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人教版选修2（理科）导数同步练习题
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这是一份人教版选修2（理科）导数同步练习题，共60页。试卷主要包含了的取值范围是，处的切线方程是，已知直线与曲线相切，则的值为，设函数，则，函数在点处的切线方程为等内容，欢迎下载使用。
1．（2009•安徽）设函数，其中，，则导数（1）的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
2．（2009•天津）设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是
A．B．C．D．
3．（2009•安徽）已知函数在上满足，则曲线在点，（1）处的切线方程是
A．B．C．D．
4．（2009•全国卷Ⅰ）已知直线与曲线相切，则的值为
A．1B．2C．D．
5．（2009•天津）设函数，则
A．在区间，，内均有零点
B．在区间，，内均无零点
C．在区间，内无零点，在区间内有零点
D．在区间，内有零点，在区间内无零点
6．（2009•江西）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或B．或C．或D．或7
7．（2009•湖南）若函数的导函数在区间，上是增函数，则函数在区间，上的图象可能是
A．B．
C．D．
8．（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是
A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面
9．（2009•陕西）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为
A．B．C．D．1
10．（2009•全国卷Ⅱ）函数在点处的切线方程为
A．B．C．D．
11．（2009•江西）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为，则曲线在点，（1）处切线的斜率为
A．4B．C．2D．
12．（2009•全国）若函数在是增函数，则常数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
二．填空题（共6小题）
13．（2009•江苏）函数的单调减区间为 ．
14．（2009•辽宁）若函数在处取极值，则 ．
15．（2009•福建）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 ．
16．（2009•湖北）已知函数，则的值为 ．
17．（2009•海南）曲线在点处的切线方程为 ．
18．（2009•江苏）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标为 ．
三．解答题（共30小题）
19．（2009•北京）设函数．
（Ⅰ）若曲线在点，（2）处与直线相切，求，的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点．
20．（2009•江西）设函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求不等式的解集．
21．（2009•辽宁）设，且曲线在处的切线与轴平行．
（1）求的值，并讨论的单调性；
（2）证明：当．
22．（2009•天津）设函数，其中．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线的斜率；
（2）求函数的单调区间与极值；
（3）已知函数有三个互不相同的零点0，，，且，若对任意的，，（1）恒成立，求的取值范围．
23．（2009•全国卷Ⅰ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程．
24．（2009•福建）已知函数，且．
（1）试用含的代数式表示；
（2）求的单调区间；
（3）令，设函数在、处取得极值，记点，，，．证明：线段与曲线存在异于，的公共点．
25．（2009•重庆）已知为偶函数，曲线过点，．
（1）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
（2）若当时函数取得极值，确定的单调区间．
26．（2009•福建）已知函数，且．
（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；
（2）令，设函数在，处取得极值，记点 ，，，，，，，请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解释以下问题：
（Ⅰ）若对任意的，，线段与曲线均有异于，的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论；
（Ⅱ）若存在点，，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必给出求解过程）．
27．（2009•黑龙江）设函数，其中常数，
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围．
28．（2009•陕西）已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
29．（2009•全国卷Ⅰ）设函数有两个极值点、，且，，，．
（1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
（2）证明：．
30．（2009•全国卷Ⅱ）设函数有两个极值点、，且，
（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：．
31．（2009•湖南）已知函数的导函数的图象关于直线对称．
（1）求的值；
（2）若在处取得极小值，记此极小值为，求的定义域和值域．
32．（2009•辽宁）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意，，，有．
33．（2009•湖北）在上定义运算：、是常数），已知，，．
①如果函数在处有极值，试确定、的值；
②求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
③记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围．（参考公式：
34．（2009•陕西）已知函数，，其中．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若的最小值为1，求的取值范围．
35．（2009•海南）已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
36．（2009•北京）设函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
37．（2009•天津）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值．
38．（2009•四川）已知且，函数．
（1）求函数的定义域，并判断的单调性；
（2）若，求；
（3）当为自然对数的底数）时，设．若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值．
39．（2009•重庆）设函数在处取得极值，且曲线在点，（1）处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
40．（2009•海南）已知函数．
（1）设，求函数的极值；
（2）若，且当，时，恒成立，试确定的取值范围．
41．（2009•浙江）已知函数，．
（Ⅰ）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值；
