山东省淄博市沂源县2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、准考证号、考场/座位号填写在答题卡和试卷规定位置，并涂写考试号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列式子中，是二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如（）”可进行求解．
【详解】解：由题意可知是二次根式；
故选：D．
2. 下列各数中，是方程的解的是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D．，符合题意．
故选：C．
4. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的性质与化简以及相反数，直接利用二次根式的性质化简，再利用相反数的定义得出答案，正确掌握相反数的定义是解题关键．
【详解】解：∵，的相反数是，
∴的相反数是，
故选：A．
5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得且，
故选：A．
6. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A. 有一个内角等于B. 对角线互相平分
C. 邻边相等D. 对角线相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形和菱形的性质进行逐一判断即可．
【详解】A、矩形具有，菱形不一定具有，故此项错误；
B、矩形和菱形都具有，故此项错误；
C、矩形不一定具有，菱形具有，故此项正确；
D、矩形具有，菱形不一定具有，故此项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，掌握性质是解题的关键．
7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）

A. 当，平行四边形是矩形
B. 当，平行四边形矩形
C. 当，平行四边形是菱形
D. 当，平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查菱形，矩形的判定，根据菱形，矩形的判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
当，平行四边形是矩形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是矩形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是菱形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是菱形，得不到正方形，错误，符合题意，
故选：D．
8. 如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为（ ）．
A. 6B. 16C. 26D. 46
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解．
【详解】解：∵正方形面积为，
∴正方形边长为，
设正方形边长为x，则，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
整理得：，
∴，解得：，
∴正方形面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．．
9. 如图，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则下列说法一定正确的是（ ）

A. B.
C. D. 四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本作图的意义判断即可．
【详解】根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，
故，
故选C．
【点睛】本题考查了基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的基本作图及其意义是解题的关键．
10. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题关键．由正方形的性质可求出，当四边形为菱形，且时，连接交于，可得是等边三角形，则，进而得到，由勾股定理可求出，进而可求出．
【详解】解：如图1，四边形是正方形，，
，
在图2中，连接交于，
，，
是等边三角形，则，
四边形是菱形，
，，，
，
，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．
11. 如图，在菱形中，，，则对角线______．

【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合题意求得，根据等边三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，根据菱形的性质和平行线的性质证得是等边三角形是解答本题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：_____．
【答案】（4，2）．
【解析】
【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果.
【详解】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，
则BD′=OD=2，
∴点D坐标（4，6）；
当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，
∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），
故答案为（4，2）．
【点睛】平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.
定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.
13. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则的值为 _____．
【答案】或
【解析】
【分析】因式分解法解出一元二次方程，根据一个根为另一个根的3倍分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：，
∴，
当时，即：，
∴，
∴；
当时，即：，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，以及利用整体思想求代数式的值．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
14. 若实数满足，则应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，分当时，当时，当时，三种情况先化简二次根式，再根据题意求解即可．
【详解】解：当，
，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，，
故答案为：．
15. 如图，已知菱形的边长为3，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，使得点恰好落在边的中点处，则________．
【答案】2.1
【解析】
【分析】过点作于点，由菱形的性质和已知条件得出，再设，则，，，，在中，依据勾股定理得到方程，求得的值即可得到的长．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
，四边形是菱形，
，
，
设，则，，，
，
，
中，，
解得：，
，
故答案为：2.1．
【点睛】本题考查了菱形性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；在直角三角形中运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；
（2）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 公式法解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案．
详解】解：∵，
∴，
，
，
解得．
18. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
19. 关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
证明：关于x的一元二次方程，
∴
∵
，
∴此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
∵
∵
∴
解得:，
∵方程有一个根小于1，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
20. 已知：E，F是正方形的对角线上的两点，且，求证：四边形是菱形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，由正方形性质得到，，进而得到，根据菱形的判定即可证得四边形是菱形．
【详解】解：连接，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定，能够证得四边形是菱形是解决问题的关键．
21. 如图，在矩形中，M是边的中点，P是边上的一点，连接，且，，垂足分别为E、F．

（1）若，，求的值；
（2）当矩形的长与宽满足什么数量关系时，四边形是矩形？证明你的结论．
【答案】（1），见解析
（2）当时，四边形是矩形，见解析
【解析】
【分析】（1）先证，可得，再证明得到，可得，即可求解；
（2）当时，四边形是矩形，根据矩形性质和M是边的中点，可得，从而得到，再根据，，
即可证明．
小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，M是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，M是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由①②可得：；
【小问2详解】
当时，四边形是矩形，
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，M是边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
即当时，四边形是矩形；
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
22. 如图1，四边形ABCD是正方形，AB=4，点G在BC边上，BG=3，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
(1)求BF和DE的长；
(2)如图2，连接DF、CE，探究并证明线段DF与CE的数量关系与位置关系．
【答案】（1）；（2）DF=CE，DF⊥CE．理由见解析；
【解析】
【详解】分析：（1）如图1，先利用勾股定理计算出AG==5，再利用面积法和勾股定理计算出 然后证明△ABF≌△DAE，得到DE=AF=；
（2）作CH⊥DE于H，如图2，先利用△ABF≌△DAE,得到则与（1）的证明方法一样可得△CDH≌△DAE，则于是可判断EH=EF，接着证明△DEF≌△CHE，所以DF=CE，∠EDF=∠HCE，然后利用三角形内角和得到从而判断DF⊥CE.
详解：(1)如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴
在Rt△ABG中,AG==5，
∵
∴
∴AF===，
∵
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中

∴△ABF≌△DAE，
∴DE=AF=；
(2)DF=CE，DF⊥CE.理由如下：
作CH⊥DE于H，如图2，
∵△ABF≌△DAE,
∴
∴
与(1)的证明方法一样可得△CDH≌△DAE，
∴
∴
∴EH=EF，
在△DEF和△CHE中

∴△DEF≌△CHE，
∴DF=CE，∠EDF=∠HCE，
∵∠1=∠2，
∴
∴DF⊥CE.
点睛：考查正方形的性质, 全等三角形的判定与性质，属于综合题，难度较大.对学生综合能力要求较高.
23. 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
【答案】解：（1）AE∥BF，QE=QF;（2）QE=QF，证明见解析；（3）成立，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可．
（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】（1）如图，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ．
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．
在△BFQ和△AEQ中，，
∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．
∴QE=QF．
（2）QE=QF，证明如下：
如图，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ．
在△FBQ和△DAQ中，
∵，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）．
∴QF=QD．
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角△DEF斜边上的中线．
∴QE=QF=QD，即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立．证明如下：
如图，延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D．
在△AQE和△BQD中，
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD．
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线．
∴QE=QF．