专题13 二次函数区间及最值问题（教师版）- 2024年中考数学拉分压轴专题重难点突破

这是一份专题13 二次函数区间及最值问题（教师版）- 2024年中考数学拉分压轴专题重难点突破，共23页。试卷主要包含了如图，抛物线与直线交于点A和点等内容，欢迎下载使用。


1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当-4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的积；
(3)连接AB，若二次函数y=-x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)， (2)(3)，或
【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合的取值范围求解．
（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在上，经过点，时的值，进而求解．
（1）解：将，代入
得，
解得，
，
抛物线顶点坐标为．
（2）解：抛物线开口向下，顶点坐标为，
函数最大值为，对称轴为直线，
，
时，为函数最小值，
的最大值与最小值的积为．
（3）解：二次函数的图象向上平移个单位后解析式为，
抛物线顶点坐标为，
当顶点落在线段上时，，
解得，
当抛物线向上移动，经过点时，，
解得，
当抛物线经过点时，，
解得，
当，或时，函数图象与线段有一个公共点．
【我思故我在】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．
2．已知抛物线的对称轴为直线，图象与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若把抛物线的图象沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为-2，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）利用对称轴x=-=1，图像与x轴交于点（-1，0）求出函数解析式；
（2）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，对应的函数y的最小值求出n的值．
【详解】解：（1）由题意得解之得，
∴二次函数的解析式为；
（2）配方为，
当时，，
∵另一个与轴的交点为（3，0），设抛物线的图象沿轴平移个单位，函数开口向上，，
∴①若函数向左平移个单位，只能在时，，
设平移后的函数关系式为，
∴，
∴或（舍）；
②若函数向右平移个单位，设平移后的函数关系式为，对称轴为
当，即时，当时，，
∴，
∴或，均不合题意，舍去，
当，即时，此时
∴不合题意，舍去
当，即时，当时，，
∴，
∴或（舍），
综上所述，或．
【我思故我在】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．
3．如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点G的坐标；
点为抛物线上两点(点在点的左侧) ，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1），G（1,4）；（2）﹣21≤≤4.
【分析】（1）根据用c表示出点A的坐标，把A的坐标代入函数解析式，得到一个关于c的一元二次方程，解出c的值，从而求出函数解析式，求出顶点G的坐标．
（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N到对称轴的距离，判断出M,N的横坐标，进一步得出M,N的纵坐标，求出M,N点的坐标后可确定的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线与轴正半轴分别交于点B，
∴B点坐标为（c，0），
∵抛物线经过点A，
∴﹣c2+2c+c=0，解得c1=0（舍去），c2=3，
∴抛物线的解析式为
∵=﹣（x－1）2+4，
∴抛物线顶点G坐标为（1,4）．
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度 ，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为﹣4或6，
点M的纵坐标为﹣5，点N的纵坐标为﹣21，
又∵点M在点N的左侧，
∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤4
当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤﹣5，
∴的取值范围为﹣21≤≤4．
【我思故我在】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算．
4．如图，已知二次函数y＝ax2＋3x＋的图像经过点A（－1，－3）．
(1)求a的值和图像的顶点坐标．
(2)若横坐标为m的点B在该二次函数的图像上．
①当点B向右平移4个单位长度后所得点B′也落在该二次函数图像上时，求m的值；
②若点B到x轴的距离不大于3，请根据图像直接写出m的取值范围．
【答案】(1)a＝－；(3，5) ；
(2)①m＝1；②－1≤m≤1或5≤m≤7.
【分析】（1）把点A(－1，－3)代入y＝ax2＋3x＋中，即可解得a＝－，再利用配方法转化为顶点式解析式即可解答；
（2）①根据题意得到点B，根据“左加右减”原则，得到点B′，将其代入解析式即可解答；
②根据二次函数的对称性，可知其图像也经过点(7，－3)，令y＝3，则－ (x－3)2＋5＝3，解得x＝1或x＝5.结合图像，可知m的取值范围是－1≤m≤1或5≤m≤7.
（1）
把点A(－1，－3)代入y＝ax2＋3x＋中，
得－3＝a×(－1)2＋3×(－1)＋，解得a＝－.
∴y＝－x2＋3x＋＝－ (x－3)2＋5.
