热点2-5 导数的应用-单调性与极值（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
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热点2-5 导数的应用-单调性与极值
导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。
【题型1 求函数的单调区间或单调性】
【例1】（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
由得或（因为，故舍去），
所以在区间上单调递增．
【变式1-1】（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】由题意知，.
即，，因为，所以，
所以在中，，
所以在上的单调递减区间为.
【变式1-2】（2023·山东淄博·高三统考期中）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调增区间．
【答案】（1）；（2）和
【解析】（1），定义域为，
，
，，
故切线方程为，即；
（2）函数定义域为，，
设，，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减；
故，恒成立，
即在上恒成立，
函数在和上单调递增.
则函数单调增区间为和.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，求函数的单调区间.
【答案】增区间为和，减区间为
【解析】当时，，该函数的定义域为，
，
由可得，
由可得或，
故当时，函数的增区间为和，减区间为.
【变式1-4】（2023·山西大同·高三统考期末）已知函数，.
（1）求曲线的平行于直线的切线方程；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）
（2）在上单调递增，在上单调递减
【解析】（1）由已知得，
直线的斜率为1，令，得，
设，则在上恒成立，所以在上单调递增，
而，所以方程有唯一解，此时，
故曲线的平行于直线的切线只有一条，即在点处的切线；
（2），
而，因此的正负与的正负一致，
由知，当时，，所以单调递增，
所以等价于，
等价于，
由函数和知，当时，，即，
当时，，即，
故在上单调递增，在上单调递减.
【题型2 根据函数的单调性求参数】
【例2】（2024·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
所以，
所以在上单调递减，所以，
故，所以的取值范围是，故选：D.
【变式2-1】（2023·福建泉州·高三泉州第一中学校考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，，变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，故选：D．
【变式2-2】（2023·广东汕头·高三统考期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在递增，
所以在上恒成立，
则，即在上恒成立，
由函数单调递增得，
又，所以，所以，
所以即，解得，
所以的取值范围是，故选：B
【变式2-3】（2023·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
令，因为在上不单调，
在上有变号零点，即在上有变号零点，
当 时， ，不成立；
当 时，只需 ，即 ，解得 或 ，
所以 在上不单调的充要条件是或 ，
所以在上不单调的一个充分不必要条件是，故选：B
【变式2-4】（2023·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
所以时递减，
时，递增，是极值点，
因为函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，
所以，即，故选：B.
【题型3 导函数与函数的图象关系】
【例3】（2023·广东湛江·高三校考阶段练习）的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为和，减区间为，
所以，函数的图象为C选项中的图象，故选：C.
【变式3-1】（2024上·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）（多选）已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的减区间是， B．函数的减区间是，
C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点
【答案】BC
【解析】观察图象，由，得或，
显然当时，，当，，
由，得或，显然当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，A错误，B正确；
函数在处取得极小值，在处取得极大值，C正确，D错误.故选：BC
【变式3-2】（2023·新疆喀什·高三统考期中）（多选）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上为减函数 B．在处取极大值
C．在上为减函数 D．在处取极小值
【答案】BCD
【解析】由图像得：当，，单调递增，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
当时取得极大值，当时取得极小值.故选：BCD
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因为在和上，在和上，
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
观察各选项知，只有D符合题意.
解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于，
所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.故选：D.
【变式3-4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由的图象知，当时，，故，单调递增；
当时，，故，当，，故，
等号仅有可能在x＝0处取得，所以时，单调递减；
当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.故选：C.
【题型4 求函数的极值或极值点】
【例4】（2023·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】因为，，
所以.
当或时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，，故选：D.
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）函数在区间的极大值、极小值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】由题意，得，
当时，，；
当时，，．
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当时，取得极小值，为；
当时，取得极大值，为．故选：D．
【变式4-2】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）函数的极大值是 ．
【答案】
【解析】由，则，
令，解得或，
则当，时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
则当时，函数取得极大值，
.
【变式4-3】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数，则函数的极小值为 .
【答案】
【解析】，
设，因为，所以.
令，所以.令，则或.
因为在上，在上，
在上，所以在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，
即的极小值为.
