】
此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
直接利用幂的乘方运算法则将原式变形化成同底数幂的的形式，进而比较得出答案．
【解答】
解：∵418=236，810=(23)10=230，
∴236>233>230，
∴418>233>810．
14.【答案】20°
【解析】解：由题意可得：∠DEF=∠GEF．
∵DE//BC，
∴∠DEF=∠EFG=50°．
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=50°．
∴∠1=180°−∠GFD=180°−100=80°．
∵AE//BG，
∴∠1+∠2=180°．
∴∠2=100°．
∴∠2−∠1=100°−80°=20°．
故答案为：20°．
由折叠的性质可得∠DEF=∠GEF，由DE//BC可得∠DEF=∠GEF=∠EFG=50°，∠1可求，由AE//BG可得∠1+∠2=180°，∠2可求，用∠2−∠1，结论可得．
本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练应用上述性质是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：(x+3)(x+n)=x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3n，
∵(x+3)(x+n)=x2+mx−15，
∴n+3=m3n=−15，
解得：m=−2n=−5，
∴m−n=−2−(−5)=3．
故答案为：3．
根据多项式乘多项式法则计算(x+3)(x+n)=x2+mx−15，即得出n+3=m3n=−15，解出m和n的值，即可求解．
本题考查多项式乘多项式，解二元一次方程组．掌握多项式乘多项式法则是解题关键．
16.【答案】±12
【解析】解：∵x2−mx+36是完全平方式，
∴x2−mx+36=(x±6)2=x2±12x+36，
故答案为：±12．
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
17.【答案】122.5°
【解析】解：连接AE.，如图，
则∠1=∠DAE+∠DEA，∠2=∠FAE+∠FEA，
∵∠1+∠2=130°，
∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA=130°，
即∠DEF+∠A=130°，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠A=65°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB
∴∠BEC=180°−(∠EBC+∠ECB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)
=180°−12(180°−65°)
=122.5°．
故答案为122.5°．
根据角平分线的性质与三角形内角和性质计算即可．
本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，正确运用角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
18.【答案】252或852
【解析】解：①当DE在AB的上方时，如图，
∵∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB//DE，
∴∠BAE=∠E=45°，
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，
∴其旋转的时间为：75°6∘=252(秒)；
②DE在AB的下方，如图，
∵∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB//DE，
∴∠BAE+∠E=180°，
∴∠BAE=180°−∠E=135°，
∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=105°，
∴旋转的角度为：360°−∠CAE=255°，
∴旋转的时间为：255°6∘=852(秒)，
综上所述：当旋转过程中，第252或852秒时，边AB与边DE平行．
故答案为：252或852．
分两种情况：①DE在AB的上方；②DE在AB的下方，画出相应的图形．利用平行线的性质得出即可．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对DE的位置进行讨论，明确有两种情况．
19.【答案】解：(1)原式=1−4−8
=−11；
(2)原式=x2+8x+16−(x2−3x−10)
=x2+8x+16−x2+3x+10
=11x+26．
【解析】(1)利用零指数幂、负整数指数幂及幂的的运算法则进行计算即可；
(2)利用完全平方公式及多项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=(a2+9+6a)(a2+9−6a)
=(a+3)2(a−3)2；
(2)−18a2+50
=−2(9a2−25)
=−2(3a+5)(3a−5)．
【解析】(1)先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
(2)先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题主要考查提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21.【答案】解：[(x+2y)(x−2y)−(x−y)2]
=x2−4y2−(x2−2xy+y2)
=x2−4y2−x2+2xy−y2
=2xy−5y2，
当x=2，y=−1时，
原式=2×(−1)×2−5×(−1)2
=−4−5
=−9．
【解析】利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】解：(1)∵m+4n+3=0，
∴m+4n=−3，
∴3m×81n
=3m×(34)n
=3m×34n
=3m+4n
=3−3
=127；
(2)∵x2n=4，
∴(x3n)2−2(x2)2n
=x6n−2x4n
=(x2n)3−2(x2n)2
=43−2×42
=64−2×16
=64−32
=32．
【解析】(1)先根据已知条件求出m+4n的值，再把所求代数式写成底数是3的幂，然后根据同底数幂相乘法则进行计算，最后把m+4n的值代入计算即可；
(2)先根据幂的乘方法则进行计算，然后逆用幂的乘方法则，把所求式子写成含有a2n的形式，再整体代入计算即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握逆用幂的乘方法则．
23.【答案】平行且相等 20
【解析】解：(1)如图所示，
(2)根据平移的性质可得，AA′//BB′，AA′=BB′，
故答案为：平行且相等；
(3)如图所示；
(4)线段AB在平移过程中扫过区域的面积=S四边形AA′B′B=5×4=20．
故答案为：20．
(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系；
(3)利用网格得出AC的中点即可得出答案；利用网格得出高CE即可得出答案；
(4)直接线段AB在平移过程中扫过区域的面积进而得出答案．
此题主要考查了平移的性质以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
24.【答案】解：(1)AD//BC，理由如下：
∵AB//CD，
∴∠DCB+∠B=180°，
又∵∠EDC与∠B互补，
∴∠EDC+∠B=180°，
∴∠EDC=∠DCB，
∴AD//BC．
(2)∵∠EDC=72°，
