2024年九强校中考数学一模试卷

这是一份2024年九强校中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7B．C．﹣7D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3mn﹣2mn＝1B．（m2n3）2＝m4n6
C．（﹣m）3•m＝m4D．（m+n）2＝m2+n2
3．（3分）2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约320000000千米．数320000000用科学记数法表示为（ ）
A．32×107B．3.2×108C．3.2×109D．0.32×109
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2）B．（4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（4，﹣2）
5．（3分）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．5C．7D．9
6．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝AFD．∠AEB＝∠AFD
8．（3分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题每题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣＝ ．
12．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝ ．
13．（3分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的度数为 ．
14．（3分）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．则a＝ ．
15．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 ．
三、解答题（本大题9题，共72分）
17．（4分）计算：+（1+π）0﹣2cs45°+．
18．（4分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
19．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
20．（6分）某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
（1）在统计表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
22．（10分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
23．（10分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．
2024年广东省广州市九强校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题每题3分，共20分）
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7B．C．﹣7D．﹣
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣7的倒数是﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3mn﹣2mn＝1B．（m2n3）2＝m4n6
C．（﹣m）3•m＝m4D．（m+n）2＝m2+n2
【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A．3mn﹣2mn＝mn，故本选项不合题意；
B．（m2n3）2＝m4n6，故本选项符合题意；
C．（﹣m）3•m＝﹣m4，故本选项不合题意；
D．（m+n）2＝m2+2mn+n2，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约320000000千米．数320000000用科学记数法表示为（ ）
A．32×107B．3.2×108C．3.2×109D．0.32×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：320000000＝3.2×108，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2）B．（4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（4，﹣2）
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
5．（3分）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．5C．7D．9
【分析】根据三角形的三边关系定理得出4﹣3＜m＜4+3，求出即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3，
解得：1＜m＜7，
即符合的只有5，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：由表知甲、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙、丙的平均数，
∴从甲、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴丁发挥稳定，
∴选择丁参加比赛．
故选：D．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝AFD．∠AEB＝∠AFD
【分析】由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE＝AF，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
8．（3分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
【分析】如图，点B在函数y＝上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6
【分析】如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．想办法求出OB的长即可．
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．
∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，
∴DJ＝＝＝4，
∵CD∥AT．
∴∠DCJ＝∠TAJ，
∵∠DJC＝∠TJA，
∴△DCJ≌△TAJ（ASA），
∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，
∵∠AJT＝∠ACB＝90°，
∴JT∥BC，
∵AJ＝JC，
∴AT＝TB＝5，
设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得x＝1.4，
∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4，
∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，
∴m＝OB＝11.4，
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】①当x＝0时，c＝1，由点（﹣1，﹣1）得a＝b﹣2，由x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0；
②将a＝b﹣2，c＝1代入方程，根据根的判别式即可判断；
③将a＝b﹣2，c＝1代入a+b+c，求解后即可判断．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），
∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，
∴a＝b﹣2，
∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．
∴4a﹣2b+1＞1，
∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4，
∴a＝b﹣2＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵a＝b﹣2，c＝1，
∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16，
∵b＞4，
∴Δ＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a＝b﹣2，c＝1，
∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，
∵b＞4，
∴2b﹣1＞7，
∴a+b+c＞7．
故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（本大题每题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣＝ ﹣ ．
【分析】原式化简后，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣2＝﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝ y（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为：y（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
13．（3分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的度数为 30° ．
【分析】根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
又∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．
14．（3分）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．则a＝ 3 ．
【分析】根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
【解答】解：由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，抛物线与x轴的交点，求得交点坐标，熟知二次函数的对称性是解决本题的关键．
15．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 ﹣3 ．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m﹣1＝0，则m2+2m＝1，根据根与系数的关系得出m+n＝﹣2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 2 ．
【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案．
【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：
在y＝x+中，令x＝0得y＝,
∴C(0,),OC＝,
在y＝x+中令y＝0得x+＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA•cs30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan∠CAO＝得到∠CAO＝30°．
三、解答题（本大题9题，共72分）
17．（4分）计算：+（1+π）0﹣2cs45°+．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：+（1+π）0﹣2cs45°+|1﹣|
