江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高二下学期3月阶段调研考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高二下学期3月阶段调研考试数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
2. 已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ）
A. B.
C D.
4. 若函数在处有极小值，则（ ）
A. B. C. 或D.
5. 在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
6. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
7. 函数，若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 在正方体中，下列命题是真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D. 正方体的体积为
10. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 设函数，若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
11. 已知直线与函数，的图象分别相交于两点.设为曲线在点处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的可能取值为（ ）
A. B. C. eD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为________.
13. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是______．
14. 如图，正方形与正方形的中心重合，边长分别为3和1，，，，分别为，，，的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿，，，折起，使，，，重合于P点，则四棱锥的高为________，若直四棱柱内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面内，则该直四棱柱体积的最大值为________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，.
（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.
16. 已知函数.
（1）求曲线过点处的切线；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
17. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.

（1）求证：共面；
（2）当为何值时，；
（3）若，且，求的长.
18 已知函数．
（1）若是函数的极值点，求的值，并求函数的极值；
（2）若函数在处取得极大值，求取值范围.
19 已知函数，其中．
（1）当时，求的单调区间；
（2）求当时，函数在区间上最小值；
（3）若函数有两个不同的零点.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
常州市联盟学校2023-2024学年度第二学期阶段调研
高二年级数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的极限定义计算可得.
【详解】由导数的定义可知，.
故选：D.
2. 已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，
又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴，
解得 x=，
故选A．
点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．
3. 若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可得的正负可判断的单调性从而得到答案.
【详解】由图象可得，
当时，由得，在上单调递增，
当时，由得，在上单调递减，
当时，由得，上单调递减，
综上，函数 的增区间为.
故选：B.
4. 若函数在处有极小值，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求得c，然后验证即可.
【详解】，
因为在处有极小值，
所以，解得或，
当时，令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时，在处有极大值，不满足题意.
当时，令，解得或，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时，在处有极小值，满足题意.
故选：A
5. 在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合重心的性质以及空间向量的线性运算求解.
【详解】因为G是的重心，
则，
由，得，
所以.
故选：C.
6. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解.
【详解】因为存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
令，则，令，解得(负值舍去)，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，故，
故选：A.
7. 函数，若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数研究函数的图象，然后作出函数的图象，结合图形可解.
【详解】令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
所以，当时，取得极小值，
再结合二次函数图象，作出的图象如下图：
因为函数有3个零点，
所以函数的图象与直线有3个交点，
由图可知，，即的取值范围为.
故选：C
8. 函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 在正方体中，下列命题是真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D. 正方体的体积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设正方体的棱长为，
A选项，
，A选项正确；
B选项，
，B选项正确；
C选项，由于三角形等边三角形，所以，C选项正确；
D选项，，所以D选项错误.
故选：ABC
10. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 设函数，若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可.
【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误；
对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确；
对于选项C: ,由，
，解得，故选项C正确；
对于选项D:结合题意可得：,，
解得，故选项D正确.
故选：BCD.
11. 已知直线与函数，的图象分别相交于两点.设为曲线在点处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的可能取值为（ ）
A. B. C. eD.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用导数求得切线的斜率，从而求得.
【详解】由于，所以，
由得，，即，
由得，，即，
所以，则，B选项错误.
设，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
所以，
所以AD选项正确，C选项错误.
故选：AD
【点睛】利用导数求切线的方程，关键点在于切点和斜率，利用函数的解析式可以求得切点坐标，利用导数可以求得切线的斜率.利用导数研究函数的值域，先求函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调区间，根据极值和区间端点的函数值来求得函数的值域.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】设，根据向量垂直和平行的坐标表示列方程组求解可得.
【详解】设，
则，
因为共线，故存在实数使得，即
所以，解得，
所以点H的坐标为.
故答案为：
13. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】对于 求导得在 上只有一个零点，转化为在 上只有一个零点，令在上，求解的范围，确定的最小值.
【详解】由在上有且仅有一个极值点，定义域为，
所以，在 上只有一个零点，则
，即在 上只有一个零点，令，，
则，，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以，
所以，在 上只有一个变号的零点，
即函数在 上有且仅有一个极值点.
故答案为：
14. 如图，正方形与正方形的中心重合，边长分别为3和1，，，，分别为，，，的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿，，，折起，使，，，重合于P点，则四棱锥的高为________，若直四棱柱内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面内，则该直四棱柱体积的最大值为________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】作出图形，可知四棱锥为正四棱锥，取的中点，连接、交于点，连接、、，则四棱锥的高为，直四棱柱内接于该四棱锥，则底面为正方形，作出截面的平面图，设，计算得出四棱柱体积的函数关系式，运用导数研究可得其体积最大值.
【详解】由题意可知，四棱锥为正四棱锥，边上的高为，如下图所示：

