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山东省潍坊市潍城区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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1．考试时间120分钟，试卷满分150分；
2．答卷前，请将试卷密封线内和答题纸上的项目填涂清楚；
3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
第Ⅰ卷（选择题共52分）
一、单选题（本大题共8小题，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分）
1. 巨噬细胞是人体的“清道夫”，它是由单核细胞演变而来，一直在为我们的身体做清洁工作，其直径可达0.00008米．将0.00008用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，据此解答即可．
【详解】解：
故选：D．
2. 如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. 可以用表示D. 与表示同一个角
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查角的大小比较及角的概念，根据角的大小比较及角的概念进行逐一判断即可．
【详解】解：A．∵是内部的一条射线而不是角平分线，∴，故本选项不符合题意；
B．可能大于，也可能小于，也有可能等于，故本选项不符合题意；
C．不可以用表示，故本选项不符合题意；
D．与表示同一个角，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 下列方程是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义：含两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．逐一判断各方程的类型，即可解答．
【详解】解：
A．符合二元一次方程的定义，符合题意；
B．未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
C．只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
D．不是整式方程，不是元一次方程，不符合题意；
故选：A．
4. 如图，从旗杆的顶端A处向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为13.8米，则绳子的长度不可能是（ ）
A. 16米B. 15米C. 14米D. 13米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了“垂线段最短”这一知识，根据题意得到，根据垂线段最短即可得到绳子的长度不可能是13米．
【详解】解：由题意得，根据垂线段最短，所以，即米，
所以绳子的长度不可能是13米．
故选：D．
5. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，
，，
∵，
，.
.
故选：C．
6. 小亮在做“化简，并求时的值”一题时，错将看成了，但结果却和正确答案一样．由此可知k的值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于的一元一次方程，难度适中．先算乘法，再合并同类项，根据已知题意得出关于的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：
，
代入或时，结果是一样的，
，
解得：．
故选：B．
7. 某校预安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍．设该校七年级男寄宿生有x人，预安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，则下列方程组正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，列出方程组．
【详解】解：由题意得．
故选：A．
8. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，再根据平行线性质定理求出，再根据折叠的性质及平角定义求解即可．
【详解】解：如图，延长，由折叠的性质，可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
根据折叠的性质得，．
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分）
9. 如图，下列说法正确的是（ ）
A. 与是对顶角B. 与是内错角
C. 与是同位角D. 与是同旁内角
【答案】AD
【解析】
【分析】本题考查了对顶角、内错角、同位角、同旁内角的判断，分别根据对顶角、内错角、同位角、同旁内角的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 与是对顶角，故原选项正确，符合题意；
B. 与不是内错角，故原选项错误，不合题意；
C. 与不是同位角，故原选项错误，不合题意；
D. 与同旁内角，故原选项正确，符合题意．
故选：AD
10. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂，幂的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用同底数幂的乘法，除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，多项式乘多项式，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、 ，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：AD．
11. 解方程组时，下列消元方法正确的是（ ）
A. ，消去x
B. ，消去y
C. ，消去y
D. 由②得：，然后代入①中消去x
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是明确用加减法解方程组要把相同未知数的系数变成相同或互为相反数．根据加减法解方程组的方法和代入消元法解方程组的方法逐项判断即可．
【详解】解：用加减消元法解方程组时，
可以，消去x或，消去y．
用代入消元法解方程组时，
由②得：，然后代入①中消去x．
故选：．
12. 如图，的平分线交于点E，的平分线交于点D，，相交于点F，，且于点G，下列结论中正确的是（ ）
A. B. 平分
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】解：A．∵，
，
又是的角平分线，
，故A正确；
B．无法证明平分，故B错误；
