2023年广东省广州市花都区华云学校中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年广东省广州市花都区华云学校中考数学一模试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广州市花都区华云学校中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（   ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm，若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数为（    ）
A．2015 B．2014 C．2015或2014 D．2015或2016
3．解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．下列各数中，互为相反数的是（     ）
A．│－│和－ B．│－│和－
C．│－│和 D．│－│和
5．下列命题正确的是（       ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．一个正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角的度数为（   ）
A．45° B．55° C．60° D．72°
8．下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应缴电费y（元）之间的关系：
用电量x（千瓦时）
1
2
3
4
5
…
应缴电费y（元）
0.55
1.1
1.65
2.2
2.75
…
下列说法不正确的是（    ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元 D．若所缴电费为3.75元，则用电量为7千瓦时
9．已知直线，点P在直线l上，点，点，若是直角三角形，则点P的个数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转（点不与，重合）时，给出以下5个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述结论始终正确的有(   )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
11．若二次根式有意义，则的取值范围是________．
12．方程x2＋2x－3＝0的两个根分别是x1＝__，x2＝_____
13．关于的方程有两个整数根，则整数____________．
14．如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于________．

15．如图，在中，，点在边上，DA=DB，，垂足为，若，则线段BC的长为______.

16．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF．

（1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___；
（2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___．

三、解答题(本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程组：
18．点B、E、C、F在同一条直线上，AC=DF，ACDF，ABDE，求证：BE=CF．

19．如果一个正整数能够表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”.如:①8=32- 12，②16=52-32，③24=72-52，因此8，16，24都是奇特数.
(1)写出第④个等式.
(2)设两个连续奇数为2n-1和2n+1(其中n取正整数)，那么由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗?为什么?
20．某中学为了提高学生的消防意识，举行了消防知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所经信息解答下列问题：
（1）这次知识竞赛共有多少名学生？
（2）“二等奖”对应的扇形圆心角度数，并将条形统计图补充完整；
（3）小华参加了此次的知识竞赛，请你帮他求出获得“一等奖或二等奖”的概率．

21．八年级利用暑假组织学生外出旅游，有10名家长代表随团出行，甲旅行社说：“如果10名家长代表都买全票，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括10名家长代表在内，全部按票价的6折（即按全价的60%收费）优惠”，若全票价为40元．
(1)当学生人数为多少时，两家旅行社的收费一样？
(2)请你通过计算说明：旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少？
22．阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP⊥BC．
（1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是_______．
（2）如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）

23．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 　 　；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．

24．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．
(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是　 　(填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为　 　；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
25．如图，、、均为直线同侧的等边三角形．

(1)如图①当时，四边形为 ；
(2)猜想：当满足相应的条件：①，②其中一个时，顺次连接P、E、D、C四点所能构成的四边形是特殊平行四边形，选择其中的一种情况加以证明． 你选择的是：当满足条件 时，构成的四边形为 ，请写出证明过程．
(3)如图②，中，，，请直接写出四边形面积的最大值

















答案解析
1．【考点】无理数
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．
解：是分数，属于有理数，
，是整数，属于有理数，
无理数有，(相邻两个1之间依次多一个0)， ，，共4个，
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2．【考点】实数与数轴
【分析】根据数轴与实数的对应关系，分线段AB起点在整数点与不在整数点两种情况讨论．
解：依题意得，
当线段AB起点在整数点时，能覆盖2016个数；
当线段AB起点不在整数点，即在两个整点之间时，能覆盖2015个数，
故选：D
【点评】本题考查数轴与实数的对应关系，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．【考点】解分式方程
【分析】分式方程两边乘以即可得到结果．
解：方程两边同时乘以去分母得：，
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母时要注意不要漏乘常数项，注意相反数的转化．
4．【考点】绝对值，相反数
【分析】化简后根据互为相反数的定义求解即可.
解：A. ∵│－│=，∴│－│和－是互为相反数，符合题意；
B. ∵│－│=，∴│－│和－不是互为相反数，不符合题意；
C. ∵│－│=， ∴│－│和不是互为相反数，不符合题意；
D. ∵│－│=，∴│－│和不是互为相反数，不符合题意；
故选A.
【点评】本题考查了绝对值和相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.
5．【考点】命题与定理
【分析】根据平行四边形的判定、等边三角形的判定、菱形的判定、矩形的判定定理依次判断．
解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该项错误；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故该项正确；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该项错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；
故选：B．
【点评】此题考查命题正确与否，掌握平行四边形的判定、等边三角形的判定、菱形的判定、矩形的判定定理是解题的关键．
6．【考点】列表法或树状图法
【分析】利用列表法或树状图法找出所有出现的可能结果，再找出两次摸出的数字之和为奇数出现的可能结果即可求解．
解：