＝2+1﹣2×+﹣1
＝2+1﹣+﹣1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（4分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE．
【点评】考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得线段相等．
19．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（+）÷
＝•
＝，
当a＝﹣3时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
（1）在统计表中，a＝ 5 ，b＝ 0.4 ，c＝ 15 ；
（2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）由D的人数除以所占比例求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：10÷＝50（人），
∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15，
∴a＝50﹣20﹣15﹣10＝5，
故答案为：5，0.4，15；
（2）∵A段的男生比女生少1人，A段的学生共有5人，
∴男生2人，女生3人，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，
∴恰好选到1名男生和1名女生的概率＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图和频数分布表．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
【分析】（1）根据一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），求出点A的坐标，再代入y＝，即可求得答案；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，先求出点B的坐标，再根据△ABD是以BD为底边的等腰三角形，可求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式，联立直线AD解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点C的坐标．
【解答】（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），
∴a+＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝（x＞0），
得：3＝，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点C的坐标为（4，）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与反比例函数图象的交点，等腰三角形性质等，熟练掌握待定系数法和等腰三角形性质等相关知识是解题关键．
22．（10分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，根据“甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件”列不等式组解答即可；
（2）设获得利润为y元，由题意得出y与x的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，
根据题意，得，
可解得50≤x≤55，
∵x为整数，
∴x＝50，51，52，53，54，55；
答：工艺厂购买A类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55；
（2）设获得利润为y元，
由题意，得y＝50[4x+2（150﹣x）]+80[2x+6（150﹣x）]，
即y＝﹣220x+87000，
∵﹣220＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝50时，y取最大值，最大值为：﹣220×50+87000＝76000（元），
答：该工艺厂购买A、B两类原木分别为50和100根时，所获得利润最大，最大利润是76000元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的运用；求出利润的解析式运用一次函数的性质求最值是本题的难点．
23．（10分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离．
【分析】（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点A作BD的垂线段并延长一倍，得对称点C；
（2）①根据菱形的判定即可求解；
②过B点作BF⊥AD于F，根据菱形的性质，勾股定理得到OB＝5，OA＝12，AD＝13，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：点C即为所求；
（2）①证明：∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵C是点A关于BD的对称点，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
②过B点作BF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD＝5，
∵E是BC的中点，OA＝OC，
∴BC＝2OE＝13，
∴OC＝＝12，
∴OA＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝13，
∴BF＝×12×5×2×2÷13＝，
故点E到AD的距离是．
【点评】此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出BC，AC的长是解题关键．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
【分析】（1）连接OC，由AB为⊙O的直径，可得∠A+∠ABC＝90°，再证明∠ABC＝∠BCO，结合已知∠BCD＝∠A，可得∠OCD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，由△ABC的面积为2，可得CM＝2，由∠BCM＝∠A得＝，可解得BM＝﹣1，根据△BCM≌△BCN，可得CN＝CM＝2，再由△DBN∽△DCM，得＝＝即＝＝，解DN＝2﹣2，故CD＝DN+CN＝2；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，由CM⊥AB，EH⊥AB，可得＝＝，而＝，故HE＝1，MF＝2HF，Rt△OEH中，OH＝2，可得AH＝OA﹣OH＝﹣2，设HF＝x，则MF＝2x，则（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，可解得HF＝1，MF＝2，从而BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即＝，
∴＝，
解得BM＝﹣1，（BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，
∴∠BCD＝∠BCM，
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴＝＝，
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2；
方法二：过C作CM⊥AB于M，连接OC，如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△MOC中，OM＝＝1，
∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，
∴△DCM∽△COM，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF，
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x，则MF＝2x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝2，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
【点评】本题考查圆的综合知识，涉及切线的判定、三角形面积、三角形全等及相似的判定和性质、勾股定理等，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似或全等三角形．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．
【分析】（Ⅰ）由y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，即可求解；
（Ⅱ）由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，则（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，即可求解；
（Ⅲ）当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，进而求解．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，
（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；
（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
故点D（1，﹣a﹣1），
由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，
即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，
解得a＝或，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；
（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），
作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），
当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，
则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2，
解得a＝（舍去）或﹣，
则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，﹣），
由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x﹣，
当y＝0时，y＝﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣＝m，
则m+3＝，
即点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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丙
丁
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S2
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分段
成绩范围
频数
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A
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20
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C
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