C．，
，
平分，
，
．
∵，且，
，即，
，故C正确；
D．，，
又∵，，
，
，
，故D正确．
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题共98分）
三、填空题（本大题共6小题，共24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角的加减运算，根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案：．
14. 如图，点O在直线上，，平分，则的度数为_____°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键．先根据补角的定义求出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，根据即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：59．
15. 对任意有理数x，等式总成立，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，先运用多项式乘多项式的运算方法求得m，n的值，再代入求解．
【详解】解：
，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，直线，一块三角板（）按如图所示放置．若，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了外角定理和平行线的性质，根据三角形外角和内角的关系，先求出的度数，再利用平行线的性质，求出．
【详解】解：设和点D如下图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若三角形AOB的面积为6，且，则三角形的面积是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了平行线间的距离，三角形的面积计算等知识．根据设之间的距离为h，即可得到，进而得到．作于H，根据得到，即可得到．
【详解】解：∵，
∴设之间的距离为h，
∴，
∴，
∴．
如图，作于H，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3
18. 如图，将一个大长方形分割成5个正方形①②③④⑤和1个小长方形⑥，若，，则大长方形的面积是_______．
【答案】99
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的运用，设正方形③的边长为，得到正方形④的边长为，正方形②的边长为，正方形①的边长为，推出正方形④的边长为，根据正方形特点建立一元一次方程求解出，得到长方形的长和宽，即可解题．
【详解】解：设正方形③的边长为，
，，
正方形④的边长为，正方形②的边长为，正方形①的边长为，
正方形④的边长为，
即，解得，
，，
大长方形的面积是，
故答案为：99．
四、解答题（本题共7小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 计算下列各题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以单项式、多项式乘以多项式等知识．
（1）先进行乘方运算，再根据单项式乘以单项式的法则计算即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：．
20. 解下列方程组：
（1），
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法等知识．
（1）利用加减法即可求解；
（2）先化简方程组得到，再利用加减法即可求解．
【小问1详解】
解：，
①+②得：，
解得：，
将代入①得：
解得：，
所以 ；
【小问2详解】
解：化简方程组得，
①×2得：③，
③-②得，
将代入①得：，
解得，
所以．
21. 按下列要求画图并填空．
如图，P是的边上一点，
（1）过点P作射线的垂线，垂足为H；
（2）过点P作射线的垂线，交于点C；
（3）过点P作直线 （点D在点P的右侧）；
（4）与的数量关系是_________．
（5）线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）互余
（5）；垂线段最短
【解析】
【分析】（1）用直角三角板画垂线即可；
（2）用直角三角板画垂线即可；
（3）用直尺和三角板画平行线即可；
（4）根据余角定义进行判断即可；
（5）根据垂线段最短进行判断即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的垂线；
【小问2详解】
解：如图，即为所求作的垂线；
【小问3详解】
解：如图，即为所求作的平行线；
【小问4详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴与互余；
【小问5详解】
解：线段，，这三条线段大小关系是，依据是垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了画垂线和平行线，垂线段最短，余角的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．
22. 我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；
；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
（1）已知，请把a，b，c用“”连接起来；
（2）若，求的值；
（3）化简：．
【答案】（1）
（2）200 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘方，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可；
（2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可；
（3）逆用积的乘方运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵
∴
【小问2详解】
解：，
∵，
∴原式；
【小问3详解】
解：
．
23. 如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D．
（1）当时，求的度数；
（2）试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
（1）由题意得出，，根据即可解决问题；
（2）利用角平分线定义得到，根据平行线的性质得到即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨．某物流公司现有货物35吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨?
