专题10 反比例函数的综合训练(数形结合)（教师版）- 2024年中考数学拉分压轴专题重难点突破

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1．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和两点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量x的取值范围
(3)求△AOB面积．
【答案】(1)．
(2)1﹤x﹤3．
(3)4．
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，即可得出反比例函数的表达式；
（2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围；
（3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用可求得的面积．
（1）
解：（1）∵点A在一次函数图象上，
∴n=-1+4=3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为
（2）
结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜3．
（3）
如图，设一次函数与x轴交于点C，

在y=-x+4中，令y=0可求得x=4，
∴C（4，0），即OC=4，
将B（3，m）代入y=-x+4，得m=1，∴点B的坐标为（3，1）．
故△AOB的面积为4．
【我思故我在】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
2．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数的表达式；
（2）观察图象，写出时自变量x的取值范围；
（3）连接OA，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）一次函数的表达式为；（2）或；（3）存在，.
【分析】（1）先求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）构建方程即可解决问题；
【详解】（1）∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A，B的横坐标分别为1，-2，
∴，.
把A，B的坐标代入，得，解得.
∴一次函数的表达式为.
（2）由题中图象可得，时自变量x的取值范围是或.
（3）存在
设点，由题意可得点，
∵，∴，解得.
∴
【我思故我在】反比例函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积的求法，学会构建方程解决问题.
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
【答案】(1)y＝，B(4，2)；(2)P 或(2，4)．
【分析】（1）把A（a，﹣2）代入，可得A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入，可得反比例函数的表达式为，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，），则C（m，m），根据△POC的面积为3，可得方程=3，求得m的值，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）把A（a，﹣2）代入，可得a=﹣4，∴A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入，可得k=8，∴反比例函数的表达式为，∵点B与点A关于原点对称，∴B（4，2）；
（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，设P（m，），则C（m，m），∵△POC的面积为3，∴=3，解得m=或2，∴P（，）或（2，4）．
【我思故我在】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
4．如图，等腰的直角顶点与平面直角坐标系的原点重合，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点．
(1)试猜想与的数量关系，并说明理由；
(2)若，求当点的纵坐标分别为1和2时，等腰的面积；
(3)请直接写出当时，等腰的面积的最小值_________．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，
(3)2
【分析】（1）分别过点，向轴作垂线，垂足为，．由已知可证得．有，．由反比例函数的性质可知，，．从而有．由点位于第二象限，点位于第一象限，可得其关系．
（2）当，点的纵坐标为1时，得点的横坐标为2．点的纵坐标为2时，得点的横坐标为1．勾股定理可得．从而求得等腰的面积；
（3）过点作轴，轴，垂足分别是，．有四边形是矩形，且面积为定值2．当四边形为正方形时，的值最小，且最小值为2．由此可求得的面积的最小值．
（1）
解：．理由如下：
如图，分别过点，向轴作垂线，垂足为，．
∵，
∴．
在与中，，
，，
∴．
∴，．
由反比例函数的性质可知，，．
∴．
又∵点位于第二象限，点位于第一象限，
∴，．
∴．
（2）
解：当，点的纵坐标为1时，得点的横坐标为2．
如图，在中，由勾股定理可得．
∴．
当，点的纵坐标为2时，得点的横坐标为1．
在中，由勾股定理可得．
∴．
（3）
解：过点作轴，轴，垂足分别是，．
则四边形是矩形，且面积为定值2．
所以，
又，
所以当时，OB取得最小值，
则当四边形为正方形时，的值最小，且最小值为2．
∴的面积的最小值为．
【我思故我在】本题考查反比例函数的性质和几何意义，关键在于利用反比例函数的性质和几何意义求得三角形的边长以及其面积与反比例函数的k的关系.
5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用的几何意义，求出反比例函数解析式，再求出两点坐标，待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象，找到双曲线在直线上方时，的取值范围即可；
（3）作关于轴的对称点，连接，交轴与点，求出直线的解析式，再求出点坐标即可．
（1）
解：由得，
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴反比例函数：，
将，代入，
解得，；
（2）
由（1）知，，
结合图象可知的解集为或；
（3）
解：作关于轴的对称点，连接交轴与点，连接，
则
当且仅当，，，三点共线时，取“=”号，有最大值.