（Ⅱ）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
42．（2009•安徽）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）设，求在区间，上值域．期中是自然对数的底数．
43．（2009•四川）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值．
44．（2009•山东）已知函数，其中．
（1）当，满足什么条件时，取得极值？
（2）已知，且在区间，上单调递增，试用表示出的取值范围．
45．（2009•湖北）已知关于的函数，其导函数为．令，记函数在区间、上的最大值为．
（Ⅰ）如果函数在处有极值，试确定、的值：
（Ⅱ）若，证明对任意的，都有
（Ⅲ）若对任意的、恒成立，试求的最大值．
46．（2009•浙江）已知函数，，其中．
（Ⅰ）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
47．（2009•安徽）已知函数，，讨论的单调性．
48．（2009•全国）曲线按向量平移后得到的曲线与直线相切，求的值以及与公共点的坐标．
2009年的导数题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2009•安徽）设函数，其中，，则导数（1）的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】利用基本求导公式先求出，然后令，求出（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．
【解答】解：，
（1）．
，，
，．
，．
，．
故选：．
【点评】本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．
2．（2009•天津）设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是
A．B．C．D．
【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．
【解答】解：，
令，则，故可排除，．
如果，时 已知条件 成立，
但 未必成立，所以也是错的，故选
故选：．
【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．
3．（2009•安徽）已知函数在上满足，则曲线在点，（1）处的切线方程是
A．B．C．D．
【分析】对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．
【解答】解：
（1）（1）
（1）
（1）（1）
（1）
切线方程为：即
故选：．
【点评】本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程．
4．（2009•全国卷Ⅰ）已知直线与曲线相切，则的值为
A．1B．2C．D．
【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．
【解答】解：设切点，，则，，
又
，
．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线
5．（2009•天津）设函数，则
A．在区间，，内均有零点
B．在区间，，内均无零点
C．在区间，内无零点，在区间内有零点
D．在区间，内有零点，在区间内无零点
【分析】先对函数进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．
【解答】解：由题得，令得；
令得；得，
故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，
在点处有极小值；又，，．
故选：．
【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
6．（2009•江西）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或B．或C．或D．或7
【分析】已知点不在曲线上，容易求出过点的直线与曲线相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与相切，只有一个公共点，两个方程联立，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出的值．
【解答】解：由，设曲线上任意一点，处的切线方程为，代入方程得或
①当时，切线方程为，此直线是的切线，故仅有一解，由△，解得
②当时，切线方程为，由，
或．
故选：．
【点评】熟练掌握导数的几何意义，本题是直线与曲线联立的题，若出现形如的式子，应讨论是否为0．
7．（2009•湖南）若函数的导函数在区间，上是增函数，则函数在区间，上的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断．
【解答】解：函数的导函数在区间，上是增函数，
对任意的，有（a）（b），
也即在，， “，处它们的斜率是依次增大的．
满足上述条件，
存在，
对任意的，，
对任意的，，不满足逐项递增的条件，
故选：．
【点评】掌握函数的单调性与导函数的关系，并会观察图形．
8．（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是
A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面
【分析】利用定积分求面积的方法可知时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在时刻甲在乙的前面；又因为在时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到正确，、、错误．
【解答】解：当时间为时，利用定积分得到甲走过的路程，乙走过的路程；
当时间为时，利用定积分得到甲走过的路程，而乙走过的路程；
从图象上可知，所以在时刻，即甲的路程大于乙的路程，正确；时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以错；在时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，错；时刻后，时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以错．
故选：．
【点评】考查学生利用定积分求图形面积的能力，以及会观察函数图象并提取有价值数学信息的能力，数形结合的数学思想的运用能力．
9．（2009•陕西）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为
A．B．C．D．1
【分析】欲判的值，只须求出切线与轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：对求导得，
令得在点处的切线的斜率，在点
处的切线方程为，
不妨设，
则，
故选：．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．
10．（2009•全国卷Ⅱ）函数在点处的切线方程为
A．B．C．D．
【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：依题意得，
因此曲线在点处的切线的斜率等于，
相应的切线方程是，即，
故选：．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
11．（2009•江西）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为，则曲线在点，（1）处切线的斜率为
A．4B．C．2D．
