重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移8大题型
函数与导数一直是高考中的热点与难点，利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频率较高。求解此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数，然后利用导数工具来研究函数的单调性、极值、最值（值域），从而达到目的。考查难度较大。
函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，考查考生的化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力。
【题型1 单变量不等式的证明】
【例1】（2024·山东青岛·高三校考期末）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在上单调递增，在上单调递减，
（2）（法一）当时，
由（1）可知，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在单调递减，在单调递增，
因此，（当且仅当时取得等号）
（法二）当时，
令，可知
于是在单调递减，在单调递增，
因此，（当且仅当时取得等号）．
令，则由（1）知：故在单调递增，
因此．所以．
【变式1-1】（2023·安徽合肥·高三校考期末）已知函数.
（1）当时，求的单调区间
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明.
【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）答案见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）当时，，的定义域为，
则，
故当时，；当时，.
故在单调递增，在单调递减；
（2）的定义域为，．
若，则当时，，故在单调递增，
若，则当时，；当时，.
故在单调递增，在单调递减；
（3）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为，
所以等价于，即，
设，则，
当时，，当时，
所以在单调递增，在单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，，
从而当时，，即.
【变式1-2】（2024·陕西榆林·高三一模）设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为.
将代入，解得，即，
由切线方程，则切线斜率.
故，解得.
（2）证明：由（1）知，
从而等价于.
设函数，则.
所以当时，，当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为.
设函数，
从而在上的最大值为.
故，即.
【变式1-3】（2024·内蒙古·高三校考期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：在上.
【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
由，得，由，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
则，即，
令，求导得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
于是，即，
所以当时，，即.
【题型2 双变量不等式的证明】
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意，得．
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，即在上恒成立，
所以在上恒成立．
因为当时，（当且仅当时，等号成立），
所以，解得．所以的取值范围为．
（2）方法一：设．
由（1）知在上单调递增，
所以在上单调递增．
因为，所以，即．
所以．
故．
方法二：要证，即要证，
即要证．
记，则只要证．
记，则．
记，则，
所以在上单调递增．
所以在上单调递增，所以．
所以在上单调递增，所以．所以成立．
故．
【变式2-1】（2024·北京西城·高三统考期末）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当且时，判断与的大小，并说明理由.
【答案】（1）；（2）增区间，减区间
（3），理由详见解析
【解析】（1）时，，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
所以在区间和上单调递减，
在区间上单调递增，
所以的增区间，减区间；
（3）当且时，，证明如下：
令，则，
设，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以，即，
所以的单调递增区间为.
当时，，即，
当时，，即，
综上所述，当且时，.
【变式2-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其中.
（1）当时，求的极值；
（2）当，时，证明：.
【答案】（1）有极大值，极小值；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意，，，
所以当时，，，
由解得：或，由解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故有极大值，极小值.
（2）由题意，，，
要证，
只需证，
而，
，
所以只需证，
即证①，下面给出两种证明不等式①的方法：
证法1：要证，只需证，
即证，令，
则，所以在上单调递增，
显然，所以当时，，
因为，所以，即，
故.
证法2：要证，只需证，即证，
令，则，所以只需证当时，，即证，
令，则，
所以在上单调递增，又，所以成立，即，
故
【变式2-3】（2024·全国·高三专题练习）知函数．
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
（3）若，求证：．
【答案】（1）在上为增函数；在上为减函数，
（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）
令得；令得：；
在上为增函数，在上为减函数．
故.
（2）由（1）知：当时，有，
，即：，．
（3）将变形为：
即只证：
设函数
，

令，得：．
在上单调递增；在，上单调递减；
的最小值为：，即总有：．
，即：，
令，，则
，
成立．
【题型3 对称化构造解决极值点偏移】
【例3】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）已知在上单调递增，且，求证：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）的定义域为.
.
①当时，由得，单调递增，
由得，单调递减，
在区间上单调递增，在区间上单调递减；
②当时，由得，或，
在区间上单调递减，在区间上单调递增；
③当时，在上单调递增；
④当时，由得，或，
由得，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由（1）知，当且仅当时，在上单调递增，
即：.
，
又且在上单调递增，
和均不成立.
故不妨设，
因此要证，即证，
因为在上单调递增，
所以即证.
又，
故只需证，即证.
设，
.
，
故.
因此在上单调递增，所以.
故，
又因为在上单调递增，.
【变式3-1】（2024·山西晋城·统考一模）已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）．
令，易知单调递增，且．
当时，,即，单调递减；
当时，,即，单调递增．
所以，即，
所以的取值范围是．
（2）由的单调性可设．
令．
令，则，
所以在上单调递增，则，所以．
所以，即，即．
因为当时，单调递减，且，所以，即．
【变式3-2】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数.