设，
代入，，
有，解得，
∴，
取，得，
∴；
故当取得最大值时：．
．
【我思故我在】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，是解题的关键．
6．反比例函数y＝（k＞0）的图像与直线y＝mx+n的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作PA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为．
(1)求反比例函数及直线OP的解析式；
(2)在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；
(3)在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．
【答案】(1)反比例函数：，直线OP：
(2)N或
(3)E（0，5）或（0，-5）或（0，8）或．
【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再通过反比例函数求出点A坐标，点P坐标即可得到OP解析式．
（2）通过△AON与△BOP面积相等列等式即可．
（3）分三类讨论：①当OB=OE=5时；②当BO=BE=5时；③当EB=EO时；分别列方程解题即可．
（1）
解：∵点B（3，4）在反比例函数的图像上，
∴k=3×4=12，
∴反比例函数为，
∵点A在反比例函数上且横坐标为，
∴点A的横坐标为，
∵PBx轴，PAy轴，
∴点P，
设直线OP的解析式为，
代入点P解得，
∴直线OP的解析式为．
（2）
解：∵△AON的面积与△BOP的面积相等，
∴
∴，
∴或．
（3）
∵B（3，4），
∴OB=5，
①当OB=OE=5时，E（0，5）或（0，-5）
②当BO=BE=5时，作BH⊥y轴于H，
∵等腰△OBE
∴OH=HE=4，
∴E（0，8）
③当EB=EO时，作BH⊥y轴于H，
设OE=EB=x，则HE=4-x
在Rt△BHE中，由勾股定理得：，
解得，
∴．
综上，E（0，5）或（0，-5）或（0，8）或．
【我思故我在】本题主要考查反比例函数图像与几何综合题型，会利用几何关系求线段长度并转化为点的坐标是解题关键．
7．如图，已知矩形OABC中，OA＝6，AB＝8，双曲线（k＞0）与矩形两边AB，BC分别交于点D，E，且BD＝2AD．
(1)求k的值和点E的坐标；
(2)点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)k=16；E（8，2）；
(2)存在要求的点P，点P的坐标为（2，0）或（6，0）．
【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；
（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=8-m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．
（1）
解：∵AB=8，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=8，
∴AD=，
又∵OA=6，
∴D（，6），
∵点D在双曲线y=上，
∴k=×6=16；
∵四边形OABC为矩形，
∴AB=OC=8，
∴点E的横坐标为8．
把x=8代入y=中，得y=2，
∴E（8，2）；
（2）
解：假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=8-m．
∵∠APE=90°，
∴∠APO+∠EPC=90°，
又∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴，
∴，
解得：m=2或m=6，
经检验，m=2或m=6都是原方程的解，且符合题意，
∴存在要求的点P，点P的坐标为（2，0）或（6，0）．
【我思故我在】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得△AOP∽△PCE是解此题的关键．
8． 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和.
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围.
【答案】(1) ，；（2）的取值范围是.
【详解】试题分析：（1）把分别代入和，即可求得b、k的值，直接写出对应的解析式即可；（2）把点代入求得m=1，即可得点A的坐标设点P（n，-n+4），，因点是线段上一点，可得1≤n≤3，根据三角形的面积公式，用n表示出的面积为，根据n的取值范围即可求得S的取值范围.
试题解析：
（1），；
（2）∵点在的图象上，∴ ，即可得m=1.
∴A (1，3)
而点是线段上一点，设点P（n，-n+4），则1≤n≤3
∴S=
∵且1≤n≤3
∴当n=2时，=2，当n=1或3时，，
∴的取值范围是.
考点：一次函数与反比例函数的综合题.
9．如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．
【答案】(1)
(2)图见解析部分
(3)证明见解析
【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可；
（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证.
（1）
解：∵反比例函数的图像经过点，
∴当时，，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
如图，直线即为所作；
（3）
证明：如图，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【我思故我在】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识． 解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
10．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上．
(1)求点B的坐标．
(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积．
【答案】(1)点B的坐标为（3，2）
(2)16
【分析】（1）利用A的坐标得到B的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标；
（2）过点B作轴交AC于点D，根据反比例函数的中心对称性得到C的坐标，从而求得直线AC解析式，进而求得D点坐标，然后根据求得即可．
（1）
∵点A的坐标为（1，6），
∵点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到，
∴点B的横坐标为3，
将代入中，得，
∴点B的坐标为（3，2）；
（2）
过点B作轴交AC于点D，如图所示，
由题意，可知点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为（－3，－2），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A、C代入得，，
解得，
∴直线AC的解析式为，
由题意，易得点D的纵坐标为2，
将代入中，得，
∴点D的坐标为（－1，2），
∴．
【我思故我在】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求，两点的坐标及反比例函数的解析式；
(2)请结合图象直接写出的解集；
(3)直线交轴于点，交轴于点，点在轴上，若，求点的坐标．
【答案】(1)点A的坐标为（2，），点B的坐标为（-6，），反比例函数解析式为
(2)或
(3)（0，8）或（0，-8）