∴图像的顶点坐标为(3，5)；
a＝－，顶点坐标为(3，5)；
（2）
由题意，可知点B，
∴点B′，
把点B′代入二次函数y＝－x2＋3x＋中，
得－m2＋3m＋＝－ (m＋4)2＋3(m＋4)＋，解得m＝1.
.
②函数图像经过点A(－1，－3)，
根据二次函数的对称性，可知其图像也经过点(7，－3)，
令y＝3，则－ (x－3)2＋5＝3，解得x＝1或x＝5，
结合图像，可知m的取值范围是－1≤m≤1或5≤m≤7.
【我思故我在】本题考查二次函数的图像与性质，涉及配方法、二次函数与一元二次方程的联系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.
5．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，则；
（3）过点P作轴于点D．设点P坐标为则，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点，点代入，
∴，
解得，
∴
（2）解：连接交对称轴于点Q，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A、B关于对称轴对称，
∴，
∴，
当C、B、Q三点共线时，的周长最小，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴；
（3）解：过点P作轴于点D．设点P坐标为
则

∴当时，．
此时
所以求面积S的最大值为，P点的坐标．
【我思故我在】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键．
6．如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
7．如图，直线y=x−5交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2−4x+c经过A，B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以AB为边作矩形ABCD，设点C的横坐标为m．
①用含m的代数式表示C，D两点的坐标；
②当CD边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2-4x-5；
(2)①点C的坐标为(m，-m-5)；点D的坐标为(m+5，-m)；②-7≤m≤3且m0．
【分析】（1）先求得点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）①利用等腰直角三角形的性质以及坐标与图形的性质可求得点C的坐标；再利用平移的性质求得点D的坐标即可；
②根据点C恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，据此求解即可．
（1）
解：∵直线y=x−5交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(0，-5)，
∵抛物线y=ax2−4x+c经过A，B两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x-5；
（2）
解：①∵点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(0，-5)，
∴OA=OB=5，
∴△OAB是等腰直角三角形，则∠OAB=∠OBA=45°，
过点C作CE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，点C的横坐标为m．
∴CB⊥AB，则∠CBE=∠OBA=45°，
∴CE=BE=-m，
∴点C的坐标为(m，-m-5)；
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵点A是点B向右平移5个单位，向上平移5个单位得到的，
∴点D的坐标为(m+5，-m)；
②设BC的解析式为y=kx-5，
把(m，-m-5)代入y=kx-5，得-m-5=mk-5，
解得：k=-1，
∴BC的解析式为y=-x-5，
设AD的解析式为y=-x+n,
把点D的坐标（m+5,m）代入y=-x+n,得-m=-m-5+n,
解得：n=5,
∴AD的解析式为y=-x+5,
当点C恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，
联立,解得：x1=5，x2=-2，
当x=5时，点A和点D重合，不符合要求，
x<-2即m+5<-2，得m<-7时，线段CD与抛物线无交点，
当点C恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，
联立，解得：x1=0，x2=3，
当x=0时，点C与点B重合，不符合要求，
当x>3即m>3时，线段CD与抛物线无交点，
故-7≤m≤3且m0．
【我思故我在】本题考查二次函数的图象及性质，直线和抛物线的交点以及解方程组和不等式组等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
8．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上．
(1)若二次函数图象经过点，．
①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；
②当时，请直接写出与的大小关系；
(2)若只有当时，满足，请求出此时二次函数的解析式．
【答案】(1)①，顶点坐标为(1,0)
②
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解出二次函数的解析式，配成顶点式即可求出二次函数的顶点坐标；求出y1和y2，再根据m的取值范围即可比较；
（2）先根据点P(m,y1)在图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+1的图象上，得到和，即有，再根据m的取值范围可得：当时，函数；当时，函数，可以判断出可知经过点(0,0)，(1,0)，则可求出b、c，则问题得解．
（1）
①∵经过点(0,1)、(2,1)，
∴有，解得，
∴二次函数解析式为：，
∵，
∴顶点坐标为(1,0)，
②∵点P(m,y1)在图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+1的图象上，
∴，，
∴，
∵m＞1，
∴m-1＞0，
∴，
∴；
（2）
∵点P(m,y1)在图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+1的图象上，
∴，，
∴，
∵只有当时，，
当时，1-m≥0，
∵，
∴，
即当时，函数，
当时，1-m<0，
∵，
∴，
即当时，函数，