（1）若有唯一极值，求的取值范围；
（2）当时，若，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，若，，函数在上单调递增，无极值点，不符合题意；
若，当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
函数有两个极值点，不符合题意；
若，当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
函数有两个极值点，不符合题意；
当时，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
2是函数的极大值点，且是唯一极值点，
所以的取值范围是.
（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
由，，不妨令，
要证，只证，即证，就证，
令，求导得
，
于是函数在上单调递减，，
而，则，即，又，
因此，显然，
又函数在上单调递增，则有，所以.
【变式3-3】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知函数的最小值为.
（1）求实数的值；
（2）若有两个不同的实数根，求证：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为，令，可得，
当时单调递减；当时单调递增.
所以，所以.
（2）证明：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，当时，
所以，
先证明.
记，
则，
当时，，所以单调递减，
所以当时，，即，
故，即.
又，由单调性知：，即.
再证明.
记函数与和交点的横坐标分别为.
①当时，，故，所以，.
（或：的图象在的图象的下方，且两个函数在上都是减函数）
②当时，记，所以.
当时单调递减；当时单调递增.
又，当时，，即.
故
所以，故.
（或的图象在的图象的下方，且两个函数在上都递增）
综上，.
【题型4 比值代换法解决极值点偏移】
【例4】（2023·全国·高三统考月考）已知是函数的导函数．
（1）讨论方程的实数解个数；
（2）设为函数的两个零点且，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数，，令，，
（i）当时，，则在上单调递减，有且仅有1个零点；
（ii）当时，，则在上单调递减，
，则在上有一个零点；
（iii）当时，令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
因此的最小值为，令，解得，
又因为，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
于是，而，因此，
由函数零点存在定理得，在区间和上各有一个零点，
当，即时，在上只有一个零点，当时，在上没有零点，
所以当时，在上有两个零点，即方程的有两个实数解；
当或时，在上有一个零点，即方程的有一个实数解；
当时，在上没有零点，即方程的无实数解.
（2）由（1）知有两个零点，，
，，则，
由是的两个零点，得，，
即，，两式相减得，
令，则，，，
于是，，，
要证，即证，即证，只需证：，
令，，，
令,故在上单调递减，
因此，则在上单调递增，
所以，从而得证，即.
【变式4-1】（2023·河南驻马店·高三统考期末）已知函数有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由且，可得.
设，，则，
令，解得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又当趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于0，
所以要使的图象与直线有两个交点，则，
故的取值范围是.
（2）证明：，由（1）得，
则，.
设，则，即，
.
设，则.
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
又，，，
所以存在唯一的，使得，即，
所以的最小值为，，
所以，故.
【变式4-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数有两个极值点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题设且，
若，则在上恒成立，即递增，不可能有两个极值点，不符；
故，又有两个极值点，则，是的两个不同正根，
所以，可得，即实数的取值范围是.
（2）由（1）且，，不妨设，
则
，
要证，需证，即，
只需证，即，令，则证，
由（1），时，即，
所以在上递增，又，故，即，
综上，.
【变式4-3】（2022·全国·模拟预测）设函数.
（1）若，求函数的最值；
（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
【答案】（1）无最小值，最大值为；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得，则.
令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
无最小值，最大值为.
（2），则，
又有两个不同的极值点，
欲证，即证，
原式等价于证明①.
由，得，则②.
由①②可知原问题等价于求证，
即证.
令，则，上式等价于求证.
令，则，
恒成立，在上单调递增，
当时，，即，
原不等式成立，即.
【题型5 导数与数列不等式证明】
【例5】（2024·安徽合肥·高三统考期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：对于任意正整数n，都有．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）的定义域为，，
若，当，则，所以在上单调递增；
若，当，则，所以在上单调递减；
当，则，所以在上单调递减；
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即当时，，
对于任意正整数，令，
有，
所以，
即，
即.
【变式5-1】（2024·山西·高三统考期末）已知函数.
（1）若当时，，求实数的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题可知.
令，其图象的对称轴为直线.
当即时，在单调递增，
又，
所以当时，恒成立，从而恒成立，
所以在单调递增，
又，所以恒成立.
当即时，在单调递减，在单调递增，
又，
所以当时，恒成立，从而恒成立，在单调递减，
又，所以当时，，与已知矛盾，舍去.
综上所述，的取值范围为.
（2）由（1）可知，当时，，
从而，
于是.