【分析】欲求曲线在点，（1）处切线的斜率，即求（1），先求出，然后根据曲线在点，（1）处的切线方程为求出（1），从而得到的解析式，即可求出所求．
【解答】解：．
在点，（1）处的切线方程为，
（1），（1）（1），
在点，（1）处切线斜率为4．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．
12．（2009•全国）若函数在是增函数，则常数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【分析】“函数在是增函数”即表示“导函数在上恒成立”，再利用导数来研究函数的单调性和最值，即可求出的范围．
【解答】解：函数在是增函数，
在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，，
令，解得，
从而得出在上单调递减，在，上单调递增，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了恒成立问题的解法，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
二．填空题（共6小题）
13．（2009•江苏）函数的单调减区间为 ．
【分析】要求函数的单调减区间可先求出，并令其小于零得到关于的不等式求出解集即可．
【解答】解：
，
解得，故减区间为．
故答案为：
【点评】此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．
14．（2009•辽宁）若函数在处取极值，则 3 ．
【分析】先求出，因为处取极值，所以1是的根，代入求出即可．
【解答】解：．
因为在1处取极值，
所以1是的根，
将代入得．
故答案为3
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力．
15．（2009•福建）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 ．
【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于轴的切线，得到此时斜率为0，问题转化为范围内导函数存在零点，再将之转化为与存在交点，讨论的正负进行判定即可．
【解答】解：由题意该函数的定义域，由．
因为存在垂直于轴的切线，
故此时斜率为0，问题转化为范围内导函数存在零点．
再将之转化为与存在交点．当不符合题意，
当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，
当如图2，此时正好有一个交点，故有．
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．
16．（2009•湖北）已知函数，则的值为 1 ．
【分析】利用求导法则：及，求出，然后把等于代入到中，利用特殊角的三角函数值即可求出的值，把的值代入到后，把代入到中，利用特殊角的三角函数值即可求出的值．
【解答】解：因为
所以
解得
故
故答案为1．
【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．
17．（2009•海南）曲线在点处的切线方程为 ．
【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；
【解答】解：，，
切线方程为，．
故答案为：
【点评】本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．
18．（2009•江苏）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标为 ．
【分析】先设切点，，根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．
【解答】解：设，，由题意知：，
．
，
．
点的坐标为．
故答案为：
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，本题属于基础题．
三．解答题（共30小题）
19．（2009•北京）设函数．
（Ⅰ）若曲线在点，（2）处与直线相切，求，的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点．
【分析】（1）已知函数的解析式，把点，（2）代入，再根据在点，（2）处与直线相切，求出，的值；
（2）由题意先对函数进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；
【解答】解：（Ⅰ），
曲线在点，（2）处与直线相切，
（Ⅱ），
当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
此时是的极大值点，是的极小值点．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
20．（2009•江西）设函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求不等式的解集．
【分析】（1）对函数进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．
（2）将代入不等式即可求解．
【解答】解：（1）
由，得，
因为当时，；
当时，；当时，；
所以的单调增区间是：，；单调减区间是：，，
（2）由，
得：，
故：当时，解集是：；
当时，解集是：；
当时，解集是：．
【点评】本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
21．（2009•辽宁）设，且曲线在处的切线与轴平行．
（1）求的值，并讨论的单调性；
（2）证明：当．
【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据在处的导数值等于其切线的斜率可求的值，然后当时可求函数的单调递减区间，当时可求函数的单调递增区间．
（2）先确定函数在，单调增，求出最大值和最小值，故根据任意，，，有，将、代入即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）．
由条件知，（1），故．
于是．
故当或时，；
当时，．
从而在，单调减少，在单调增加．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在，单调增加，
故在，的最大值为（1），
最小值为．
从而对任意，，，有．
而当时，，，．
从而
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
22．（2009•天津）设函数，其中．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线的斜率；
（2）求函数的单调区间与极值；
（3）已知函数有三个互不相同的零点0，，，且，若对任意的，，（1）恒成立，求的取值范围．
【分析】（1），易得函数在所求点的斜率．
（2）当，函数单增，时单减，令的点为极值点．
（3）由题意属于区间，的点的函数值均大于（1），由此计算的范围．
【解答】解：（1）当，
故（1），所以曲线在点处的切线的斜率为1．
方程为，即为（2分）
（2），令，解得或．
，所以，当变化时，，的变化情况如下表：
在，内是减函数，在内是增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．（6分）
（3）由题设，，
方程有两个相异的实根，，
故，
解得，（8分）
，所以，
故．（10分）
①当时，（1），而，不符合题意，
②当时，对任意的，，都有，，，
则，又，所以在，上的最小值为0，
于是对任意的，，（1）恒成立的充要条件是（1），
解得，
由上，
综上，的取值范围是，．（14分）
【点评】本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系．
