2024年中考数学二轮题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型2 二次函数与线段有关的问题27题（专题训练）（2份打包，原卷版+教师版）

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(1)求该抛物线的表达式；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，点 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 的对应点，平移后的抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 SKIPIF 1 < 0 为腰的 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并把求其中一个点 SKIPIF 1 < 0 的坐标的过程写出来．
2．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，求 SKIPIF 1 < 0 的值和 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
②当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
3.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径 SKIPIF 1 < 0 ，且点A，B关于y轴对称，杯脚高 SKIPIF 1 < 0 ，杯高 SKIPIF 1 < 0 ，杯底MN在x轴上．
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）．
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 SKIPIF 1 < 0 所在抛物线形状不变，杯口直径 SKIPIF 1 < 0 ，杯脚高CO不变，杯深 SKIPIF 1 < 0 与杯高 SKIPIF 1 < 0 之比为0.6，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
4．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，其中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)如图2，若抛物线经过原点 SKIPIF 1 < 0 ．
①求该抛物线的函数表达式；②求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 能否相等？若能，求符合条件的点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标；若不能，试说明理由．
5.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在x轴上，MN与矩形 SKIPIF 1 < 0 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线AED上．设点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，及取最大值时点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标的取值范围（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 右侧）．
6．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿 SKIPIF 1 < 0 匀速运动，到达点A时停止，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 设点P的运动时间为 SKIPIF 1 < 0 ，正方形 SKIPIF 1 < 0 的而积为S，探究S与t的关系

(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 _______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）对应的正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积均相等．
① SKIPIF 1 < 0 _______；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，求正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
7.在平面直角坐标系xy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上．点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿线段 SKIPIF 1 < 0 方向匀速运动，运动到点 SKIPIF 1 < 0 时停止．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，请在图1中过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．
(3)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 开始运动时，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 同时出发，以与点 SKIPIF 1 < 0 相同的速度沿 SKIPIF 1 < 0 轴正方向匀速运动，点 SKIPIF 1 < 0 停止运动时点 SKIPIF 1 < 0 也停止运动．连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求线段AC的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形时，求点M的坐标．
10．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物 SKIPIF 1 < 0 （b为常数）上的两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0
(1)求b的值；
(2)将抛物线 SKIPIF 1 < 0 平移后得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．
探究下列问题：
①若抛物线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为点E， SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心为点F，如果对抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点P，在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围．
11.如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）连结 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．过点M作 SKIPIF 1 < 0 轴，交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点N．P是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点，横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值．
12．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13.如图，在平面直角坐标系中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且与直线 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） SKIPIF 1 < 0 为抛物线对称轴上一点， SKIPIF 1 < 0 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形．若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．探究 SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 SKIPIF 1 < 0 于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
15.如图1，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 SKIPIF 1 < 0 的坐标值：
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） SKIPIF 1 < 0 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为F， SKIPIF 1 < 0 的外接圆与 SKIPIF 1 < 0 相交于点E．试问：线段 SKIPIF 1 < 0 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
16．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点P为第一象限抛物线上的点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)直接写出结果； SKIPIF 1 < 0 _____， SKIPIF 1 < 0 _____，点A的坐标为_____， SKIPIF 1 < 0 ______；
(2)如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上， SKIPIF 1 < 0 ，点Q为抛物线上一点， SKIPIF 1 < 0 ，点E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的最小值为m．
①求m的值；
②设 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，若 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出k的取值范围．
17.已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点C，点 SKIPIF 1 < 0 是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点G．过点P作 SKIPIF 1 < 0 于点D，当n为何值时， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图2，将直线 SKIPIF 1 < 0 绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，然后将它向上平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到直线 SKIPIF 1 < 0 ．
① SKIPIF 1 < 0 ______；
②当点N关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 落在抛物线上时，求点N的坐标．
18．（2023·山东·统考中考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，其对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折，得到 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
(3)如图2，动点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上方的抛物线上，过点P作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，分别交直线 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 于点E，F，过点F作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为G，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与 SKIPIF 1 < 0 AOG相似，求点D的坐标．
20.如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出 SKIPIF 1 < 0 的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为 SKIPIF 1 < 0 的外心，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的周长之比为 SKIPIF 1 < 0 ，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21.如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
22.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23.在平面直角坐标系xOy中，直线yx+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
24，若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m时，求点P的坐标；
②求m的最大值．
25.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQOQ的最小值．
26.已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
27.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连结PB，求PC+PB的最小值．
x
…
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…