【变式5-2】（2023·天津红桥·统考一模）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程：
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：（，）.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【解析】（1）当时，函数的定义域为，，，
曲线在点处的切线方程的斜率，
则切线方程为；
（2）若恒成立，则恒成立，
设，，，
由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减.
.；
（3）证明：结合（2），令，则，即，
则，（当且仅当时取等号），
，，…，，
，（，）.
【变式5-3】（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数.
（1）若有且仅有一个零点，求实数的取值范围：
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）易知函数的定义域为.
由，可得.
设，则，
，且与有相同的零点个数.
思路1：令，，则.
当时，，则，即，
可得在单调递减，则有且仅有一个零点.
当时，显然，则，
可得在单调递减，则有且仅有一个零点.
当时，由，解得，，且.
当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减.
不难得知，
，
（令，故在单调递减，
故，即，），
则在有一个零点，可知不只一个零点，不合题意.
综上，可知.
思路2：令，.
当时，在单调递减，有，即，
可得在单调递减，则有且仅有一个零点.
当时，.
若，则，可得在单调递减，
则有且仅有一个零点.
若，存在，且，使得.后续过程同思路1.
综上，可知
（2）取，当时，，有，
即，则.
令，，则，即，
从而.
【题型6 三角函数型不等式证明】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）当时，证明：恒成立.
【答案】证明见解析
【解析】由题意可知，函数的定义域为，
先证明，令，
则，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
所以，，
设，其中，则且不恒为零，
所以，在上为增函数，故当时，，
所以，，
因为，故，故原不等式得证.
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，.
（1）讨论的极值；
（2）若 ，，求证：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，所以.
当时，，此时在R上单调递增，无极值.
当a>0时，令，则，解得.
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减.
所以当时，有极小值，极小值为.
综上所述，当a≤0时，没有极值；
当a>0时，有极小值，为，无极大值.
（2）证明：因为，所以.
要证，可证，分两步进行.
①先证当时，.
令，则.
令，则.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
因为，所以，即.
②再证当时，.
易知，
由（1）知，当，时，，即，
所以当时，.
令，，则，显然为减函数，
，
所以在上先正后负，先增后减， 且
所以，所以当时，，
所以.
因为当时，，即，
所以.
因为，所以，即，所以，
即，所以.
结合①②可知 ，即.
【变式6-2】（2023·江苏常州·校考一模）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）证明：当时，成立.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）解法一：由，得，
又，所以是的极小值点，
故，而，故，
若，则，
当；当，
所以在单调递减，在单调递增，
故是唯一的极小值点，也是最小值点，
由，所以当且仅当时，
解法二：由，得，又，
当时，有恒成立，所以在上单调递减，
又，则不成立，
当时，令，得，
则时，有时，有，
即在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为，
，
函数在单调递减，单调递增，
，当且仅当取等号，故；
（2）当时，，
设，
当时，，
又由（1）知，故，
当时，，
设，则，
则在单调递增，，
所以，则在单调递增，
，
综上，，即当时，.
【变式6-3】（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数.
（1）求的极值；
（2）已知，证明：.
【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）证明见解析
【解析】（1），，令，可得.
令，可得，
令，可得，或
所以在上单调递增，在和上单调递减.
所以的极大值为的极小值为.
（2）由，
可得，
所以.
由对称性，不妨设，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以.
由（1）可知在上的最大值为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因为等号不能同时取到，所以.
【题型7 不等式恒成立求参问题】
【例7】（2023·辽宁·高三校联考期中）已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，等价于，
记，即在上恒成立，
.
当即时，，在上单调递减，
所以当时，即恒成立；
当时，记，则，
当时单调递减，又，，
所以存在，使得，当时，，单调递增，
所以，即，
所以当时，即，不符合题意；
当时，，不符合题意.
综上，的取值范围是.故选：C
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
故，
故，
令，则，
令，故，
令，故，
故当时，，
当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，
故，解得，
故实数的取值范围为，故选：D
【变式7-2】（2024·江西赣州·高三统考期末）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求a和b的值；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）依题意知，当时，，
即，所以，则，
易得，
于是，所以，即；
（2）因为，所以原不等式可变为，
记，则上式等价于，
，
记，则，
于是在上单调递减，
又，所以当时，，即，
当时，，即，
从而在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，
故m的取值范围是.
【变式7-3】（2024·山东枣庄·高三统考期末）已知函数.
（1）若是增函数，求的取值范围；
（2）若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意.
因为函数在其定义域上单调递增，
所以.
设，
①当时，函数在上单调递增，只须，无解.
②当时，只须，解得：，
综上所述：实数的取值范围是.
