山东省淄博市高新区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市高新区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．瓜熟蒂落D．水落石出
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补D．互补的角是邻补角
4．二元一次方程的非负整数解的情况是（ ）
A．无解B．有且只有一组解C．有两组解D．有无数组解
5．光从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，用直线表示一条河流的两岸，且．现有一束光线从空气射向水里，是折射光线，D为射线延长线上一点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是方程的解，则的值为（ ）
A．15B．C．20D．
7．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在等腰中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
9．对任意实数定义一种新运算T，即：（其中均为非零常数）．例如：．已知，下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有3组整数解．正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．如图，在Rt中，，点D在边上，，点C为的中点，点P为边上的动点，若使四边形周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 ．
12．随州市2024年中考体育开设的考试项目有：长跑、篮（足）球绕杆、立定跳远、一分钟跳绳、仰卧起坐（女）和引体向上（男），其中前两项必选，后三项自愿进行三选二，王林（男）随机选择两个项目进行加强训练，则恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率是 ．
13．如图，直线和直线相交于，则二元一次方程组的解为 ．

14．某校初二年级组织数学编题比赛，其中同学甲创编了如下问题：若3人坐一辆车，则8人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？如果假设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，题中用“……”表示的缺失条件应补充为 ．
15．如果三角形两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，点B，点C为直线l上的两点，点A在直线l外，且．若点P是l上一点，且是“准直角三角形”，则 ．
三、解答题（本题共8小题，共90分，请把解答过程写在答题纸上）
16．解方程组：
(1)
(2)
17．如图，点D在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
18．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)不解关于的方程组，直接写出方程组的解．
19．命题：全等三角形的对应边上的高相等．
(1)写成“如果……，那么……”： ；
(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程．

20．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值．
21．已知：在中，．
(1)尺规作图：求作内部的一点P，使得点P到的距离等于到的距离，且点P在边的高线上（不写作法，但要保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，连接交于点D，若，求的面积．
22．某校准备组织七年级400名学生参加公园，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金400元，大客车每辆需租金760元，选出最省钱的方案，并求出最少租金．
23．在四边形中，．
(1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长；
(2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1的整式方程是二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．据此逐一判断即可．
【解答】解：A、有三个未知数，所以A选项不合题意；
B、是二元一次方程组，所以B选项符合题意；
C、有两个未知数，但的次数为2，所以C选项不符合题意；
D、有分式方程，所以D选项不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
【解答】解：A．守株待兔，是随机事件，故A符合题意；
B．水中捞月，是不可能事件，故B不符合题意；
C．瓜熟蒂落，是必然事件，故C不符合题意；
D．水落石出，是必然事件，故D不符合题意；
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了命题与定理，平行线的性质，对顶角的定义，领补角的定义，线段的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据线段公理，平行线的性质，对顶角的定义，邻补角的定义进行判断．
【解答】根据“两点之间，线段最短”，判断A正确；
根据“对顶角相等，相等的不一定是对顶角”，判断B错误；
根据“两直线平行，同旁内角互补”，判断C错误；
根据“有一条边共线且互补的两个角叫邻补角”，判断D错误．
故答案为：A ．
4．C
【分析】本题考查二元一次方程的解，根据，求出同时不为负数的情况，再结合非负整数解即可得出结果．
【解答】解：，
当时，，
，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
二元一次方程的非负整数解为，或．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．利用平行线的性质和邻补角的定义求解即可．
【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了方程的解，解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程的解的意义，正确计算．先将代入得到，两式相加得，两式相减得，代入计算即可．
【解答】解：将代入得，
两式相加得，
两式相减得，
，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，根据勾股定理，求出．
【解答】解：如图，过点作，
，
过格点，
连接，
，
，
，
，
，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质；根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质判断①；根据题意可得，但，即可判断②，根据垂直平分线的性质即可判断③；根据即可判断④．
【解答】解：①是的角平分线，，
，选项①正确；
②，，
．
，
．
，选项②正确．
③，，
垂直平分，选项③正确．
④，，
．
又，
，选项④正确．
综上，①②③④正确．
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．首先根据题意可得，求解即可判断结论①；由可得，结合即可判断结论②；由可得，整理可得，结合均为整数可知，进一步求得的值，即可判断结论③．
【解答】解：根据题意，，
∴，
解得，故结论①正确；
∵，即，
∵，
∴，故结论②正确；
∵，即，
∵，
∴，
又∵均为整数，
∴，
∴或，
∴满足条件的值为或，故结论③错误．
故选：C．
10．D
【分析】本题主要考查了轴对称最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，正确找出点的位置是解题的关键；作点关于的对称点，连接，若使四边形周长最小，只要最小，当、、三点共线时，最小，设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，利用待定系数法求出直线和的解析式，求出交点即可．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，
，，
，
，
点关于的对称点，
，，
若使四边形周长最小，只要最小，
当、、三点共线时，最小，
设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，
点在轴上，且，
，
，
设直线的函数解析式为：，
，
，
，
又直线，
，
解得，
点，
故选：D．
11．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
【分析】每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可.