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨
（2）见解析 （3）租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，理解题意，列方程是解决问题的关键．
（1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨” 列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求可得，求出次方程的整数解即可得到答案；
（3）根据（2）所求，分别计算出三种方案的运费即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
根据题意，得，
解得，经检验，方程组的解符合题意．
答：1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨．
【小问2详解】
由（1），得，
∴，∵a，b都是正整数，∴，或，或，
∴有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
【小问3详解】
∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，
∴方案一需租金：（元）；
方案二需租金：（元）；
方案三需租金：（元）．
∵
∴最省钱的租车方案是方案三
答：租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元．
25. 已知，直线，点P为平面上一点，连接与．
（1）如图1，点P在直线，之间，当时，求的度数；
（2）如图2，点P在直线，之间，与角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点P落在直线的下方，与的角平分线相交于点K，与有何数量关系?请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
（1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线定义，得出，进而得到；
（3）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．
【小问1详解】
解：如图1，过P作，
∵，
∴，
∴，
∵
∴．
【小问2详解】
解：．理由如下：
如图2，过K作，
∵，
∴，
∴，
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：．理由如下：
如图3，过K作，
∵，
∴，
∴，
∴，
过P作
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，
∴，
∴．
1．考试时间120分钟，试卷满分150分；
2．答卷前，请将试卷密封线内和答题纸上的项目填涂清楚；
3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
第Ⅰ卷（选择题共52分）
一、单选题（本大题共8小题，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分）
1. 巨噬细胞是人体的“清道夫”，它是由单核细胞演变而来，一直在为我们的身体做清洁工作，其直径可达0.00008米．将0.00008用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，据此解答即可．
【详解】解：
故选：D．
2. 如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. 可以用表示D. 与表示同一个角
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查角的大小比较及角的概念，根据角的大小比较及角的概念进行逐一判断即可．
【详解】解：A．∵是内部的一条射线而不是角平分线，∴，故本选项不符合题意；
B．可能大于，也可能小于，也有可能等于，故本选项不符合题意；
C．不可以用表示，故本选项不符合题意；
D．与表示同一个角，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 下列方程是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义：含两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．逐一判断各方程的类型，即可解答．
【详解】解：
A．符合二元一次方程的定义，符合题意；
B．未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
C．只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
D．不是整式方程，不是元一次方程，不符合题意；
故选：A．
4. 如图，从旗杆的顶端A处向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为13.8米，则绳子的长度不可能是（ ）
A. 16米B. 15米C. 14米D. 13米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了“垂线段最短”这一知识，根据题意得到，根据垂线段最短即可得到绳子的长度不可能是13米．
【详解】解：由题意得，根据垂线段最短，所以，即米，
所以绳子的长度不可能是13米．
故选：D．
5. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，
，，
∵，
，.
.
故选：C．
6. 小亮在做“化简，并求时的值”一题时，错将看成了，但结果却和正确答案一样．由此可知k的值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于的一元一次方程，难度适中．先算乘法，再合并同类项，根据已知题意得出关于的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：
，
代入或时，结果是一样的，
，
解得：．
故选：B．
7. 某校预安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍．设该校七年级男寄宿生有x人，预安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，则下列方程组正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，列出方程组．
【详解】解：由题意得．
故选：A．
8. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，再根据平行线性质定理求出，再根据折叠的性质及平角定义求解即可．
【详解】解：如图，延长，由折叠的性质，可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
根据折叠的性质得，．
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分）
9. 如图，下列说法正确的是（ ）
A. 与是对顶角B. 与是内错角
C. 与是同位角D. 与是同旁内角
【答案】AD
【解析】
【分析】本题考查了对顶角、内错角、同位角、同旁内角的判断，分别根据对顶角、内错角、同位角、同旁内角的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 与是对顶角，故原选项正确，符合题意；
B. 与不是内错角，故原选项错误，不合题意；
C. 与不是同位角，故原选项错误，不合题意；
D. 与同旁内角，故原选项正确，符合题意．
故选：AD
10. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂，幂的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用同底数幂的乘法，除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，多项式乘多项式，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、 ，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：AD．
11. 解方程组时，下列消元方法正确的是（ ）
A. ，消去x
B. ，消去y
C. ，消去y
D. 由②得：，然后代入①中消去x
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是明确用加减法解方程组要把相同未知数的系数变成相同或互为相反数．根据加减法解方程组的方法和代入消元法解方程组的方法逐项判断即可．
【详解】解：用加减消元法解方程组时，
可以，消去x或，消去y．
用代入消元法解方程组时，
由②得：，然后代入①中消去x．
故选：．
12. 如图，的平分线交于点E，的平分线交于点D，，相交于点F，，且于点G，下列结论中正确的是（ ）
A. B. 平分
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】解：A．∵，
，
又是的角平分线，
，故A正确；
B．无法证明平分，故B错误；
C．，
，
平分，
，
．
∵，且，
，即，
，故C正确；
D．，，
又∵，，
，
，
，故D正确．
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题共98分）
