数学选修2（理科）导数课时训练

这是一份数学选修2（理科）导数课时训练，共30页。试卷主要包含了处的切线方程为，已知，且，对于任意均有，则，，则　　，已知函数，是的反函数，则　　，已知函数等内容，欢迎下载使用。

1．（2020•新课标Ⅲ）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为
A．B．C．D．
2．（2020•新课标Ⅰ）函数的图象在点，（1）处的切线方程为
A．B．C．D．
3．（2020•浙江）已知，且，对于任意均有，则
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
4．（2020•江苏）在平面直角坐标系中，已知，，、是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是 ．
5．（2020•江苏）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式．已知点到的距离为40米．
（1）求桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？
6．（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则 ．
7．（2020•新课标Ⅰ）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．
8．（2020•上海）已知函数，是的反函数，则 ．
三．解答题（共11小题）
9．（2020•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
10．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
11．（2020•新课标Ⅱ）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
12．（2020•新课标Ⅱ）已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
13．（2020•新课标Ⅲ）设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．
（1）求；
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
14．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
15．（2020•江苏）已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
16．（2020•浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
17．（2020•北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
18．（2020•海南）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
19．（2020•天津）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．
2020年的导数题
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2020•新课标Ⅲ）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为
A．B．C．D．
【分析】根据直线与圆相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线求一解可得答案；
【解答】解：直线与圆相切，那么圆心到直线的距离等于半径，
四个选项中，只有，满足题意；
对于选项：与联立，可得，此时无解；
对于选项：与联立，可得，此时解得；
直线与曲线和圆都相切，方程为，
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题，采用选项检验，排除思想做题，有时事半功倍．
2．（2020•新课标Ⅰ）函数的图象在点，（1）处的切线方程为
A．B．C．D．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求得（1），然后利用直线方程的点斜式求解．
【解答】解：由，得，
（1），
又（1），
函数的图象在点，（1）处的切线方程为，
即．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．
3．（2020•浙江）已知，且，对于任意均有，则
A．B．C．D．
【分析】设，求得的零点，根据在上恒成立，讨论，的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论．
【解答】解：设，可得的图象与轴有三个交点，
即有三个零点，，且，
由题意知，在上恒成立，则，，，
可得，恒成立，排除，；
我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．
则有或或三种情况，此时显然成立；
若，则不成立；
若，即，可得，且和都在正半轴上，符合题意，
综上恒成立．
故选：．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，注意三次函数的图象，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
4．（2020•江苏）在平面直角坐标系中，已知，，、是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是 ．
【分析】求得圆的圆心和半径，作所在直径，交于点，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．
【解答】解：圆的圆心，半径为6，
如图，作所在直径，交于点，
因为，，所以，为垂径，
要使面积最大，则，位于的两侧，
并设，可得，故，，
可令，
，，
设函数，，
，
由，解得舍去），
显然，当，，递减；当时，，递增，
结合在递减，故时，最大，此时，
故，
则面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．
5．（2020•江苏）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式．已知点到的距离为40米．
（1）求桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？
【分析】（1）由题意可令，求得，即的长，再令，求得，可得；
（2）可设，则，，求得总造价，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值．
【解答】解：（1），
点到的距离为40米，可令，
可得，
即为，由题意可设，
由，解得，
则米；
（2）可设，则，由，可得，
总造价为
，
，由，当时，，函数递减；
当时，，函数递增，所以当时，取得最小值，即总造价最低．
答：（1）桥长为120米；（2）为20米时，桥墩与的总造价最低．
【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
6．（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则 1 ．
【分析】先求出函数的导数，再根据（1），求得的值．
【解答】解：函数，，