取的中点，连接、交于点，连接、、，
则为、的中点，由正四棱锥的几何性质可知，平面，
因为、分别为、的中点，则且，
因为平面，则，所以，，
在中，得,
作出四棱柱内接于该四棱锥在平面上的平面图如图所示：

设,，则，
因为，所以，解得，
所以直四棱柱的体积,
所以，
当时，当时，
所以函数在上单调递增，上单调递减，
所以当时体积最大，最大为.
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，.
（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.
【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）
【解析】
【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可.
(Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.
【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.
且.
因为向量与垂直,
所以
即.
所以实数和的值分别为和.
(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.
因为,
所以
所以实数的值为.
【点睛】本题主要考查了空间向量基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.
16. 已知函数.
（1）求曲线过点处的切线；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程；
（2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值.
【小问1详解】
由导数公式得，
设切点坐标为，设切线方程为：
由题意可得： ，
所以或，
从而切线方程为或.
【小问2详解】
由(1)可得：曲线在点处的切线方程为,
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得， 从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意，所以.
17. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.

（1）求证：共面；
（2）当为何值时，；
（3）若，且，求的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用向量证明，然后可证；
（2）以为基底表示出，然后根据求解可得；
（3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可.
【小问1详解】
在平行六面体中，连接，
因为，
所以，
，
所以，即且，
所以四边形为平行四边形，即共面.
【小问2详解】
当时，，理由如下，
设，且与、与、与的夹角均为，
因为底面为菱形，所以，
， ，
若，则，
即，
即，
解得或舍去，
所以时，
【小问3详解】
，
，
，

所以 ，所以的长为
18. 已知函数．
（1）若是函数的极值点，求的值，并求函数的极值；
（2）若函数在处取得极大值，求的取值范围.
【答案】（1），极大值为，极小值为.
（2）
【解析】
【分析】（1）由求得，进而求得的极值.
（2）先求得，然后对进行分类讨论，根据在处取得极大值进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
定义域为，，
因为是函数的极值点，所以.故有，所以.
当时，，所以，
若，则或，
所以函数的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
定义域为，，
①当时，，令得，
所以：单调递增区间为；
令得，所以单调递减区间为；
所以在取极大值，符合题意.
②当时，由，得：，，
所以：在处取得极大值，所以：符合题意．
③当时，由，得：，，
（i）当即时，，变化情况如下表：
所以：在处取得极小值，不合题意．
（ⅱ）当即时，在上恒成立，
所以：在上单调递增，无极值点．
（iii）当，即时，，变化情况如下表：
所以：在处取得极大值，所以：合题意．
综上可得：的取值范围是．
【点睛】思路点睛：求解函数在闭区间上的极值的步骤（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间确定极值点，从而求得极值.
19. 已知函数，其中．
（1）当时，求的单调区间；
（2）求当时，函数在区间上的最小值；
（3）若函数有两个不同的零点.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
【答案】（1）增区间为，减区间为
（2）
（3）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）利用导数分类讨论函数在区间的单调性，由单调性求最小值；
（3）由函数有两个不同的零点，构造函数利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数a的取值范围；把零点代入函数解析式，证明转化为证明，通过构造函数利用导数求最值的方法证明.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
若，则；若，则；
所以的增区间为，减区间为
【小问2详解】
函数的定义域是，
．
当时，令则或(舍)．
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是．
综上，．
【小问3详解】
①有两个不同的零点即有两个不同实根，
得，令，，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图像如图所示：
，所以实数a的取值范围为．
②当时，有两个不同的零点．
两根满足，，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得，不妨设，要证：，
只需证：，即证，
设，令，则，
函数在上单调递增，且．
，即，．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
1
＋
0
－
0
＋
递增
极大值
递减
极小值
递增
0
－
0
+
0
－
减
极小值
增
极大值
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0
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0
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0
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极大值
减
极小值
增
+
－
+
增
极大值
减
极小值
增