1
2
1
1+1=2
1+2=3
2
2+1=3
2+2=4
从表中可知，共有4种等可能的结果，其中两次摸出的数字之和为奇数的有2种，所以两次摸出的数字之和为奇数的的概率是，
故选：C
【点评】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，正确地列出表格或树状图是解题的关键．注意：从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张．
7．【考点】多边形的内角与外角
【分析】设正多边形的边数为n，则根据内角和为540°可求得边数n，从而可求得该正多边形的一个外角的度数．
解：设正多边形的边数为n，则由题意得：180(n－2)=540
解得：n=5
即此正多边形为正五边形，其一个外角为360°÷5=72°
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和与多边形的外角和，掌握多边形的内角和与外角定理是关键．
8．【考点】函数关系
【分析】根据表格数据可得每度电的费用及二者的函数关系，据此求解即可．
解：解：A、由于应交电费随用电量的增加而增大，故x、y都是变量，x是自变量，y是因变量，故选项正确，不符合题意；
B、根据表格中的数据可知：用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，故选项正确，不符合题意；
C、用电量为8千瓦时时，应交电费=0.55×8=4.4（元），故选项正确，不符合题意；
D、由表可知：所交电费为3.85元时，用电量为7千瓦时，故选项错误，符合题意；
故选D．
【点评】题目主要考查根据表格得出相应的函数关系，理解题意，由表格得出相关信息是解题关键．
9．【考点】直角三角形的性质，平面直角坐标系
【分析】分别讨论，，三种情况，求出点坐标即可得出答案．
解：
如图，当时，点与点横坐标相同，

代入中得：，
，
当时，点与点横坐标相同，
，
代入中得：，
，
当时，取中点为点，过点作交于点，
设，
，，
，，
，
，
，
，
在中，，
解得：，
，
点有3个．
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形的性质与平面直角坐标系，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
10．【考点】旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【分析】①证明得，当点E不是的中点时，，由此判断①；
②由全等三角形性质得，，，则为等腰直角三角形，判断②；
③由，得，进而得，可判断③；
④根据等腰直角三角形的性质，，根据随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，从而判断④；
⑤当不是的平分线时，，此时，由此判断⑤．
解：①∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点P为BC的中点，
∴，，
∵是直角，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，
当点E不是的中点时，，
故①错误；
②∵，，
∴为等腰直角三角形，
故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④根据等腰直角三角形的性质，，
所以，随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，
故④错误；
⑤∵，AB＝AC，
∴，
当不是的平分线时，，
此时，
故⑤错误；
故②③正确，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．
11．【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的被开方数即可求解．
解：解：根据题意，得
，
解得，；
故答案为：．
【点评】考查了二次根式的意义和性质，解题的关键是掌握概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．【考点】姐一元二次方程
【分析】运用因式分解法求解即可.
解：∵x2＋2x－3＝0，
∴(x+3)(x−1)=0，
∴x+3=0或x−1=0，
∴x=1，x=-3.
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握计算法则是解题关键.
13．【考点】根的判别式，完全平方公式
【分析】先计算判别式得到∆=，根据方程有两个整数根确定∆必为完全平方数，由此得到整数k的值.
解：由题意得∆=，
∵方程有两个整数根，
∴∆必为完全平方数，
而k是整数，
∴k-8=0，
∴k=8，
故答案为：8.
【点评】此题考查一元二次方程的根的判别式，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键.
14．【考点】垂直平分线的性质，勾股定理
【分析】连接AE，由垂直平分线的性质可得AE=BE，利用勾股定理可得BC=4，设CE的长为x，则BE=4-x，在△ACE中利用勾股定理可得x的长，即得CE的长．
解：解：连接AE，

∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
由勾股定理得BC=4，
设CE的长为x，则BE=AE=4-x，在Rt△ACE中，
由勾股定理得：x2+32=（4-x）2，
解得：x=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．
15．【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质
【分析】作AF⊥BC，判断出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF＝AE即可．
解：如图，

作AF⊥BC，
∵AD=BD，
∴，
∵BE⊥AD，
∴∠AFB＝∠BEA，
在△ABF和△BAE中，，
∴△ABF≌△BAE（AAS），
∴BF＝AE，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝BC，
∴BC＝2AE=．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．
16．【考点】矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于ABCD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
解：解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，，

四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：2；
（2）如图2，过作，交延长线于，连接，

∵ABCD，
，
∵HEGF，
，
，
在和中，

，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
∴，
设，则，
在中，，
，
，
即，
，
，
的最小值为，此时，
的最大值为8时，，
在点的运动过程中，的面积的取值范围为：；
故答案为：；
【点评】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17．【考点】解二元一次方程组
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
解：解：，
由②得：③，
把③代入①得：，即，
把代入③得：，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法解方程是解本题的关键．
18．【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质
【分析】由“AAS”可证ABCDEF，可得BC=EF，从而可证BE=CF．
解：证明：∵ACDF，
∴∠ACB=∠F．
∵ABDE，
∴∠B=∠DEF，
在ABC和DEF中
，
∴ABCDEF（AAS）．
∴BC=EF．
∴BC−EC=EF−EC．
∴BE=CF．
【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ABCDEF是解题的关键．
19．【考点】平方差公式的应用
【分析】（1）根据前三个式子的规律可得第四个式子为32=92-72；
（2）利用平方差公式计算（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n•2=8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
解：（1）由①8=32- 12，②16=52-32，③24=72-52，
可知32=92-72.；
（2）由连续奇数2n-1，2n+1(n为正整数)构造的奇特数是8的倍数.理由如下:
(2n+1)2- (2n-1)2 =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)= 8n.
【点评】本题考查了平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b）．也考查了代数式的变形能力．
20．【考点】条形统计图，扇形统计图
【分析】(1)用一等奖的人数除以所占的百分比求出总人数;
(2)用总人数乘以二等奖的人数所占的百分比求出二等奖的人数，补全统计图，再用360°乘以二等奖的人数所占的百分比即可求出“二等奖”对应的扇形圆心角度数;
(3)用获得一等奖和二等奖的人数除以总人数即可得出答案.
解：解：（1）这次知识竞赛共有学生=200（名）；
（2）二等奖的人数是：200×（1﹣10%﹣24%﹣46%）=40（人），
补图如下：