∴经过点(0,0)，(1,0)，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为：．
【我思故我在】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解二次函数解析式、求解顶点坐标等知识，判断出可知经过点(0,0)，(1,0)是解答本题的关键．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求抛物线顶点坐标和对称轴方程；
(3)若点与在（1）中的抛物线上，且，将抛物线在PQ上方的部分沿PQ翻折180°，抛物线的其他部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与过（0，-3）且平行于x轴的直线恰好只有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．
【答案】(1)；
(2)顶点坐标为（2，9），对称轴方程为；
(3)或．
【分析】（1）由得出OC，再由得出OB的值，代入点B可求出抛物线的解析式；
（2）将抛物线化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴方程；
（3）讨论PQ在直线上方和在直线上两种情况即可得出b的取值范围．
(1)
（1）∵，
令，，
∴
∴，
即B（5，0），
将B（5，0）代入得
，
解得，
即二次函数的解析式为．
(2)
（2）由得，
顶点坐标为（2，9），对称轴方程为．
(3)
（3）如图，过（0，-3）且平行于x轴的直线，
当顶点（2，9）的对称点在直线上，此时，
∴，
当时，此时与的交点为2个，
∴或．
【我思故我在】此题考查了用代入法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴及顶点坐标及二次函数的翻折与交点问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键．
10．已知一次函数的图象与二次函数（，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为．
（1）求出a、b的值，并写出，的表达式；
（2）验证点B的坐标为，并写出当时，x的取值范围；
（3）设，，若时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．
【答案】（1），，，；（2）见解析；；（3）m的最小值为，n的最大值为0.5
【分析】（1）把A点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a与b的值；
（2）画出函数图象，根据函数图象作答；
（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大”时x的取值范围，进而得m的最小值和n的最大值．
【详解】（1）解：（1）把代入得，把代入得，，
∴，；
（2）解方程组得或，
∴，
作，的图象：
由函数图象可知，不在下方时，，
∴当时，x的取值范围为；
（3）∵，
∴当时，u随x的增大而增大；，
∴当时，v随x的增大而增大，
∴当时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，
∵若时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，
∴m的最小值为，n的最大值为0.5.
【我思故我在】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用性质解题．
11．在平面直角坐标系中，已知点，，，抛物线经过，，三点中的两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为（1）中所求抛物线上一点，且，求的取值范围；
(3)一次函数（其中与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是和，且，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线图象上点的坐标特征，即可求得；
（3）根据一次函数和二次函数的性质即可求得．
(1)
解：由题意可知：抛物线经过，两点，
．
解得：，
抛物线的表达式为：；
(2)
解：抛物线，
顶点坐标为，
当时，；当时，，
当时，；
(3)
解：，
抛物线开口向下，与轴的交点为，，
一次函数，
一次函数的图象经过点，
一次函数（其中与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是和，且，
一次函数经过一、三、四象限，
，
．
【我思故我在】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，一次函数、二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数的性质．
12．如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点A的坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，若点在y轴上时，和的夹角为，求线段的长度；
（3）当时，二次函数的最小值为，求的值．
【答案】（1）；（2）或；（3）或．
【分析】（1）根据二次函数的对称性可得点B坐标，代入可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值即可得答案；
（2）根据抛物线解析式可得点C坐标，可得，分点在点上方和下方两种情况，利用∠OBP的三角函数求出OP的长，根据线段的和差关系即可得答案；
（3）分，和三种情况，利用二次函数的性质分别求出函数最小值即可得答案．
【详解】（1）∵点与点关于直线对称，
∴点的坐标为，
代入得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为
（2）如图，
∵二次函数的表达式为，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
若点在点上方，则，
∴，
∴．
若点在点下方，则
，
∴，
∴．
综上，的长为或
（3）若，即，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，，
∴函数的最小值为，
解得：（正值舍去），
若，即，
∴函数的最小值为，
解得：（舍去）
若，函数的最小值为，
解得：（负值舍去），
综上，的值为或．
【我思故我在】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的最值及解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．