23．（2009•全国卷Ⅰ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程．
【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．
（2）根据已知，只需求出在点处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．
【解答】解：（Ⅰ）
令得或；
令得或
因此，在区间和为增函数；
在区间和为减函数．
（Ⅱ）设点，，
由过原点知，的方程为，
因此，即，
整理得，解得或．
所以的方程为或
【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．
24．（2009•福建）已知函数，且．
（1）试用含的代数式表示；
（2）求的单调区间；
（3）令，设函数在、处取得极值，记点，，，．证明：线段与曲线存在异于，的公共点．
【分析】（1）据求导法则求出导函数，代入已知条件得关系．
（2）令导数为0得两个根，分类讨论两个根大小判断根左右两边导数的符号，得函数单调性．
（3）由（2）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共点．
【解答】解：解法一：（1）依题意，得
．
由得．
（2）由（1）得，故．
令，则或．
①当时，．
当变化时，与的变化情况如下表：
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
②当时，．此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为．
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为．
综上所述：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
（3）当时，得．
由，得，．
由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为，
所以函数在，处取得极值．故，．
所以直线的方程为．
由得．
令．
易得，（2），而的图象在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于，的公共点．
解法二：（1）同解法一．
（2）同解法一．
（3）当时，得．
由，得，．
由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在，处取得极值，
故，．
所以直线的方程为．
由．
解得，，．
，，
所以线段与曲线有异于，的公共点．
【点评】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．
25．（2009•重庆）已知为偶函数，曲线过点，．
（1）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
（2）若当时函数取得极值，确定的单调区间．
【分析】（1）据偶函数的定义求出值，将点代入得值，据导数在切点处的导数值为切线斜率，
有有实数解，由△得范围．
（2），函数在极值点处的导数值为0，导数大于0对应区间是单调递增区间；导数小于0对应区间是单调递减区间．
【解答】解：（1）为偶函数，故即有
解得
又曲线过点，得，有
从而，
曲线有斜率为0的切线，故有有实数解．即有实数解．
此时有△解得
，，所以实数的取值范围：，，；
（2）因时函数取得极值，故有即，解得
又令，得，
当时，，故在上为增函数
当时，，故在上为减函数
当时，，故在上为增函数．
【点评】本题考查偶函数的定义；利用导数几何意义求曲线切线方程；利用导数求函数单调区间．
26．（2009•福建）已知函数，且．
（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；
（2）令，设函数在，处取得极值，记点 ，，，，，，，请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解释以下问题：
（Ⅰ）若对任意的，，线段与曲线均有异于，的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论；
（Ⅱ）若存在点，，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必给出求解过程）．
【分析】（1）欲求：“的单调区间”，对于三次函数而言，利用导数解决，本题还得对字母进行讨论；
（2）存在性问题，结合观察的图象，帮助分析问题．
【解答】解：（1）依题意，得，
由得
从而，
故
令，得或
①当时，
当变化时，根据与的变化情况得，
函数的单调增区间为和，单调减区间为
②当时，，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为、
③当时，，同理可得，函数的单调增区间为和，
单调减区间为
综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（2）（Ⅰ）由得
令得，
由（1）得增区间为和，单调减区间为，
所以函数在处，处取得极值，故，
观察的图象，有如下现象：
①当从（不含变化到3时，线段的斜率与曲线在点处切线的斜率之差的值由正连续变为负、
②线段与曲线是否有异于，的公共点与的正负有着密切的关联；
③对应的位置可能是临界点，故推测：满足的就是所求的最小值，下面给出证明并确定的最小值、曲线在点，处的切线斜率；
线段的斜率，
当时，解得或，
直线的方程为，
令，
当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又（2），所以在上没有零点，即线段与曲线没有异于，的公共点、
当，时，，
（2），
所以存在，使得，
即当，时，与曲线有异于，的公共点
综上，的最小值为2．
（Ⅱ）类似（1）于中的观察，可得的取值范围为，．
【点评】本题综合考查了函数导数的综合应用，本题是函数的综合题，综合考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的极值，以及存在性问题，有一定的难度，是一道很好的压轴题．
27．（2009•黑龙江）设函数，其中常数，
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．
（2）先将问题转化为求函数在时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定在或处取得最小值，求出最小值，即可得到的范围．
【解答】解：（1）
由知，当时，，
故在区间是增函数；
当时，，
故在区间是减函数；
当时，，
故在区间是增函数．
综上，当时，在区间和是增函数，
在区间是减函数．
（2）由（1）知，当时，在或处取得最小值．
，
由假设知
即解得
故的取值范围是
【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．
28．（2009•陕西）已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
【分析】（1）先确求导数，在函数的定义域内解不等式和，的区间是增区间，的区间是减区间．
（2）先根据极值点求出，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知的范围．
【解答】解析：（1），
当时，对，有，
当时，的单调增区间为
当时，由解得或；
由解得，
当时，的单调增区间为；
的单调减区间为．
（2）因为在处取得极大值，
所以，．
所以，，
由解得，．
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值（1）．
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，
结合的单调性可知，的取值范围是．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档题．