若（1），，则，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．
7．（2020•新课标Ⅰ）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．
【分析】求得函数的导数，设切点为，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．
【解答】解：的导数为，
设切点为，可得，
解得，即有切点，
则切线的方程为，即，
故答案为：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
8．（2020•上海）已知函数，是的反函数，则 ， ．
【分析】由已知求解，然后把与互换即可求得原函数的反函数．
【解答】解：由，得，
把与互换，可得的反函数为．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．
三．解答题（共11小题）
9．（2020•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）．，
时，，在递增，
时，令，解得：或，
令，解得：，
在递增，在，递减，在，递增，
综上，时，在递增，
时，在递增，在，递减，在，递增；
（2）由（1）得：，，，
若有三个零点，
只需，解得：，
故．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题．
10．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【分析】（1）求得时，的解析式，两次对求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；
（2）讨论，不等式恒成立；时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而得到所求范围．
【解答】解：（1）当时，，
，设，
因为，可得在上递增，即在上递增，
因为，所以当时，；当时，，
所以的增区间为，减区间为；
（2）当时，恒成立，
①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，
设，则
，
可设，可得，，
由，可得恒成立，可得在递增，
所以，
即恒成立，即在递增，所以，
再令，可得，当时，，在递增；
时，，在递减，所以（2），
所以，
综上可得的取值范围是，．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，主要考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．
11．（2020•新课标Ⅱ）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
【分析】（1）等价于．设，利用导数求其最大值，再由大于等于的最大值，即可求得的取值范围；
（2），，，可得令，利用导数求得（a），即，可得在和上单调递减．
【解答】解：（1）等价于．
设，．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
在时取得极大值也就是最大值为（1），
，即．
则的取值范围为，；
（2），，．
．
令，
则，
令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减．
（a），即，
在和上单调递减．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
12．（2020•新课标Ⅱ）已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
【分析】（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出，
（2）根据导数和函数最值的关系即可证明，
（3）利用（2）的结论，根据指数函数的性质即可证明．
【解答】解：（1），
，
令，解得，，或，
当或，时，，当，时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减．
证明：（2），
由（1）可知，，
，，
为周期函数且周期为，
；
（3）由，
，
，
．
【点评】本题考查了导数和函数的单调性的和极值最值的关系，不等式的证明，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．
13．（2020•新课标Ⅲ）设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．
（1）求；
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得，由此求得值；
（2）法一、设为的一个零点，根据题意，，且，得到，且，对求导数，可得在，上的单调性，得到．设 为的零点，则必有，可得，由此求得的范围得答案；
法二、由（1）可得的解析式，求其导函数，得到函数的单调区间，假设的所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或（1），可得或．然后分或推出与题设矛盾的结论即可．
【解答】（1）解：由，得，
，即；
（2）证明：法一、设为的一个零点，根据题意，，且，
则，且，
令，
，
当，，时，，当，时，
可知在，，上单调递减，在，上单调递增．
又，（1），，，
．
设 为的零点，则必有，
即，
，得，
即．
所有零点的绝对值都不大于1．
法二、由（1）可得，．
，
可得当，，时，，当，时，，
则在，，上单调递增，在，上单调递减．
且，，，（1），
若的所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或（1）．
即或．
当时，，，，（1），
又，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一一个零点．
即在上存在唯一零点，在上不存在零点．
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，，，（1），
又，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一一个零点．
即在上存在唯一零点，在上不存在零点．
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾．
综上，所有零点的绝对值都不大于1．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，涉及导数的几何意义与反证法，是中档题．
14．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【分析】（1）当时，，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；
（2）当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；当时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得的取值范围．
【解答】解：由题意，的定义域为，且．
（1）当时，，令，解得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
的极小值也是最小值为．
又当时，，当时，．
要使有两个零点，只要即可，
则，可得．
综上，若有两个零点，则的取值范围是，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题．