（2）由（1）知，
因为有两个极值点为，
所以在上有两个不同的根，
此时方程在上有两个不同的根.
则，且，解得.
若不等式恒成立，
则恒成立.
因为
设.
则，因为，所以，
所以在上递减，所以，所以，
即实数的取值范围为.
【题型8 不等式能成立求参问题】
【例8】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数．若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
当时，，函数在上单调递减，，
若存在实数，使得不等式成立，
等价于成立，又，，
，所以．
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
为正实数，，又函数在上单调递增，
，解得
正实数的取值范围为．故选：C．
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为对于存在，存在，使，
所以，，，
又，，
显然在上单调递减，则，
当时，，即在上单调递增，
则，
由解得：，
所以实数的取值范围为.故选：A.
【变式8-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）
【解析】（1）当时，，
∴，由，得，由，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）原条件等价于：在上存在实数解．
化为在上存在实数解，
令，则，
∴在上，，得，故在上单调递增，
∴的最小值为，
∴时，不等式在上存在实数解．
【变式8-3】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，
则，即切线的斜率，
且，即切点坐标为，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）由题意可知：，
因为的图象开口向上，对称轴为直线，
则在上单调递减，可得，
由（1）可设，则，所以，
当时，；当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增.
且，
可知在区间上只有一个零点，设为，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，可得当时，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
（建议用时：60分钟）
1．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即，
因为，所以，即恒成立，
令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，所以，
若时，不等式恒成立，则恒成立，
若时，，恒成立，则也成立，
所以当时，恒成立，所以得，即，
设
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以，即正实数的最小值为.故选：C.
2．（2024·河北·高三石家庄精英中学校联考期末）设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，，
当时，，恒成立，
即任意，对恒成立；
当时，，
即，其中，
构造函数，则.
，因为，所以，单调递增；
则有，则，
构造函数，
则，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则， 即当时，，
故要使恒成立，则，即的取值范围为.故选：B.
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由有意义可知，.
由，得.
令，即有.
因为，所以，令，
问题转化为存在，使得.
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以当时，.
因为存在，使得成立，所以只需且，解得.故选：.
4．（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），则，
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）证明：的定义域为，要证明，
只需证.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以.
设函数，则，
所以恒成立，从而，故
5．（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若且，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得函数定义域为，
当时，，
则令，得，故在上单调递增；
令，得，故在上单调递减；
当时，，
则当时，，故在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，则当时，，
故在上均单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，等号仅在时取到，在上单调递增；
当时，，则当时，，故在上均单调递增；
当时，，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时， 在上均单调递增，在上单调递减；
当时， 在上单调递增；
当时， 在上均单调递增，在上单调递减；
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，为函数的最大值点；
若且，不妨设，则可得，
要证明，只需证，此时，
故只需证，即证；
令，而，
则
，
因为，
所以恒成立，故在上单调递减，
故，
即，即，
故得证.
6．（2024·天津宁河·高三统考期末）已知函数，．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设是函数的两个极值点，证明：．
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）当时，，
得，则，，
所以切线方程为，即；
（2），
当时，恒成立，在上单调递增，无减区间，
当时，令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为；
（3），
则，
因为是函数的两个极值点，
即是方程的两不等正根，
所以，得，
令，则，
得，
则，
所以
，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即.
7．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明：．
【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上递减，在上递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）证明：由（1）知，，即，，
因此，当且仅当时取等号，
令，，则，
，而，
所以.满分技巧
不等式证明的常用思路
1、移项构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．
在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)>g(x)，
但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”．
3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
满分技巧
双变量不等式的处理策略：
含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，
具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
满分技巧
1、和型（或）问题的基本步骤：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，
得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
2、积型问题的基本步骤：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
满分技巧
比值换元的目的也是消元、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的。设法用比值（一般用表示）表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求问题转化为关于的函数问题求解。
满分技巧
1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数的不等式替代函数不等式中的自变量。通过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得来。
2、已知函数式为指数不等式（或对数不等式），而待证不等式为与对数有关的不等式（或与指数有关的不等式），还有注意指、对数式的互化，如可化为
满分技巧
1、正余弦函数的有界性：；
2、三角函数与函数的重要放缩公式：.
满分技巧
1、利用导数求解参数范围的两种方法
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别解出满足题意的参数范围最后取并集。
2、不等式恒成立问题转化：
（1），
（2），
满分技巧
1、形如有解问题的求解策略
（1）构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
（2）参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求的函数的单调性与最值即可。
2、单变量不等式能成立问题转化
（1），
（2），
3、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．