29．（2009•全国卷Ⅰ）设函数有两个极值点、，且，，，．
（1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
（2）证明：．
【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点、是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；
（2）先用消元法消去参数，利用参数表示出的值域，再利用参数的范围求出的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ），（2分）
依题意知，方程有两个根、，且，，，
等价于，，（1），（2）．
由此得，满足的约束条件为（4分）
满足这些条件的点的区域为图中阴影部分．（6分）
（Ⅱ）由题设知，
则，
故．（8分）
由于，，而由（Ⅰ）知，
故．
又由（Ⅰ）知，（10分）
所以．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组与平面区域和不等式的证明，属于基础题．
30．（2009•全国卷Ⅱ）设函数有两个极值点、，且，
（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，令，由题意知、是方程的两个均大于的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间；
（2）是方程的根，将用表示，消去得到关于的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．
【解答】解：
令，其对称轴为．
由题意知、是方程的两个均大于的不相等的实根，
其充要条件为，得
（1）当时，，在内为增函数；
（2）当，时，，在，内为减函数；
（3）当，时，，在，内为增函数；
由，，
设，
则
当时，，在单调递增，
故．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．
31．（2009•湖南）已知函数的导函数的图象关于直线对称．
（1）求的值；
（2）若在处取得极小值，记此极小值为，求的定义域和值域．
【分析】（1）函数的导函数的图象关于直线对称，则求出得到一个二次函数，利用求出即可；（2）求出，由（1）得函数的对称轴为，讨论的取值范围求出的定义域和值域即可．
【解答】解：（1）
因为函数的图象关于直线对称，
所以，于是
（2）由（Ⅰ）知，
（ⅰ）当时，，此时无极值．
当时，有两个互异实根，．
不妨设，则．
当时，，在区间内为增函数；
当时，，在区间，内为减函数；
当时，，在区间，内为增函数．
所以在处取极大值，在处取极小值．
因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以．
于是的定义域为．
由得．
于是，．
当时，
所以函数在区间内是减函数，
故的值域为
【点评】考查学生利用导数求函数函数的单调性及确定函数极值存在位置的能力，以及利用导数求函数最值的能力．利用导数研究函数的单调性是函数的一个极其重要的应用，它大大简化了证明单调性的方法．
32．（2009•辽宁）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意，，，有．
【分析】（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出讨论当时导函数大于0，函数单调递增；当时分类讨论函数的增减性；当时讨论函数的增减性．
（2）构造函数，求出导函数，根据的取值范围得到导函数一定大于0，则为单调递增函数，则利用当时有即可得证．
【解答】解：（1）的定义域为．
若即，则
故在单调增．
若，而，
故，则当时，；
当及时，
故在单调减，
在，单调增．
若，即，
同理可得在单调减，
在，单调增．
（2）考虑函数
则
由于，故，
即在单调增加，
从而当时有，
即，故，
当时，有
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．
33．（2009•湖北）在上定义运算：、是常数），已知，，．
①如果函数在处有极值，试确定、的值；
②求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
③记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围．（参考公式：
【分析】①由题意得到的解析式，求出因为在处有极值得到（1），（1）求出、即可；（2）因为切线的斜率为，则解出时的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；（3）根据题意得到的解析式，利用已知求出的最大值，利用列出不等式求出的取值范围即可．
【解答】解：①依题意，
解
得或．
若，，
，在上单调递减，
在处无极值；若，，
，直接讨论知，
在处有极大值，所以为所求．
②解得或，切点分别为、，
相应的切线为或．
解
得或；
解
即
得或．
综合可知，时，斜率为的切线只有一条，与曲线的公共点只有，时，
斜率为的切线有两条，与曲线的公共点分别为、和
、．
③．若，则在，是单调函数，
，（1），，
因为（1）与之差的绝对值（1），所以．
若，在，取极值，
则，（1），（b），（b）．
若，（1）
；
若，（1）（b），
，（b）．
当，时，在，上的最大值．
所以，的取值范围是．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用导数求曲线上某一点的切线方程的能力．
34．（2009•陕西）已知函数，，其中．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若的最小值为1，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）对函数求导，令（1），即可解出值．
（Ⅱ），对的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．时，在区间上是增函数，
（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当时，由知，的最小值为，恒成立；当时，判断知最小值小于1，此时无解．当时，的单调减区间为，单调增区间为
【解答】解：（Ⅰ），
在处取得极值，（1）
即，解得
（Ⅱ），
，，
①当时，在区间上．
的单调增区间为
②当时，由解得
由
的单调减区间为，单调增区间为
（Ⅲ）当时，由知，的最小值为
当时，由②知，处取得最小值，
综上可知，若的最小值为1，则的取值范围是，
【点评】考查导数法求单调区间与求最值，本类题型是导数的主要运用．
35．（2009•海南）已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
【分析】（1）对函数求导，利用导函数求解单调区间；
（2）利用导函数的性质即函数的单调区间加以证明．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
故
当或时，；
当或时，．
从而在，单调增加，在，单调减少；
（Ⅱ）．
由条件得：（2），即，故，
从而．
因为，
所以．
将右边展开，与左边比较系数得，，．
故．，
又，即．由此可得．
于是．
【点评】本题主要考查了利用导函数求解单调区间的问题，要求同学们掌握好导函数与函数的关系，以及导函数的性质．
36．（2009•北京）设函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
先求出的导数，根据求得的区间是单调增区间，求得的区间是单调减区间即可；
由（Ⅱ）知，若，则当且仅当时，函数，内单调递增，若，则当且仅当时，函数，内单调递增，由此即可求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），，，
曲线在点，处的切线方程为；