三、填空题（本大题共6小题，共24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角的加减运算，根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案：．
14. 如图，点O在直线上，，平分，则的度数为_____°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键．先根据补角的定义求出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，根据即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：59．
15. 对任意有理数x，等式总成立，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，先运用多项式乘多项式的运算方法求得m，n的值，再代入求解．
【详解】解：
，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，直线，一块三角板（）按如图所示放置．若，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了外角定理和平行线的性质，根据三角形外角和内角的关系，先求出的度数，再利用平行线的性质，求出．
【详解】解：设和点D如下图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若三角形AOB的面积为6，且，则三角形的面积是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了平行线间的距离，三角形的面积计算等知识．根据设之间的距离为h，即可得到，进而得到．作于H，根据得到，即可得到．
【详解】解：∵，
∴设之间的距离为h，
∴，
∴，
∴．
如图，作于H，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3
18. 如图，将一个大长方形分割成5个正方形①②③④⑤和1个小长方形⑥，若，，则大长方形的面积是_______．
【答案】99
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的运用，设正方形③的边长为，得到正方形④的边长为，正方形②的边长为，正方形①的边长为，推出正方形④的边长为，根据正方形特点建立一元一次方程求解出，得到长方形的长和宽，即可解题．
【详解】解：设正方形③的边长为，
，，
正方形④的边长为，正方形②的边长为，正方形①的边长为，
正方形④的边长为，
即，解得，
，，
大长方形的面积是，
故答案为：99．
四、解答题（本题共7小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 计算下列各题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以单项式、多项式乘以多项式等知识．
（1）先进行乘方运算，再根据单项式乘以单项式的法则计算即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：．
20. 解下列方程组：
（1），
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法等知识．
（1）利用加减法即可求解；
（2）先化简方程组得到，再利用加减法即可求解．
【小问1详解】
解：，
①+②得：，
解得：，
将代入①得：
解得：，
所以 ；
【小问2详解】
解：化简方程组得，
①×2得：③，
③-②得，
将代入①得：，
解得，
所以．
21. 按下列要求画图并填空．
如图，P是的边上一点，
（1）过点P作射线的垂线，垂足为H；
（2）过点P作射线的垂线，交于点C；
（3）过点P作直线 （点D在点P的右侧）；
（4）与的数量关系是_________．
（5）线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）互余
（5）；垂线段最短
【解析】
【分析】（1）用直角三角板画垂线即可；
（2）用直角三角板画垂线即可；
（3）用直尺和三角板画平行线即可；
（4）根据余角定义进行判断即可；
（5）根据垂线段最短进行判断即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的垂线；
【小问2详解】
解：如图，即为所求作的垂线；
【小问3详解】
解：如图，即为所求作的平行线；
【小问4详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴与互余；
【小问5详解】
解：线段，，这三条线段大小关系是，依据是垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了画垂线和平行线，垂线段最短，余角的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．
22. 我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；
；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
（1）已知，请把a，b，c用“”连接起来；
（2）若，求的值；
（3）化简：．
【答案】（1）
（2）200 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘方，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可；
（2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可；
（3）逆用积的乘方运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵
∴
【小问2详解】
解：，
∵，
∴原式；
【小问3详解】
解：
．
23. 如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D．
（1）当时，求的度数；
（2）试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
（1）由题意得出，，根据即可解决问题；
（2）利用角平分线定义得到，根据平行线的性质得到即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨．某物流公司现有货物35吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨?
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨
（2）见解析 （3）租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，理解题意，列方程是解决问题的关键．
（1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨” 列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求可得，求出次方程的整数解即可得到答案；
（3）根据（2）所求，分别计算出三种方案的运费即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
根据题意，得，
解得，经检验，方程组的解符合题意．
答：1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨．
【小问2详解】
由（1），得，
∴，∵a，b都是正整数，∴，或，或，
∴有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
【小问3详解】
∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，
∴方案一需租金：（元）；
方案二需租金：（元）；
方案三需租金：（元）．
∵
∴最省钱的租车方案是方案三
答：租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元．
25. 已知，直线，点P为平面上一点，连接与．
（1）如图1，点P在直线，之间，当时，求的度数；
（2）如图2，点P在直线，之间，与角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点P落在直线的下方，与的角平分线相交于点K，与有何数量关系?请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
（1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线定义，得出，进而得到；
（3）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．
【小问1详解】
解：如图1，过P作，
∵，
∴，
∴，
∵
∴．
【小问2详解】
解：．理由如下：
如图2，过K作，
∵，
∴，
∴，
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：．理由如下：
如图3，过K作，
∵，
∴，
∴，
∴，
过P作
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，
∴，
∴．
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