山东省淄博市周村区（五四制）2023-2024学年九年级上册期中考试数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市周村区（五四制）2023-2024学年九年级上册期中考试数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知为锐角，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．在反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2B．k＞0C．k≥2D．k＜2
3．如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为（ ）
A．30tanα米B．米C．30sinα米D．米
4．已知抛物线y=x2－8x+c的顶点在x轴上，则c的值是（ ）
A．16B．-4C．4D．8
5．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ）
A．B．
C．D．
6．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个.
7．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（ ）
A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化
9．在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于、两点，若面积为15，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线PQ⊥x轴，交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1或m＞B．m＜﹣1或＜m＜3C．m＜﹣1或m＞3D．m＜﹣1或1＜m＜3
二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分）
11．已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ．
12．某人从地面沿着坡度为的山坡走了米，这时他离地面的高度是 米．
13．已知抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：
那么该抛物线的对称轴为直线 ．
14．如图，在网格中，每个小正方形边长均为1，与相交于点，则的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为双曲线在第二象限上的动点，的延长线与双曲线的另一个交点为，以为边的矩形满足，对角线，交于点，设的坐标为，则 ．
三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分）
16．求下列各式的值：
(1)
(2)
17．如图，中，，．
(1)求的长．
(2)是边上的高，请你补全图形，并求的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)画出此二次函数的图象；
(2)分别写出此二次函数图象的顶点坐标、二次函数图象与轴的交点坐标；
(3)当时，直接写出的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为．
(1)若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式；
(2)若将向下平移个单位长度，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值．
20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
21．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．
(1)分别用含的代数式表示与；
(2)若，求的值；
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取最大值，最大值为多少？
22．已知抛物线经过、两点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第四象限抛物线上的一个动点，直线与轴交于点，连接．当时，求点的坐标．
23．如图1，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将沿翻折得到，直线交抛物线于点，求点的坐标；
(3)如图2，若点为直线上一点（不与、重合），连接，将绕点旋转，得到线段，是否存在这样的点，使点恰好在抛物线上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】解：∵为锐角，且，
∴．
故选C．
【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目，熟练掌握特殊角的函数值是解题关键．
2．D
【分析】根据反比例函数的性质，可求k的取值范围．
【详解】∵反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2
故选：D．
【点睛】考核知识点：反比例函数.理解反比例函数性质是关键.
3．A
【详解】在Rt△ABC中，，∴BC＝AC·tanα，即BC＝30tanα米．
故选A．
4．A
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．
【详解】∵二次函数y=-8x+c的顶点的横坐标为x=-=-=4，
∵顶点在x轴上，
∴顶点的坐标是(4，0)，
把(4，0)代入y=-8x+c中，得：16-32+c=0，
解得：c=16，
故选：A．
【点睛】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．
5．B
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案.
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移法则是解题的关键．
6．B
【分析】根据二次函数图像的性质：抛物线开口向下；与y轴的交点；两根判别式；逐一判定即可.
【详解】①根据图像，开口向下，得出，正确；
②根据图像，对称轴为，，与y轴的交点为（0,c），，错误；
③根据图像，以及对称轴，，，正确；
④根据图像，顶点坐标均大于0，即，，错误；
故答案为B.
【点睛】此题主要考查二次函数图像的性质，熟练掌握，即可解题.
7．B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，由题意，首先根据的坐标求出，然后可设，再由正方形，建立关于的方程，进而得解．
【详解】点的坐标为在反比例函数上，
．
．
反比例函数的解析式为．
点在反比例函数图象上，
可设．
．
∵正方形，
∴
，．
，
．
．
故选：B．
8．A
【分析】根据题意推知EF∥AD，EH∥CD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【详解】∵EF∥AD，EH∥CD，
∴∠AFE=∠FAG，△AEH∽△ACD，
∴．
设EH=3x，AH=4x，
∴HG=GF=3x，
∴tan∠AFE=tan∠FAG=．
故选A．
【点睛】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的．
9．A
【分析】过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，根据点、都在反比例函数的图象上，推出，根据，求得，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于、两点，
∴、两点在第二象限，
过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，
则，，，，
∴，
∵点、都在反比例函数的图象上，
∴，，即，
∵，
∴，
即，
∴，∴，
解得，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．解决问题的关键是推出．
10．D
【详解】联立，
解得,，
所以,A(−1,−1),B(3,3)，
抛物线的对称轴为直线x=−=，
∴当−1当x<−1或x>3时,PQ=x2−x−3−x=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是m<−1或1故答案选D.
11．
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点与函数表达式的关系，将图象上点的坐标代入函数表达式即可求出答案．
【详解】解：反比例函数的图象经过点
故答案为：．
12．
【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．
【详解】∵坡度为，
∴设离地面的高度为x,那么水平距离为
∵,解得x=50.
即这时他离地面的高度是50米.
故答案为50.
【点睛】考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据勾股定理列出方程是解题的关键.
13．1
【分析】本题考查二次函数的图象上点的特征．根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为，即可求解．
【详解】解：由表格可得，点和点对称，
∴对称轴为，
故答案为：1．
14．1
【分析】取网格点E，连接，，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答．
【详解】解：如图，取网格点E，连接，，
由题意得：，
∴，
在中，，，，
∴，且，
∴是直角三角形，且，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，勾股定理及其逆定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形判定与性质和矩形的性质，连接，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，证明，然后利用相似三角形的性质分析求解．
【详解】解：连接，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
点为双曲线 在第二象限上的动点，
设点的坐标为，
，
，
的坐标为，
，
，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查实数的综合运算能力，特殊角的三角函数值．
（1）代入各个特殊角的三角函数值计算即可；
（2）代入各个特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】（1）
（2）
17．(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据三线合一得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解；
（2）过点，作交的延长线于点，根据，以及正弦的定义，结合（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵
∴，
∵
∴,
∴
在中，,
∴
（2）解：如图，过点，作交的延长线于点
∵
∴
∵
∴
∵,
∴
【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)顶点坐标是，与轴交点坐标是和
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，
（1）根据五点作图法，画出函数图象即可；
（2）数形结合接口作答；
（3）找到抛物线在轴下方时，的取值范围．
【详解】（1），
列表如下：
画图如下：
（2）结合图象可知：顶点坐标是，与轴交点坐标是和；
（3）结合图象可知：当时，自变量的取值范围是：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质；
（1）根据已知求出与点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）表示出相应的平移后与坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【详解】（1）过作于，
，，点．
，，
，
∵，
∴
，
若反比例函数的图象经过点，则，解得，，
反比例函数的解析式为；
（2）点，
将向下平移个单位长度，
，
两点同时落在反比例函数图象上，
，
．
20．(1)；
(2)或，
(3)或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据图像位置关系即可得解；
（3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足，
∴不等式的解集为或；
（3）如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、，
设，则，
∴，
则，
，
，
，
，
∵的面积为，
∴，
∴，
即点的坐标为．