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，
，函数单调递减，
当，，时，，
函数单调递增，
若，则当时，
，函数单调递增，
当，，时，
，函数单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数，内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数，内单调递增，
综上可知，函数，内单调递增时，
的取值范围是，，．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．
37．（2009•天津）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值．
【分析】（Ⅰ）把代入到中化简得到的解析式，求出，因为曲线的切点为，（1），所以把代入到中求出切线的斜率，把代入到中求出（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）令求出的值为和，分两种情况讨论：①当时和②当时，讨论的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．
【解答】（Ⅰ）解：当时，，，故（1），
所以曲线在点，（1）处的切线的斜率为，（1），
所以该切线方程为，
整理得：．
（Ⅱ）解：
令，解得，或．由知，．
以下分两种情况讨论．
①若，则．当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，内是增函数，在内是减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
②若，则，当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，内是增函数，在内是减函数
函数在处取得极大值，且，
函数在处取得极小值，且．
【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．
38．（2009•四川）已知且，函数．
（1）求函数的定义域，并判断的单调性；
（2）若，求；
（3）当为自然对数的底数）时，设．若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值．
【分析】（1）据对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于0函数得到递增；导函数小于0函数单调递减．
（2）求出代入极限式，利用特殊函数的极限值求出极限．
（3）求出导函数，令导函数为0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值．
【解答】解：（1）由题意知，
所以当时，的定义域是，时，的定义域是，
当时，，因为，，故，所以是减函数．
当时，，因为，，故，所以是减函数．
（2）因为，所以，由函数定义域知，因为是正整数，故，
所以．
（3），所以，令，即，由题意应有△，即．
①当时，有实根，在点左右两侧均有，故无极值．
②当时，有两个实根，．当变化时，的变化情况如下表：
的极大值为，的极小值为．
③当时，在定义域内有一个实根．
同上可得的极大值为．
综上所述，时，函数有极值．
当时，的极大值为，的极小值为．
当时，的极大值为．
【点评】本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性；利用导数研究函数的极值；在含参数的函数中需要分类讨论．
39．（2009•重庆）设函数在处取得极值，且曲线在点，（1）处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
【分析】（Ⅰ）因为”函数在处取得极值“，则有，再由“曲线在，（1）处的切线与直线相互垂直”，则有（1），从而求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令，有，因为还有参数，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△，函数在上为增函数，（2）当△，在上为增函数（3）△，方程有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）因，故
又在处取得极值，故，
从而，
由曲线在，（1）处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，
即（1），有，从而（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
、
令，有（8分）
（1）当△，即当时，在上恒成立，故函数在上为增函数（10分）
（2）当△，即当时，，时，在上为增函数（12分）
（3）△，即当时，方程有两个不相等实根
当时，故在上为增函数
当时，，故在上为减函数
当时，，故在上为增函数（14分）
【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．
40．（2009•海南）已知函数．
（1）设，求函数的极值；
（2）若，且当，时，恒成立，试确定的取值范围．
【分析】（1）把代入，找出导函数为0的自变量，看在自变量左右两侧导函数的符号来求极值即可．
（2）转化为求导函数的绝对值在，上的最大值即可．
【解答】解：（1）当时，对函数求导数，得．
令，解得，．
列表讨论，的变化情况：
所以，的极大值是，极小值是（3）．
（2）的图象是一条开口向上的抛物线，关于对称．
若，则在，上是增函数，
从而在，上的最小值是（1），最大值是．
由，得，于是有（1），且．
由（1）得，由得．
所以，即．
若，则（a）．故当，时不恒成立．
所以使，恒成立的的取值范围是．
【点评】本题涉及到利用导函数求极值．利用导函数求极值时，须先求导函数为0的根，再根据导函数为0的根左右两侧的符号来求极大值和极小值．
41．（2009•浙江）已知函数，．
（Ⅰ）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值；
（Ⅱ）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求导数：，再利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于，等式解之，从而问题解决．
（Ⅱ）根据题中条件：“函数在区间不单调，”等价于“导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；
【解答】解析：（Ⅰ）由题意得
又，
解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于导函数是二次函数，在有实数根但无重根．
，
令得两根分别为与
若即时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，
当两者不相等时即时
有或者
解得且
综上得参数的取值范围是，，
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
42．（2009•安徽）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）设，求在区间，上值域．期中是自然对数的底数．
【分析】求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性．
由所涉及的单调性来求在区间，上的单调性，确定出函数的最值，即可求出函数的值域．
【解答】解：函数，
，
令
①△，即：，恒成立，此时函数在上是增函数
②△，即：，有两个不等根
由，得或，又
或或
由，得
综上：①，函数在上是增函数
②函数上是增函数，在上是减函数，
（2）当时，由（1）知在上是减函数，在上是增函数，
故函数在，是奇函数，在，上是增函数
又（1），（2），
在区间，上值域是，