【变式4-4】（2024·河南·统考模拟预测）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值
【解析】（1），则，
由题意可得，解得；
（2）由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
【题型5 根据函数的极值求参数范围】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b，
又极小值点为，极大值点为，所以，即，
由韦达定理得到，所以，，得到．故选：A．
【变式5-1】（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的定义域为，，
要函数在上有极值，
则在上有零点，即在上有实数根.
令，
则，当且仅当时等号成立，所以.
当时，，函数单调递增，
则函数在上没有极值，故.故选:D.
【变式5-2】（2024上·河南南阳·高三统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得有两个变号零点，
令，定义域为R，则，
当时，恒成立，在R上单调递增，不会有两个零点，舍去，
当时，令得，，令得，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
则，即，
令，，则，
令得，令得，
在上单调递增，在单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
又，故的解集为，
此时当趋向于负无穷时，趋向于正无穷，
当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
满足有2个变号零点.，故选：C
【变式5-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
的开口向上，对称轴为，与轴的交点为，
当时，在区间上，，单调递增，
没有极值点，所以，
要使在区间上存在极小值点，则在有两个不等的正根，
则需，解得，
所以的取值范围是，故选：A
【变式5-4】（2023·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
由，得，
因为函数既有极大值也有极小值，
所以函数在上有两个变号零点，而，
所以方程有两个不等的正根，
所以，所以，
所以，即．
故BCD正确，A错误．故选：A．
【题型6 利用导数求函数的最值】
【例6】（2023·四川南充·高三南部中学校考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为 ．
【答案】
【解析】，
则．
令 ， 解得(舍去)，或．
所以
故在单调递增，在单调递减，
，
又，
所以．
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求的最小值.
【答案】0
【解析】由已知可得，定义域为，
且.
当时，有，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.
【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，．讨论函数的最值；
【答案】答案见解析
【解析】由函数，可得其定义域为，且，
当时，可得，在上单调递增，无最值；
当时，令，可得，所以在上单调递减；
令，可得，所以在单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
综上可得：
当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．
【变式6-3】（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数，求在区间上的最大值．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设的最小正周期为，显然，
令，解得.
（2）由已知得，，
当时，令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则最大值是.
【变式6-4】（2023·山东青岛·高三统考期中）已知函数．
（1）若是函数的极值点，求在处的切线方程．
（2）若，求在区间上最大值．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1），
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
【题型7 根据函数的最值求参数范围】
【例7】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数在处取最大值，则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由题意得，，
当时，在上恒成立，此时单调递增，不符合题意，
当时，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取极大值也是最大值，
故，故选：C．
【变式7-1】（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，单调递减，
故在处取得最小值，最小值为，满足要求，
当或时，，
令得或，
当时，恒成立，
故表格如下：
故在上取得极小值，
且，，
要想在区间上的最小值为，
则要，变形得到，
令，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
且，，
故的解集为，
时，令可得，
当时，，
令得，
故在上单调递减，
故在处取得最小值，最小值为，满足要求，
当时，恒成立，
故表格如下：
故在上取得极小值，
且，，
要想在区间上的最小值为，
则要，变形得到，
令，，
时，，单调递增，
又，故上，无解，
综上：实数a的取值范围是.故选：C
【变式7-2】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，令，得，
令，是，或，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
故.
令，得，解得，，
所以，所以要使在上存在最大值，
则有,解得.故选：B.
【变式7-3】（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
令，解得或，
所以在，内单调递增，在内单调递减，
所以极小值为．
令，则，所以，
由题意得，所以a的取值范围为.故选:C．
【变式7-4】（2023·上海·高三上海中学校考期中）已知，函数，．
（1）当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；
（2）若与有相同的最小值，求实数a．
【答案】（1）；（2）1
【解析】（1）由题意，，
由得，此时，
所以切点为；
（2），时，，在上是增函数，无最小值，所以，
，
时，，递减，时，，递增，
所以有唯一的极小值也是最小值，
，，
，，递减，时，，递增，
所以有唯一的极小值也是最小值为，
由题意，，
设，则，
设，则，
时，，递增，时，，递减，
所以，所以，即，是减函数，
又，因此是的唯一零点，
所以由得．
【题型8 函数的单调性、极值、最值综合】
【例8】（2024·河南·模拟预测）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）答案见解析；；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由，得，函数在上单调递减，
由，得，函数在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
令函数，求导得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，则，
于是，有，当时，则，
因此，
所以.