如图，过作轴于点，过作轴于点，设，

由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
综上所述：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．
21．(1)
(2)9
(3)当时，有最大值
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．
（1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可；
（2）根据（1）所求得到方程，解方程并检验即可得到答案；
（3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
解得，，
墙长为12米，
，
，
应舍去，
的值为9；
（3）解：，
墙长为12米，
，
，
，
开口向下，
∴当，着的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为：．
22．(1)
(2)
【分析】（1）采用待定系数法即可求解；
（2）设，作，垂足为．先求出，，即可得，再证明，即有，进而有，解方程即可求解．
【详解】（1）将、代入，
得：，
解得：
抛物线的解析式为；
（2）设，作，垂足为．如图，
，
，
，，
，，
∴，
即有：，，
，，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，且，
解得，,（舍），
，即，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程等知识，证明是解答本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A的坐标表示出点B的坐标，已知，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．
（2）点P为直线和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线的解析式；设直线与y轴的交点为F，易得，由于，，根据相似三角形的对应边成比例即可得到，设，则，，进而可在中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．
（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设，由于是由旋转而得，因此是等腰直角三角形，分别过M、N作、垂直于x轴，即可证得，得，，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N的坐标；②当点M在第三象限，③点M在第四象限时，解法同①．
【详解】（1），抛物线的对称轴为：，
；
，
，
设抛物线的解析式为：，
由题意得，，
解得，；
抛物线的解析式为：；
（2）设交轴于点，

∵，，
∴，
，
设，则，
；
在中，由勾股定理得：，
解得；
即，即；
求得直线，
联立抛物线的解析式得：，
解得或（舍）；
点．
（3）（3）或．理由如下：
，，
设直线，
∴，解得：，
直线；
设点，
①当点在第一象限时，，；
过作轴于，过作轴于；

∴，，
∴，
根据旋转的性质知：，，
∴，
∴，
∴，得：，，
故，
将其代入抛物线的解析式中，得：，
整理得：，（舍去），；
故，．
②当点在第三象限时，，；
同①可得：，，
则，
代入抛物线的解析式可得：，
整理得：，故或者；
由于点在第三象限，所以，
故或者均不合题意，此种情况不成立；
③当点在第四象限时，，；
同①得：，在②中已经求得此时（舍去），；
故，；
综上可知：存在符合条件的点，且坐标为或．

【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的坐标意义等知识．需要注意的是（3）题中，由于点M的位置不确定，一定要根据点M所处的不同象限分类讨论，以免漏解．
…
0
1
2
3
…
…
5
0
0
…