2024年中考数学二轮题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型9 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）（2份打包，原卷版+教师版）

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(1)求抛物线的解析式；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上一点，求出 SKIPIF 1 < 0 的最大面积及此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线对称轴上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 为坐标平面内一点，是否存在以 SKIPIF 1 < 0 为边，点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上一动点， SKIPIF 1 < 0 轴，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动（点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 不重合），求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求出此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上运动，则在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)如果四个点 SKIPIF 1 < 0 中恰有三个点在二次函数 SKIPIF 1 < 0 （a为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象上．
① SKIPIF 1 < 0 ________；
②如图1，已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且 SKIPIF 1 < 0 轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究 SKIPIF 1 < 0 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的顶点B、D在二次函数 SKIPIF 1 < 0 （a为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的右侧），点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，设点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求抛物线的解析式．
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，与拋物线交于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
(3)抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为平面直角坐标系上一点，若以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
5.（2022·湖南湘潭）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图①，若抛物线图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一动点（与点 SKIPIF 1 < 0 不重合），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，同时与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，以线段 SKIPIF 1 < 0 为边作菱形 SKIPIF 1 < 0 ，使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
6．（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点Q．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，求当P点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
7.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且与直线 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） SKIPIF 1 < 0 为抛物线对称轴上一点， SKIPIF 1 < 0 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形．若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．探究 SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
8.（2021·山西中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点的坐标并直接写出直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的函数表达式；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上的一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 ，交线段 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①试探究：在直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
9.（2021·内蒙古）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 交x轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 SKIPIF 1 < 0 的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．