2024年广东省广州市部分学校中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省广州市部分学校中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）＝（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（3分）如图所示的几何体由6个小正方体组合而成，其三视图中为轴对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图C．俯视图D．均不是
3．（3分）学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（ ）
A．众数为6B．平均数为5C．中位数为5D．方差为1
4．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．B．
C．（a2b）3＝a6b3D．
5．（3分）等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
7．（3分）如图，为了测量河两岸A，B两点间的距离，在河的一岸与AB垂直的方向上取一点C，测得AC＝200米，∠ACB＝α，则AB＝（ ）
A．200•tanα米B．200•sinα米
C．200•csα米D．米
8．（3分）九年级同学去距离学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，剩余同学坐汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的2倍，设骑车的同学速度为x千米/小时，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则∠ACD的度数为（ ）
A．50B．40C．30D．20
10．（3分）在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转90°的对应点P1（m，n）落在直线y＝﹣2x+1上，则代数式的值是（ ）
A．B．C．﹣8D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）龙行龘龘，前程朤朤，生活䲜䲜，截止至2024年2月10日晚上8时，中央广播电视总台2024年春节联欢晚会“竖屏看春晚”直播播放量达到4.23亿次，将4.23亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2+x+m上，则y1 y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）
13．（3分）某中学对九年级共450名学生进行“综合素质”评价，评价的结果分A，B，C，D共4个等级．现随机抽取30名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的条形图，据此估算全级学生中“综合素质”评价等级为“B”学生约有 人．若将评价等级按所占比例绘制成扇形统计图，则评价等级为“D”对应扇形的圆心角度数为 °．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝，则GH的最小值为 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，以EF为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为 ．
16．（3分）如图，在△AOB中，，点O到线段AB的距离为 ．以点O为圆心，以2为半径作优弧DE，交AO于点D，交BO于点E，点M在优弧DE上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM，BM，则△ABM面积S的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解不等式：3（2x+7）＞23．
18．（4分）如图，AB⊥CF，DF⊥CF，AC∥DF，AB＝DE，求证：BF＝CE．
19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，点A（﹣4，1），△ABC的三个顶点都在格点上．将△ABC在坐标系中平移，使得点A平移至图中点D（1，﹣1）的位置，点B对应点E，点C对应点F．
（1）点B的坐标为 ，点F的坐标为 ；
（2）在图中作出△DEF，并连接AD；
（3）求在线段AB平移到线段DE的过程中扫过的面积．
20．（6分）已知：．
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一个根．
21．（8分）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏．
（1）有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率；
（2）双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？
22．（10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式；
（2）问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点．
（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，交半圆AB于点E，交线段直径AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）点P是弧AE上一点，连接BP，CP，AC＝6，BF＝2．
①求tan∠BPC的值；
②若CP为∠ACB的角平分线，求CP的长．
24．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
25．（12分）如图，等边三角形ABC边长为2，点D是直线BC上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE．连接DE，AC与DE交于点F．
（1）若AD⊥BC，求线段EF的长；
（2）连接CE．
①记点E的运动路径为l．试判断l与AC的位置关系；
②在点D在运动的过程中，CE是否有最小值？如果有，请求出，并求此时的值；如果没有，请说明理由．
2024年广东省广州市部分学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）＝（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
【分析】根据二次根式的性质：化简即可．
【解答】解：，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．
2．（3分）如图所示的几何体由6个小正方体组合而成，其三视图中为轴对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图C．俯视图D．均不是
【分析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．
【解答】解：如图所示：
是轴对称图形的是左视图．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，轴对称图形，关键是得到该几何体的三视图．
3．（3分）学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（ ）
A．众数为6B．平均数为5C．中位数为5D．方差为1
【分析】根据相关定义求出对应数值分别判断，即可得到答案．
【解答】解：A、6出现3次，出现次数最多，故众数是6，该项描述正确，不符合题意；