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出A、B的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据不等式的解集即为一次函数的函数图象在反比例函数的函数图象上方自变量的取值范围进行求解即可；
（3）分点M在C点上方和在C点下方两种情况分类讨论求解即可．
（1）
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，
∴，
∴，
∴点A的坐标为（2，），点B的坐标为（-6，），
∴，即，
∴反比例函数解析式为；
（2）
解：由函数图象可知不等式的解集即为一次函数的函数图象在反比例函数的函数图象上方自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或；
（3）
解：如图1所示，当点M在C点上方时，
∵，∠CMD+∠CDM=∠OCD，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM，
∵直线交轴于点，交轴于点，
∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（-4，0），
∴OC=3，OD=4，
∴，
∴CM=5，
∴点M的坐标为（0，8）；
如图2所示，当点M在C点下方，即在M1处时，则，
∴，
又∵，
∴，
∴点的坐标为（0，-8）；
综上所述，若，点M的坐标为（0，8）或（0，-8）．
【我思故我在】本题主要考考查了一次函数与反比例函数综合，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质，图象法解不等式，熟练掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．
12．如图1，一次函数AB：y=x+1的图象与反比例函数y=（x＞0）大的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
(1)求a，k的值．
(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC=AD．
①如图2，连接OA，OC，求OAC的面积．
②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)a=4，k=12
(2)①9；②P（3，0）或P（，0）或P（﹣，0）或P（4+，0）或P（4－，0）
【分析】（1）将点A的坐标代入y=x+1求得a，再把点A坐标代入y=求出k；
（2）①设C（m，n），D（z，0），利用中点坐标公式求出m，n，s的坐标，进而求得OAC的面积；
②根据等腰三角形的定义分3种情况，结合勾股定理求解．
【详解】（1）解：将（a，3）代入y=x+1
3=a+1
a=4
将（4，3）代入y=
∴k=12
（2）解：①∵AC=AD，A（4，3），
设C（m，n），D（z，0），
由中点公式知：
=3，=4，
n=6，
将n=6代入y=，
m=2，
∴z=6，
∴OAC的面积=6×6÷2－6×3÷2=9；
②设P（s，0），
当x=0时，y=0+1=1，
∴B（0，1），
∵A（4，3），
∴当PA=PB，
+=+，
解得s=3，
∴P（3，0），
当PB=AB，
+=+，
解得s=±，
∴P（，0）或P（﹣，0）．
当PA=AB，
+=+，
解得=4+，=4－，
∴P（4+，0）或P（4－，0）．
综上可知，P（3，0）或P（，0）或P（﹣，0）或P（4+，0）或P（4－，0）．
【我思故我在】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，等腰三角形的定义，勾股定理，中点坐标公式，解决问题的关键是画出图形，全面分类．
13．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，轴，垂足为D，BD与反比例函数的图象相交于点C，连接AC，AD．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若，设点D的坐标为，求线段BC的长．
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)
【分析】（1）把点代入中求出得到反比例函数解析式；
（2）先利用待定系数法求直线的解析式为，再表示出，，利用三角形面积公式得到，解得，则，然后计算出点坐标，从而得到的长．
（1）
解：把代入得，
∴反比例函数解析式为；
（2）
解：作，延长EA与x轴交于点F，
，
的坐标为
，解得，
，
设直线OB的解析式为，
把代入得，解得，
∴直线OB的解析式为，
当时，，解得，
，
．
【我思故我在】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设反比例函数解析式为常数，，然后把一组对应值代入求出得到反比例函数解析式．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点，．
(1)求、的值；
(2)请直接写出当时，不等式的解集；
(3)过点做轴的平行线交双曲线与点，连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)6
【分析】（1）根据A点坐标即可求出b的值，过C点作轴，交y轴于点E，利用轴，得到，求出CE=6，进而求出C点坐标，将C点坐标代入反比例函数即可求出k值；
（2）根据一次函数和反比例函数的图象即可作答；
（3）根据（1）的结果求出反比例函数的解析式，根据C点坐标求出D点坐标，进而求出CD，则问题得解．
（1）
∵过点A(-4,0)，
∴，解得b=-2，
即直线的解析式为：，
∵B(0,-2)，A(-4,0)，
∴OB=2，OA=4，
过C点作轴，交y轴于点E，如图，
∵AB=2AC，
∴BC=AC+AB=3AC，
∵轴，
∴，即，即CE=6，
∴C点横坐标为-6，
∵C点在直线上，
∴，
∴C点坐标为：(-6,1)，
∵C点在，
∴，
故答案为：b=-2，k=-6；
（2）
根据（1）的结果可知为：
∵在x＜0时，表示一次函数图象在反比例函数图象下方时的x取值范围，
∴根据图象可知的解集为：；
（3）
连接OD、OC，如图，
∵根据（1）的结果k=-6，
∴双曲线的解析式为，
∵C点坐标为(-6,1)，轴，
∴D点的纵坐标为1，
∴将y=1代入，得x=6，
∴D点坐标为(6,1)，
∴CD=6-(-6)=12，
∵轴，
∴△ACD的面积与△OCD的面积相等，
∴，
即△ACD的面积为6．
【我思故我在】本题考查了一次函数、反比例函数的性质、利用函数图象求解不等式的解集的知识、平行的性质以及三角形面积的知识，利用轴，得到，进而求出CE=6是解答本题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
(1)若BC＝4，求点E的坐标；
(2)连接AE，OE，若△AOE的面积为16，求k的值．
【答案】(1)E（6，）
(2)12
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=BC=4，求得A（2，4），得到k=2×4=8，求得点E的坐标为(6，)；
（2）设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a， )，根据梯形的面积公式即可得到答案．
（1）
解：在正方形ABCD中，AB=BC=4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在y＝的图象上，
∴k=2×4=8，
∵OC=OB+BC=6，
∴=6，
将=6代入y＝中，得：＝，
∴点E的坐标为(6，)．
（2）
解：设A（a，2a）（a＞0），则点E(3a， )，
根据反比例函数的几何意义得，
∴，
∴
得，
∴k=．
【我思故我在】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．