【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．
（1）若，求在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的零点个数．
【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）答案见解析.
【解析】（1）当时，，，
则，
设，则，
易知在上单调递增，，
故即在上单调递增，，
故在上单调递增，
在上的最小值为，最大值为．
（2）由可得．
①当时，，又，，恰有1个零点；
②当时，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值，
又，当时，，故有2个零点；
③当时，由得或，由得，
在上单调递增，在上单调递减，
的极小值，极大值，
又当时，，有1个零点；
④当时，由可得或，由可得，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值，极小值，
又当时，，有1个零点；
⑤当时，，，
单调递增，，有1个零点．
综上可知，当时，有2个零点；当时，有1个零点．
【变式8-2】（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知函数．
（1）若时，恒有，求a的取值范围；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由若时，恒有，
所以当时，恒成立，
设，
则令，
则，显然在单调递增，
故当时，，
当时，，则对恒成立，
则在单调递增，
从而当时，，即在单调递增，
所以当时，，符合题意；
当时，，又因为，
所以存在，使得，
所以当时，，单调递减，，
则单调递减，此时，不符合题意.
综上所述，a的取值范围为
（2）要证当时，，即证，
设，
则，
令，
则单调递增，
所以当时，，则单调递增，
所以当时，，
则当时，，即单调递增，
所以当时，，原式得证
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个极值点，且．
（1）求的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知．
因为函数有两个极值点，
所以在上有两个变号零点．
设，，则.
①当时，，则在上单调递增，至多一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因为在上有两个变号零点，即在上有两个变号零点，
所以，解得，此时.
因为，，所以在上存在一个零点．
因为，
由，则.
设，
则，所以在上单调递减．
因为，所以．所以，
且，则，
又，所以在上存在一个零点．
由两个极值点，满足，则.
故当时，在上有两个变号零点.
综上所述，a的取值范围为；
（2）由（1）可知，当时，，
在单调递减，在单调递增．
又，所以，
且当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
由，得，所以．
所以．
设，则，
所以在上单调递减，其中，
①当时，，即，所以，
因为在上单调递增，
所以，故不等式无解；
②当时，，即，所以，
所以，符合题意；
③当时，，即，所以，
因为在上单调递减，所以，
故此时不等式也无解．
综上所述，不等式的解集为．
（建议用时：60分钟）
1．（2024·北京昌平·高三统考期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项，在上单调递增，不合要求，错误；
B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C选项，在上恒成立，故在上单调递增，C错误；
D选项，令得，，
在上单调递增，
而在上单调递减，
由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.故选：D
2．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）设函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在上存在最大值
C．在定义域内存在最值 D．在上存在最小值
【答案】D
【解析】，
则，
令，则在上单调递增，且，
所以存在使得，
则时单调递减；
当时单调递增，故A错误
当时，在上不存在最大值，故B错误；
，所以的周期为，
定义域关于原点对称，，所以为奇函数，
当时单调递减，时单调递增，
即当时，，有最小值，无最大值；
由奇偶性得时，，故在定义域内不存在最值，故C错误
对D：结果前面分析知存在使得，且
所以，
所以，故D正确.故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的导函数，，则（ ）
A．的极大值为，无极小值 B．的极小值为，无极大值
C．的极大值为，无极小值 D．的极小值为，无极大值
【答案】C
【解析】的定义域为，，
所以，
求导得，令，得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，取得极大值，无极小值．故选：C．
4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）等差数列中的，是函数的极值点，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由求导得：，
有，即有两个不等实根，
显然是的变号零点，即函数的两个极值点，
依题意，，在等差数列中，，
所以，故选：A
5．（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，
由题可知恒成立，即.令，
则，所以在上单调递增，由，
可得，即，所以，所以，
当时，，不符合题意，故的取值范围是.故选：B
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因为是函数的极值点，所以，则，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．故选：C
7．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值 B．函数有最大值
C．函数有且仅有三个零点 D．函数有且仅有两个极值点
【答案】A
【解析】由函数图象可知、的变化情况如下表所示：
由上表可知在和上分别单调递减，在和上分别单调递增，
函数的极小值分别为、，其极大值为.