B、，故该项描述正确，不符合题意；
C、这组数据按由小到大排列是：3，4，5，5，6，6，6．最中间的是第四个数5，中位数为5，故该项描述正确，不符合题意；
D、方差为，故该项描述错误；符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，熟练掌握众数，中位数，方差及平均数的求法是关键．
4．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．B．
C．（a2b）3＝a6b3D．
【分析】根据立方根、二次根式的加减、积的乘方、分式的加减运算法则计算判断即可．
【解答】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、（a2b）3＝a6b3，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减，整式的运算，立方根，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5．（3分）等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【解答】解：由题意可知：
解得：x≥3
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
6．（3分）关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【分析】由关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7．（3分）如图，为了测量河两岸A，B两点间的距离，在河的一岸与AB垂直的方向上取一点C，测得AC＝200米，∠ACB＝α，则AB＝（ ）
A．200•tanα米B．200•sinα米
C．200•csα米D．米
【分析】已知AC＝200米，∠ACB＝α，根据正切定义可得AB．
【解答】解：tan∠ACB＝tanα＝，
AB＝200•tanα（米），
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是掌握正切定义．
8．（3分）九年级同学去距离学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，剩余同学坐汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的2倍，设骑车的同学速度为x千米/小时，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2x，先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系，即可列出方程．
【解答】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2x，
∵20分钟＝小时，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程，理解题意建立等量关系是解答本题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则∠ACD的度数为（ ）
A．50B．40C．30D．20
【分析】由AC＝BC，∠ACB＝100°，求得∠B＝∠A＝40°，由⊙O与AB，BC分别切于点D，C，根据切线长定理得BD＝BC，则∠BCD＝∠BDC，所以2∠BCD+40°＝180°，求得∠BCD＝70°，则∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝100°，
∴∠B＝∠A＝×（180°﹣100°）＝40°，
∵⊙O与AB，BC分别切于点D，C，
∴BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，
∴2∠BCD+40°＝180°，
∴∠BCD＝70°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝100°﹣70°＝30°，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线长定理等知识，求得∠B＝40°并且证明BD＝BC是解题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转90°的对应点P1（m，n）落在直线y＝﹣2x+1上，则代数式的值是（ ）
A．B．C．﹣8D．
【分析】过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点P1作P1Q1⊥y轴于点Q1，由题意可得出OQ1＝n，P1Q1＝﹣m，2m+n＝1．易证△PQO≌△P1Q1O（AAS），即得出PQ＝OQ1＝n，PQ＝P1Q1＝﹣m，即可求出P（﹣n，m），进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点P1作P1Q1⊥y轴于点Q1，
∵P1（m，n），且在直线y＝﹣2x+1上，
∴OQ1＝n，P1Q1＝﹣m，n＝﹣2m+1，
∴2m+n＝1．
由旋转的性质可知∠POP1＝90°，PO＝P1O，
∴∠POQ+∠P1OQ1＝90°．
又∵∠POQ+∠OPQ＝90°，
∴∠OPQ＝∠P1OQ1．
∵∠PQO＝∠P1Q1O＝90°，
∴△PQO≌△P1Q1O（AAS），
∴PQ＝OQ1＝n，PQ＝P1Q1＝﹣m，
∴P（﹣n，m）．
∵P是双曲线上的一点，
∴，即．
∴．
故选：A．
【点评】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）龙行龘龘，前程朤朤，生活䲜䲜，截止至2024年2月10日晚上8时，中央广播电视总台2024年春节联欢晚会“竖屏看春晚”直播播放量达到4.23亿次，将4.23亿用科学记数法表示为 4.23×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此解答即可．
【解答】解：4.23亿＝423000000＝4.23×108，
故答案为：4.23×108．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法书写格式是关键．
12．（3分）已知A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2+x+m上，则y1 ＜ y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）
【分析】根据a＝1＞0，且，进而可求解．
【解答】解：∵a＝1＞0，对称轴为，
∴当x＝﹣2与x＝1时，函数值都都等于y2，
∴当时函数值随自变量的增大而增大；
∵，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
13．（3分）某中学对九年级共450名学生进行“综合素质”评价，评价的结果分A，B，C，D共4个等级．现随机抽取30名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的条形图，据此估算全级学生中“综合素质”评价等级为“B”学生约有 180 人．若将评价等级按所占比例绘制成扇形统计图，则评价等级为“D”对应扇形的圆心角度数为 36 °．
【分析】先根据抽取学生30名列方程求出a，则等级为“B”学生人数可求，用450乘以B所占抽取人数的百分比即可求出全级学生中“综合素质”评价等级为“B”的学生，360°乘以D所占抽取人数的百分比即可求D对应扇形的圆心角度数．
【解答】解：由图得：13+3a+5+a＝30，
解得a＝4，
所以等级为“B”学生约有3a＝12（人），
450×＝180（人），