【解答】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
12．
【分析】本题考查用列举法求概率．根据三个项目选两个可知一共有3种情况，故概率为．
【解答】解：王林（男）在后三项选择两项时一共有以下3种情况：立定跳远、一分钟跳绳；立定跳远、引体向上（男）；一分钟跳绳、引体向上（男），
故恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率是．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解，首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
【解答】解：直线经过点，
，
，
二元一次方程组的解为，
故答案为：．
14．4人坐一辆车，则有一辆空车
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键；根据列出的方程，来反推题目条件即可求解．
【解答】解：设有x辆车，人数为y，
第二个方程右边是，说明车有一辆是空的，坐满人的车是)辆，说明每辆车坐4人；
故补充的条件为：4人坐一辆车，则有一辆空车；
故答案为：4人坐一辆车，则有一辆空车．
15．或或或
【分析】本题考查三角形内角和定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法．分为四种情况，一是点在点左侧，是“准直角三角形”，且；二是点在点左侧，是“准直角三角形”，且；三是点在点右侧，是“准直角三角形”，且；四是点在点右侧，是“准直角三角形”，且，画出图形，分别求出、、、的度数即可．
【解答】解：如图，若点在点左侧，是“准直角三角形”，且，
，
，
，
；
若点在点左侧，是“准直角三角形”，且，
，
，
；
若点在点右侧，是“准直角三角形”，且，
，
，
，
；
若点在点右侧，是“准直角三角形”，且，
，
，
，
综上所述，的度数为或或或．
故答案为：或或或．
16．(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．
【解答】（1）解：
，得：，
解得，
把代入方程①，得：，
这个方程组的解是：；
（2）解：
整理得，
③＋④，得：，
解得，
把代入方程③，得：，
这个方程组的解是：．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、外角的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型；
（1）根据推出即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，，即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
（2）解：，
，
，
18．(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，
（1）将点代入，求出，得到．把、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积；
（3）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【解答】（1）解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
，，
，
把和代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式是；
（2）解：由（1）知一次函数解析式是，
令，得，解得，
点，
，
，
的面积；
（3）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
方程的解为．
19．(1)如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等
(2)见解析
【分析】（1）根据命题“如果……，那么……”的结构特征直接改写即可得到答案；
（2）已知：如图，，于， 于．求证：．利用已知，根据两个三角形全等的判定与性质，由即可得到结论．
【解答】（1）解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们对应边上的高相等；
（2）解：已知：如图，，于， 于．
求证：．
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，，
在和中
∴，
∴．
【点拨】本题第一问考查将命题按照“如果……，那么……”结构改写，掌握定义即可解决问题；第二问考查两个三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
20．（1）；（2）n＝6
【分析】（1）取出黑球的概率＝1﹣取出红球的概率；
（2）首先根据红球的个数和摸出红球的概率求得黑球的个数，然后根据概率公式列式求解即可．
【解答】解：（1）P（取出黑球）＝1﹣P（取出红球）＝1﹣＝；
故答案为：；
（2）设袋子中原有黑球x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝18，
经检验x＝18是原方程的根，
所以黑球有18个，
∵又放入了n个黑球，
根据题意得：，
解得：n＝6．
经检验：符合题意
【点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图-基本作图，作已知角的平分线及过直线外一点作已知直线的垂线，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作的平分线，过点C作直线的垂线，与射线交于点P即可；
（2）根据即可求解．
【解答】（1）解∶如下图所示∶
作的平分线，过点C作直线的垂线，与射线交于点P，点P即为所求作的点．
（2）解：如图，
，，
，
，
22．（1）每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生．（2）方案3租金最少，最少租金为6880元．
【分析】（1）每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；
（2）①设租用小客车m辆，大客车n辆，由题意得：20×小客车的数量+45×大客车的数量＝400人，根据等量关系列出方程，求出非负整数解即可；
②分别计算出每种租车方案的钱数，进行比较即可．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生
根据题意，得，
解得，
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生．
（2）①根据题意，得20m+45n＝400，
∴n＝，
∵m、n均为非负数，
∴,,.
∴租车方案有3种．方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客车2辆，大客车8辆．
②方案1租金：400×20＝8000（元）
方案2租金：400×11+760×4＝7440（元）
方案3租金：400×2+760×8＝6880（元）
∵8000＞7440＞6880
∴方案3租金最少，最少租金为6880元．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
23．(1)5
(2)或
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案；
（2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时．
【解答】（1）解：设，则．
根据图形折叠的性质可知
，．
在中，．
则．
在中，，
即．
解得．
即；
（2）解：①如图所示，当点在线段上时．
设，则．
根据图形折叠的性质可知
，，．
在中
．
则．
在中
，即
解得．
即．
②如图所示，当点在线段的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知．
∵，
∴．
∴．
∴．
在中
．
∴．
综上所述，或．