“二等奖”对应的扇形圆心角度数是：360°×=72°；
（3）小华获得“一等奖或二等奖”的概率是： =．
【点评】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，利用统计图获取信息是解本题的关键.
21．【考点】一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）根据题意可知：甲旅行社收费=10名家长代表×40+学生数×40×50%；乙旅行社收费=（10名家长代表+学生数）×40×60%，代入学生数即可求出收费；
（2）设学生人数为x，分别表示出甲旅行社的收费：10×40+40×50%•x，乙旅行社的收费是：（10+x）×40×60%，根据省钱情况可列出不等式，再解不等式即可．
解：（1）设学生人数为x时，两家旅行社的收费一样．
由题意得，10×40+40x×50%=（10+x）×40×60%，
解得：x=40，
∴当学生人数为40时，两家旅行社的收费一样；
（2）设学生人数为x时，选择甲旅行社更省钱，
甲旅行社的收费是：10×40+40×50%•x=400+20x，
乙旅行社的收费是：（10+x）×40×60%=240+24x，
选择甲旅行社更省钱时：10×40+40×50%•x＜（10+x）×40×60%，
解得：x＞40．
∴旅行人数多于40+10=50（人）．
∴当旅行人数多于50人时，选择甲旅行社更省钱．
【点评】此题主要考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，正确理解甲、乙两个旅行社的收费标准；找到相应的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
22．【考点】作图——复杂作图，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【分析】（1）依据角平分线的作图方法即可完成作图，根据等腰三角形三线合一即可得依据；
（2）分别证明点A和点C在线段BD的垂直平分线上，即可说明理由；
（3）连接AC，BD相交于点，分别延长BA和CD相交于点，两个交点所在直线即为所求．
解：解：（1）作图如下：

得出“AP⊥BC”的依据是：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；
故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；
（2）∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，∠ABD=∠ADB
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是对角线BD的垂直平分线；
（3）如图，直线n即为所求．

【点评】本题主要考查了作图——复杂作图，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
23．【考点】一次函数的性质，坐标与图形.
【分析】（1）把A（8，0）的坐标代入函数解析式即可；
（2）①由四边形,则在线段上时，如图，利用四边形OECD的面积是9，再列方程解题即可；②分三种情况讨论，如图，当在线段上时， 当在的延长线上时，当在的延长线时，设再利用四边形OECD的周长是10，列方程求解即可.
解：解：（1） 直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），
解得：
故答案为：
（2）①由（1）得：
令 则 即

点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），

设
由四边形OECD的面积是9，则在线段上，

解得： 则

②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，
轴，轴，
如图，当在线段上时，设

则
四边形OECD的周长是10，

解得： 则

当在的延长线上时，

同理可得：

解得： 则

当在的延长线时，如图，

四边形的周长大于,故不符合题意，舍去，
综上：或.
【点评】本题考查的是一次函数的性质，坐标与图形，掌握“利用周长与面积列方程”是解本题的关键.
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0），当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为（b，b2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，解方程即可得到结论；
（4）分两种情况讨论：①当抛物线为y＝－x2＋2x 时，②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
解：解：（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：，令y=0，得：x=，
∴ S==；
（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y＝－x2＋2bx=，
∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：，
∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，
∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．
（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），
∴Q（a，0），
则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．
∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．
②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（a，0），
则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．
∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．
综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．
【点评】本题是二次函数综合题，相似三角形的性质．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．
25．【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线
【分析】（1）证明，即可．
（2）有两种情形：选①，为菱形．选②，为矩形，利用菱形和矩形的判定方法进行证明即可；
（3）过P作于G，过P作，交于H，依据，即可得出四边形是平行四边形，依据，即可得出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，过点作，连接，则：，当与点重合时，的值最大，即为的长，利用斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，利用面积公式进行计算即可．
解：（1）解：∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同法可证，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形；
（2）解：选①，为菱形．
理由：当时，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
选②，为矩形．
理由：当时，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
故答案为：①，菱形或②，矩形．
（3）如图所示，过P作于G，过P作，交于H，

∵，
∴，
∵是正三角形，，
∴，
∴，即点C、P、H在一条直线上，
同（1）可得：四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
又，
∴当最大时，最大，  
过点作，连接，则：，当与点重合时，的值最大，即为的长，
∵为等三角形，
∴，
∵，
∴，    
∴，
∴四边形面积的最大值是