D”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：180，36．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝，则GH的最小值为 ．
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH＝AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，以EF为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为 π ．
【分析】根据EG＝EF＝EH＝2，BE＝CE＝1，可求出∠BEG＝∠CEH＝60°，所以∠GEH＝60°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，
∴EG＝EF＝EH＝2，BE＝CE＝1，
∴cs∠BEG＝cs∠CEH＝＝，
∴∠BEG＝∠CEH＝60°，
∴∠GEH＝60°，
∴长为＝π．
故答案为：π．
【点评】此题考查了弧长公式、正方形的性质、解直角三角形，正确求出∠GEH＝60°是解题的关键．
16．（3分）如图，在△AOB中，，点O到线段AB的距离为 ．以点O为圆心，以2为半径作优弧DE，交AO于点D，交BO于点E，点M在优弧DE上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM，BM，则△ABM面积S的取值范围是 ．
【分析】由勾股定理可求出AB＝12，再根据面积法可求出点O到线段AB的距离；由图易知△ABM的AB边最小高为M在D时，最大高为M在过O垂直于AB的直线上，求出最小高和最大高，进而求出△ABM的面积为S的取值范围．
【解答】解：在△AOB中，，
∴，，
∴∠OAB＝60°，∠ABO＝30°，
设点O到线段AB的距离为h，
又，
∴，
∴点O到线段AB的距离为；
如图：
Ⅰ．由图可知，△ABM的AB边最小高为M在D时，
∵OD＝2，AO＝6，
∴AD＝4，
∴，
∴△ABM的面积为S的最小值＝．
Ⅱ．在过点O且垂直于AB的直线上时，△ABM的AB边的高最大，
∴△ABM的AB边的高最大值为，
∴△ABM的面积为S的最大值为＝．
∴△ABM的面积为S取值范围为：．
故答案为：；．
【点评】本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，正确作出图形是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解不等式：3（2x+7）＞23．
【分析】不等式的两边同时除以一个负数，要改变不等号的方向．先去括号、再移项，然后合并同类项，最后系数化1求得不等式的解集．
【解答】解：3（2x+7）＞23，
6x+21＞23，
6x＞2，
．
【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是关键．
18．（4分）如图，AB⊥CF，DF⊥CF，AC∥DF，AB＝DE，求证：BF＝CE．
【分析】运用AAS证明△ABC≌△DEF，得到EF＝BC，再根据等式的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°．
∵AC∥DF，
∴∠C＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴EF＝BC．
∴EF﹣BE＝BC﹣BE．
即：BF＝CE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，点A（﹣4，1），△ABC的三个顶点都在格点上．将△ABC在坐标系中平移，使得点A平移至图中点D（1，﹣1）的位置，点B对应点E，点C对应点F．
（1）点B的坐标为 （﹣2，4） ，点F的坐标为 （5，1） ；
（2）在图中作出△DEF，并连接AD；
（3）求在线段AB平移到线段DE的过程中扫过的面积．
【分析】（1）根据点D的位置，结合平移的性质可得出答案．
（2）运用平移的性质作出图形即可；
（3）线段AB沿AD的方向平移到DE的过程中扫过的图形为平行四边形ADEB，求出面积
【解答】解：（1）点B的坐标为（﹣2，4）；
∵A（﹣4，1），D（1，﹣1），C（0，3）
∴由平移得点F的坐标为：（5，1），
故答案为：（﹣2，4）；（5，1）；
（2）如图，△DEF和AD即为所作：
（3）线段AB沿AD的方向平移到DE的过程中扫过的图形为平行四边形ADEB，
．
【点评】本题考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移的性质及平行四边形面积求法．
20．（6分）已知：．
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一个根．
【分析】（1）利用分式的减法法则化简即可；
（2）①由点P在反比例函数图象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论；
②a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论．
【解答】解：（1）
＝﹣
＝；
（2）①点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点，
∴a（a+2）＝8，
∴A＝＝；
②∵a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，
∴a2+a＝8﹣a，
∴a（a+2）＝8，
∴A＝＝；
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一元一次方程的解，分式的运算，把分式化简是解题的关键．
21．（8分）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏．
（1）有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率；
（2）双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再计算出甲赢和乙赢的概率，最后进行比较即可．
【解答】解：（1）共有4张牌，正面是整数的情况有2种，
所以摸到正面是整数的纸牌的概率是；
（2）这个规定否公平，理由如下：
画树状图如下：
共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌面数字之积为正数的有8种，
∴甲赢的概率为，
乙赢的概率为，
∴甲赢的概率＝乙赢的概率，
故这个规定否公平．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，掌握概率公式使解题的关键．
22．（10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式；
（2）问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？
【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用y＝2分别得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，
将（4，10）代入得：6＝4k，
解得：k＝，
故直线解析式为：y＝x，
当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝，
将（4，10）代入得：10＝，
解得：a＝40，
故反比例函数解析式为：y＝；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝x（0≤x≤4），
下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）．
（2）当y＝5，则5＝x，
解得：x＝2，
当y＝5，则5＝，
解得：x＝8，
∵8﹣2＝6（小时），
∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间6小时．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点．
（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，交半圆AB于点E，交线段直径AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）点P是弧AE上一点，连接BP，CP，AC＝6，BF＝2．
①求tan∠BPC的值；
②若CP为∠ACB的角平分线，求CP的长．
【分析】（1）在半圆AB上取点E，使，根据垂径定理的推论可知AB⊥DE，由此即可完成作图；
（2）①连接OD，证明△ACB∽△OFD，设的半径为r，利用相似三角形的性质得r＝5，AB＝2r＝10，由勾股定理求得BC，得到，即可得到；
②过点B作BG⊥CP交CP于点G，证明△CBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由CP＝CG+GP即可求解．
【解答】解：（1）如图，在半圆AB上取点E，使，连接DE交AB于F，
∴DE⊥AB，
（2）解：①连接OD，

∵D是BC的中点
∴CD＝BD，
∴∠CAB＝∠DOB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFO＝90°，
∴△ACB∽△OFD，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
解得r＝5，经检验，r＝5是方程的解，
∴AB＝2r＝10，
∴，
∴，
∵∠BPC＝∠CAB，
∴；
②如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，

∴∠BGC＝∠BGP＝90°，
∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB的平分线，
∴∠ACP＝∠BCP＝45°，
∴∠CBG＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
24．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；
（Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；
②得出CN＝EF＝．求出MC＝﹣m，当MC≥，即m≤﹣1时，当MC＜，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．
∵抛物线经过点A（1，0），
∴0＝1+b﹣3，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，
∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．
∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．
根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），
过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．
在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，
∴AE＝＝﹣m，
∵AE＝EF＝2，
∴﹣m＝2，
解得m＝﹣2．
此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF＝＝．
∴点F的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．
②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CN＝EF＝．
根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，
由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
∴在Rt△MCO中，MC＝＝﹣m．
当MC≥，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为MC﹣NC＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；
当MC＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC＝﹣（﹣m）＝，
解得m＝﹣．
∴当m的值为﹣或﹣时，MN的最小值是．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（12分）如图，等边三角形ABC边长为2，点D是直线BC上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE．连接DE，AC与DE交于点F．
（1）若AD⊥BC，求线段EF的长；
（2）连接CE．
①记点E的运动路径为l．试判断l与AC的位置关系；
②在点D在运动的过程中，CE是否有最小值？如果有，请求出，并求此时的值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到点D是BC的中点，，求得，得到，根据旋转的性质得到，∠DAE＝120°，得到∠FAE＝90°，由勾股定理求得EF＝2；
（2）①将AB绕点A逆时针旋转120°后得到AM．将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE．证明△ABD≌AME（SAS），证明∠MEA＝∠CAE，得l∥AC；②点E在定直线上运动，当CE⊥AC时CE最短．过A作AH⊥CD于H，根据全等三角形的性质得到AH＝CE，DH＝AC＝2，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，，
∵AB＝2，
∴，
∴
∵将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，
∴，
∴∠ADE＝∠E＝30°，
∴∠FAE＝90°，
∵
由勾股定理得，AE2+AF2＝EF2，
∴
解得，EF＝2；
（2）①l∥AC，理由如下：
如图，将AB绕点A逆时针旋转120°得到AM，连接ME，
∴AB＝AM，∠BAM＝120°，
∵将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠EAM，
∴△ABD≌AME（SAS）
∴∠AME＝∠ABD＝120°，
∴∠MEA+∠MAE＝60°，
∵∠DAE＝120°，∠BAC＝60°，
∴∠DAB+∠CAE＝60°，
∴∠MAE+∠CAE＝60°，
∴∠MEA＝∠CAE，
∴ME∥AC，即l∥AC；
②∵点E在定直线上运动，当CE⊥AC时CE最短．
过A作AH⊥CD于H，
∴∠AHD＝∠ACE＝90°，
∵∠CAM＝120°﹣∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝60°﹣∠EAM，
∵，
∴∠ADH＝180°﹣∠AHD﹣∠BAH﹣∠DAB＝60°﹣∠DAB，
∴∠ADH＝∠CAE，
∵AD＝AE，
∴△ADH≌△EAC（AAS），
∴AH＝CE，DH＝AC＝2，
∵，
∴BD＝1，
∵，
∴，
∴．
所以，CE的最小值为，．
【点评】本题考查了三角形综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质勾股定理以及30°角所对直角边等于斜边的一半等知识．正确作出辅助线是解题的关键．
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