【点评】本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．
43．（2009•四川）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值．
【分析】（1）利用（2）和（2）可得关于，的两个方程，解出，即可．
（2）转化为有实根．根据判别式求出对应的根，在找极值即可．
【解答】解：（1）由已知，切点为，故有（2），
即．①
，由已知，（2）．
得．②
联立①、②，解得，，
于是函数解析式为．
（2），
，令．
当函数有极值时，△，方程有实根，
由△，得．
当时，有两个实根，
，，
当变化时，、的变化情况如下表：
故在时，函数有极值；
当时有极大值；
当时有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
44．（2009•山东）已知函数，其中．
（1）当，满足什么条件时，取得极值？
（2）已知，且在区间，上单调递增，试用表示出的取值范围．
【分析】（1）对函数求导，由题意可得有解，由，分，讨论可求解
（2）在区间，上单调递增，可得在，上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解．
【解答】解：（1）由已知得，
令，得，
要取得极值，方程，必须有解，
所以△，即，
此时方程的根为
，，
所以
当时，
所以在，处分别取得极大值和极小值．
当时，
所以在，处分别取得极大值和极小值．
综上，当，满足时，取得极值．
（2）要使在区间，上单调递增，需使在，上恒成立．
即，，恒成立，
所以
设，，
令得或（舍去），
当时，，当，时，单调增函数；
当，时，单调减函数，
所以当时，取得最大，最大值为．
所以
当时，，
此时在区间，恒成立，
所以在区间，上单调递增，当时最大，最大值为（1），
所以
综上，当时，；
时，；
【点评】本题考查了函数极值取得的条件，函数的单调区间问题：由，解得函数的单调增区间；反之函数在，上单调递增，则恒成立，进而转化为求函数在区间，上的最值问题，体现了分类讨论及转化思想在解题中的应用．
45．（2009•湖北）已知关于的函数，其导函数为．令，记函数在区间、上的最大值为．
（Ⅰ）如果函数在处有极值，试确定、的值：
（Ⅱ）若，证明对任意的，都有
（Ⅲ）若对任意的、恒成立，试求的最大值．
【分析】（Ⅰ）对函数求导，由题意可得，代入可求，，代入验证，找出符合条件的值．
（Ⅱ）（法代入整理，结合的条件判断函数的对称轴与区间，的位置关系，从而求出该函数在，上的最大值，则（1），，可证
（法利用反证法：假设，由（1）可知应是和（1）中较大的一个，则有，代入课产生矛盾．
（Ⅲ）（法恒成立，转化为求的最小值
当，结合讨论
两只情况讨论，此时，（1），（b），结合条件推理论证．
（法仿照法1，利用二次函数在区间，的图象及性质求出，（1），（b），求出的最小值，
法3：由题意可知（1），，，从而，可求的范围，下同法一
【解答】（Ⅰ）解：，由在处有极值
可得
解得，或
若，，则，此时没有极值；
若，，则
当变化时，，的变化情况如下表：
当时，有极大值，故，即为所求．
（Ⅱ）证法
当时，函数的对称轴位于区间之外．
在，上的最值在两端点处取得
故应是和（1）中较大的一个，
（1），即
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间，之外，
在，上的最值在两端点处取得．
故应是和（1）中较大的一个
假设，则，（1），（b）
将上述两式相加得：，导致矛盾，
（Ⅲ）解法
（1）当时，由（Ⅱ）可知（b）；
（2）当时，函数的对称轴位于区间，内，
此时，（1），（b），
由（1），有（b）
①若，则（1）（b），
（1），（b），
于是
②若，则（1）（b），
（1），（b），
于是
综上，对任意的、都有
③当时，在区间，上的最小值
故对任意的、恒成立的的最大值为．
解法
（1）当时，由（Ⅱ）可知
（2）当
时，函数的对称轴位于区间，内，
此时，（1），（b）
（1）（b），
即
下同解法1
解法三：
由题意，（1），，，
，
下同解法1
【点评】本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类类讨论的思想．
46．（2009•浙江）已知函数，，其中．
（Ⅰ）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】因，先求导数：，因在区间上不单调，得到在上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出，最后再利用导数求出此函数的值域即可；
先根据题意得出当时不合题意，因此，下面讨论的情形，分类讨论：（ⅰ）当时，（ⅱ）当时，最后综合（ⅰ）（ⅱ）即可得出值．
【解答】解：因，
，
因在区间上不单调，所
以在上有实数解，且无重根，
由得，
，
令，有，记，
则在，上单调递减，在，上单调递增，所
以有，，于是，
得，，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，
所以；
当时有；
当时有，
因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记，
（ⅰ）当时，在上单调递增，
所以要使成立，只能且，
因此有，
（ⅱ）当时，在上单调递减，
所以要使成立，只能且，
因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时，则，，即，
使得成立，
因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，
要使成立，所以满足题意．
【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题．
47．（2009•安徽）已知函数，，讨论的单调性．
【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，设，二次方程的判别式△，然后讨论△的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间．
【解答】解：的定义域是，．
设，二次方程的判别式△．
①当△，即时，对一切都有，此时在上是增函数．
②当△，即时，仅对有，对其余的都有，此时在上也是增函数．
③当△，即时，
方程有两个不同的实根，，．
此时在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．
48．（2009•全国）曲线按向量平移后得到的曲线与直线相切，求的值以及与公共点的坐标．
【分析】先写出曲线的方程，求导，设，为切点，根据直线的斜率求出的坐标，从而求得的值，再将与的方程联立即可求得公共点的坐标．
【解答】解：曲线的方程为，
求导得，
设，为切点，则由直线的斜率为得：
，
解得，．所以切点的坐标为，
故，于是的方程为，
将与的方程联立，
解得，；，．
所以与公共点坐标为和．
【点评】本题考查了导数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．
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单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
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单调递减
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极大值
极小值
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极大值
极小值
，
，
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递增
极大值
递减
极小值