∴∠B=108°，
设∠CAB=x，则∠1=∠2=2x，
在△ABC中，∠2+∠CAB+∠B=180°，即：2x+x+108°=180°，
∴x=24°，
∴∠1=48°，
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠1=48°，
∴∠CAF=∠BAF−∠BAC=48°−24°=24°．
【解析】(1)由AB//CD得∠DCB+∠B=180°，由∠EDC+∠B=180°得∠EDC=∠DCB，得证AD//BC；
(2)设∠CAB=x，利用已知条件表示∠1、∠2，结合△ABC的内角和为180°，求出x，利用“两直线平行，内错角相等”求出∠CAF的度数．
本题考查了平行线的性质和判定、三角形的内角和定理．解题的时候要注意找准平行和所构成的角之间的关系(相等或者互补)，然后再结合已知条件进行等量代换，得出证明的关键信息．
25.【答案】解：(1)2∠A=∠1+∠2，
理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠1+∠2=180°+180°−2(∠AED+∠ADE)，
∴∠1+∠2=360°−2(180°−∠A)=2∠A．
(2)∵沿DE折叠A和A′′重合，
∴∠AED=∠A′′ED，∠ADE=∠A′′DE，
又∵∠1=∠A′ED−∠BED=∠AED−(180°−∠AED)=2∠AED−180°，
∠2=180°−2∠ADE，
∠AED+∠ADE=180°−∠A，
∴12∠1+90°+90°−12∠2=180°−∠A，
即∠A=12(∠2−∠1)．
【解析】(1)根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°−∠A，代入∠1+∠2=180°+180°−2(∠AED+∠ADE)求出即可；
(2)先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
26.【答案】解：(1)(x3+mx+n)(x2−3x+4)
=x5−3x4+(m+4)x3+(n−3m)x2+(4m−3n)x+4n，
根据展开式中不含x2和x3项，得：
m+4=0n−3m=0，
解得：m=−4n=−12．
即m=−4，n=−12；
(2)∵(m+n)(m2−mn+n2)
=m3−m2n+mn2+m2n−mn2+n3
=m3+n3，
当m=−4，n=−12时，
原式=(−4)3+(−12)3=−64−1728=−1792．
【解析】此题主要考查了多项式与多项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
(1)利用多项式乘多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；
(2)先利用多项式乘以多项式的法则将(m+n)(m2−mn+n2)展开，再合并同类项化为最简形式，然后将(1)中所求m、n的值代入计算即可．
27.【答案】(a+b)2−(a−b)2=4ab
【解析】解：(1)图1中四个长方形的面积之和为4ab，
图2中四个长方形的面积之和为(a+b)2−(a−b)2，
∴(a+b)2−(a−b)2=4ab．
故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab．
(2)∵x−y=7，xy=−6，
∴(x+y)2=(x−y)2+4xy=72+4×(−6)=25，
∴x+y=±5．
(3)令2022−m=a，2023−m=b，
则ab=4，
(a−b)2
=[(2022−m)−(2023−m)]2
=(2022−m−2023+m)2
=(−1)2
=1，
(2022−m)2+(2023−m)2
=a2+b2
=(a−b)2+2ab
=1+2×4
=9．
(1)根据两个图形中四个长方形的面积之和相等，即可得出答案；
(2)根据x−y=7，xy=−6，先求出(x+y)2，再求出x+y的值即可；
(3)2022−m=a，2023−m=b，得出ab=4，(a−b)2=[(2022−m)−(2023−m)]2=1，根据(2022−m)2+(2023−m)2=a2+b2求出结果即可．
本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，(a±b)2=a2±2ab+b2．
28.【答案】45° 12α
【解析】解：(1)∵∠ABN=90°+∠OAB，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，
∴∠BAD=12∠OAB，∠CBN=12∠ABN，
∴∠DBO=∠CBN=12(90°+∠OAB)，
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=12(90°+∠OAB)+∠OBA，
∴∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°−12(90°+∠OAB)−∠OBA−12∠OAB=180°−135°=45°，
故答案为：45°
(2)①∠ABN=α+∠OAB，
∠OAB+∠OBA=180°−α，
∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，
∴∠BAD=12∠OAB，∠CBN=12∠ABN，
∴∠DBO=∠CBN=12(α+∠OAB)，
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=12(α+∠OAB)+∠OBA，
∴∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°−12(α+∠OAB)−∠OBA−12∠OAB=12α，
故答案为：12α；
②是，理由如下：
∵∠ABN=α+∠OAB，
∴∠OAB+∠OBA=180°−α，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠CBN=12∠ABN，
∴∠DBO=∠CBN=12(α+∠OAB)，
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=12(α+∠OAB)+∠OBA，
∴∠BAD=180°−∠D−∠DBA
=180°−12(α+∠OAB)−∠OBA−12α，
=∠OAB+∠OBA−12∠OAB−∠OBA
=12∠OAB，
∴AE是△OAB的角平分线；
(3)∠D=(1−1m)∠O，理由如下：
∵∠ABN=∠O+∠OAB，
∴∠OAB+∠OBA=180°−∠O，
∴∠DBO=∠NBC=1m∠ABN=1m(∠O+∠OAB)，
∴∠DBA=1m(∠O+∠OAB)+∠OBA，
∵∠DAO=1m∠BAO，
∴∠BAD=∠BAO−∠DAO=∠BAO−1m∠BAO，
∠D=180°−∠DBA−∠BAD
=180°−1m(∠O+∠OAB)−∠OBA−(∠BAO−1m∠BAO)
=(1−1m)∠O，
即∠D=(1−1m)∠O．
(1)利用三角形外角的性质可得∠ABN=90°+∠OAB，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；
(2)①利用三角形外角的性质可得∠ABN=∠MON+∠OAB，在根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；②根据三角形内角和的性质以及角平分线的定义，得出∠BAD=12∠OAB，即可求解；
(3)利用三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可．
此题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
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