15．（2020•江苏）已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
【分析】（1）由得，求导可得，能推出函数的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得，再进行检验即可．
（2）由题可知，设，求导分析单调性可得，（1），那么要使的，则；令为二次函数，则要使得，分两种情况，当时，当时进行讨论，进而得出答案．
（3）因为，求导，分析单调性及图象得函数的图象在处的切线为：，可推出直线为函数的图象在处的切线．进而在区间上恒成立；在分析，设，两根为，，由韦达定理可得，，所以，再求最值即可得出结论．
【解答】解：（1）由得，
又，，所以，
所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，
经检验：，符合任意，
（2），
设，设，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（1），
所以当时，，
令
所以，得，
当时，即时，在上单调递增，
所以，，
所以，
当时，即时，
△，即，
解得，
综上，，．
（3）因为，所以，
所以函数的图象在处的切线为：
，
可见直线为函数的图象在处的切线．
由函数的图象可知，当在区间上恒成立时，，，
又由，得，
设方程的两根为，，则，，
所以，
，则，，由图象可知，，
设，则，
所以当，时，，单调递减，
所以（1），
故，即．
【点评】本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于难题．
16．（2020•浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）推导出时，恒成立，，（2），由此能证明函数在上有唯一零点．
（Ⅱ），从而，进而，令，，，利用导数性质能证明．
要证明，只需证明，只需证，由此能证明．
【解答】证明：（Ⅰ），恒成立，
在上单调递增，
，（2），又，
函数在上有唯一零点．
（Ⅱ），，
，，
令，，，
一方面，，，
，在单调递增，
，
，，
另一方面，，，
当时，成立，
只需证明当时，，
，，，
当时，，当时，，
，（1），，（1），
，在单调递减，
，，
综上，，
．
要证明，只需证，
由得只需证，
，只需证，
只需证，即证，
，，
，
．
【点评】本题考查函数有唯一零点、不等式的证明，导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查转化思想和运算求解能力，是中档题．
17．（2020•北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【分析】（Ⅰ）求得的导数，设切点为，可得切线的斜率，解方程可得，，进而得到切线的方程；
（Ⅱ）求得切线的斜率和方程，分别令，，求得切线的横截距和纵截距，可得三角形的面积，考虑的情况，求得导数和单调区间、极值，然后求出的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）的导数，
令切点为，可得切线的斜率为，
，，
切线的方程为；
（Ⅱ）曲线在点，处的切线的斜率为，
切线方程为，
令，可得，令，可得，
，
由，可知为偶函数，
不妨设，则，
，
由，得，
当时，，递增；当时，，递减，
则在和处取得极小值，且为最小值32，
所以的最小值为32．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（2020•海南）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；
（2）方法一：不等式等价于，令，根据函数单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出的范围；
方法二：构造两个基本不等式，，则原不等式转化为，再分类讨论即可求出的取值范围，
方法三：利用分类讨论的思想，当，此时不符合题意，当时，，令，
再根据导数和函数最值的关系即可证明，
方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出，，再求出的范围，再利用导数求的范围，即可求出的范围．
方法五：等价于，构造函数（a），利用导数求出函数的最值，即可求出的范围．
【解答】解：（1）当时，，
，
（1），
（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
当时，，当时，，
曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
（2）方法一：由，可得，即，
即，
令，
则，
在上单调递增，
，
即，
令，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（1），
，
，
故的范围为，．
方法二：由可得，，，
即，
设，
恒成立，
在单调递增，
，
，
即，
再设，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
，
即
，则，
此时只需要证，
即证，
当时，
恒成立，
当时，，此时不成立，
综上所述的取值范围为，．
方法三：由题意可得，，
，
易知在上为增函数，
①当时，（1），，
存在使得，
当时，，函数单调递减，
（1），不满足题意，
②当时，，，
，
令，
，
易知在上为增函数，
（1），
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
即，
综上所述的取值范围为，．
方法四：，，，
，易知在上为增函数，
在上为增函数，在0，上为减函数，
与在0，上有交点，
存在，使得，
则，则，即，
当时，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增，
设，
易知函数在上单调递减，且（1），
当，时，，
，时，，
设，，，
恒成立，
在，上单调递减，
（1），
当时，，
，
．
方法五：等价于，该不等式恒成立．
当时，有，其中．
设（a），则（a），
则（a）单调增，且（1）．
所以若成立，则必有．
下面证明当时，成立．
，
把换成得到，
，．
．
综上，．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．
19．（2020•天津）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；
（Ⅱ）要证不等式成立，只要证明，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．
【解答】解：当时，，
故，
（1），
（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，即．
，，
，
令，解得，
当，，
当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
是极小值点，极小值为（1），无极大值
证明：（Ⅱ）由，则，
对任意的，，，且，令，，
则，
，
，①
令，，
当时，，
在单调递增，
当，（1），即，
，，，
，②，
由（Ⅰ）可知当时，（1）
即，③，
由①②③可得，
当时，对任意的，，，且，有．
【点评】本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/10/9 14:13:21；用户：13102673937；邮箱：13102673937；学号：24072549 ，

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