对于A选项：由以上分析可知，即函数有最小值，故A选项正确；
对于B选项：由图可知当，有，即增加得越来越快，
因此当，有，所以函数没有最大值，故B选项错误；
对于C选项：若有，则由零点存在定理可知函数有四个零点，故C选项错误；
对于D选项：由上表及以上分析可知函数共有3个极值点，故D选项错误.
故选：A.
8．（2023·天津西青·高三校考开学考试）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为的图像经过与两点，即，，
由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故AD错误；
由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增，
又在上越来越大，在上越来越小，
所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故C错误，B正确.
故选：B.
9．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的两条切线
【答案】AC
【解析】由题意，在中，．
令，得或，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是极值点，A正确．
由的单调性且极大值，极小值，
又，，
所以函数在定义域上有3个零点，B错误．
令，因为，则是奇函数，
所以是图象的对称中心，
将的图象向上移动1个单位长度得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，C正确．
设切点为，则切线的方程为，
代入，可得，解得．
所以过点的切线有1条，D错误．故选：AC．
10．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）（多选）对于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．在上有3个零点
C．的最大值为 D．在上是增函数
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，
所以是的一个周期，A正确；
对于B，当，时，，
即，即或，解得或或，
所以在上有个零点，故B正确；
对于C，由A可知，只需考虑求在上的最大值即可.
，
则，
令，求得或，
所以当或时，，此时，
则在上单调递增，
当时，，此时，但不恒为0，
则在上单调递减，则当时，函数取得最大值，
为，C正确；
对于D，由C可知，在上不是增函数，D错误.故选：ABC
11．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数的值域为 .
【答案】
【解析】是函数的一个周期，所以只需要考虑函数在的取值范围即可.
，
易知在内有三个零点，依次为，，.
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
计算有，，，，
所以函数的值域为.
12．（2023·上海·高三校考期中）函数的极小值是 .
【答案】0
【解析】由已知，得或，
当或时，，当时，，
所以在和上递增，在递减，
所以的极小值为．
13．（2023·广东·统考二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 .
【答案】
【解析】由，且，
令，则，即在上递增，
所以在上递增，又，，，，
所以，使，且时，，
时，，所以在上递减，在上递增，
所以
由，得，
令函数，，
所以在上是增函数，注意到，所以，
所以.
14．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）；（2）最大值为52，最小值为
【解析】（1）易知函数的定义域为，
因为是奇函数，所以，则.
由，得.
因为在上取得极大值2，
所以解得
经经检验当时，在处取得极大值2，
故.
（2）由（1）可知，，
当时，单调递增；
当和时，单调递减；
即函数在处取得极小值，在处取得极大值；
又因为，
所以在上的最大值为52，最小值为.
15．（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）对，恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）递增区间为；；（2）.
【解析】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上递减，在上递增，
，即，，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，即函数的递增区间为.
（2）依题意，，则，
由（1）知，当时，恒成立，
当时，，，
则，因此；
当时，求导得，令，
求导得，当时，，
则函数，即在上单调递减，当时，，
因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意，
所以a的取值范围是.
16．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）、；（3）
【解析】（1）当时，，则，所以，，，
故当时，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，该函数的定义域为，
，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为、.
（3）因为，则，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
则函数在上有一个异号零点，
当时，对任意的，，不合乎题意；
当时，函数在上单调递增，
因为，只需，合乎题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需，不合乎题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.满分技巧
1、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
满分技巧
已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
满分技巧
（1）对于原函数，要注意图象在哪个区间内单调递增，在哪个内单调递减；
（2）对于导函数，则要注意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要注意这些区间与原函数的单调性的一致。
满分技巧
利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．
满分技巧
（1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程；
（2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍。
满分技巧
函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
0
+
0
极小值
极大值
+
0
0
+
极大值
极小值