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3
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极大值6
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，
，
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极大值
极小值
，
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增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
，
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减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
1
0
0
极小值
极大值
，
，
0
0
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
1．（2009•安徽）设函数，其中，，则导数（1）的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
2．（2009•天津）设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是
A．B．C．D．
3．（2009•安徽）已知函数在上满足，则曲线在点，（1）处的切线方程是
A．B．C．D．
4．（2009•全国卷Ⅰ）已知直线与曲线相切，则的值为
A．1B．2C．D．
5．（2009•天津）设函数，则
A．在区间，，内均有零点
B．在区间，，内均无零点
C．在区间，内无零点，在区间内有零点
D．在区间，内有零点，在区间内无零点
6．（2009•江西）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或B．或C．或D．或7
7．（2009•湖南）若函数的导函数在区间，上是增函数，则函数在区间，上的图象可能是
A．B．
C．D．
8．（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是
A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面
9．（2009•陕西）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为
A．B．C．D．1
10．（2009•全国卷Ⅱ）函数在点处的切线方程为
A．B．C．D．
11．（2009•江西）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为，则曲线在点，（1）处切线的斜率为
A．4B．C．2D．
12．（2009•全国）若函数在是增函数，则常数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
二．填空题（共6小题）
13．（2009•江苏）函数的单调减区间为 ．
14．（2009•辽宁）若函数在处取极值，则 ．
15．（2009•福建）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 ．
16．（2009•湖北）已知函数，则的值为 ．
17．（2009•海南）曲线在点处的切线方程为 ．
18．（2009•江苏）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标为 ．
三．解答题（共30小题）
19．（2009•北京）设函数．
（Ⅰ）若曲线在点，（2）处与直线相切，求，的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点．
20．（2009•江西）设函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求不等式的解集．
21．（2009•辽宁）设，且曲线在处的切线与轴平行．
（1）求的值，并讨论的单调性；
（2）证明：当．
22．（2009•天津）设函数，其中．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线的斜率；
（2）求函数的单调区间与极值；
（3）已知函数有三个互不相同的零点0，，，且，若对任意的，，（1）恒成立，求的取值范围．
23．（2009•全国卷Ⅰ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程．
24．（2009•福建）已知函数，且．
（1）试用含的代数式表示；
（2）求的单调区间；
（3）令，设函数在、处取得极值，记点，，，．证明：线段与曲线存在异于，的公共点．
25．（2009•重庆）已知为偶函数，曲线过点，．
（1）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
（2）若当时函数取得极值，确定的单调区间．
26．（2009•福建）已知函数，且．
（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；
（2）令，设函数在，处取得极值，记点 ，，，，，，，请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解释以下问题：
（Ⅰ）若对任意的，，线段与曲线均有异于，的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论；
（Ⅱ）若存在点，，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必给出求解过程）．
27．（2009•黑龙江）设函数，其中常数，
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围．
28．（2009•陕西）已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
29．（2009•全国卷Ⅰ）设函数有两个极值点、，且，，，．
（1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
（2）证明：．
30．（2009•全国卷Ⅱ）设函数有两个极值点、，且，
（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：．
31．（2009•湖南）已知函数的导函数的图象关于直线对称．
（1）求的值；
（2）若在处取得极小值，记此极小值为，求的定义域和值域．
32．（2009•辽宁）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意，，，有．
33．（2009•湖北）在上定义运算：、是常数），已知，，．
①如果函数在处有极值，试确定、的值；
②求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
③记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围．（参考公式：
34．（2009•陕西）已知函数，，其中．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若的最小值为1，求的取值范围．
35．（2009•海南）已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
36．（2009•北京）设函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
37．（2009•天津）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值．
38．（2009•四川）已知且，函数．
（1）求函数的定义域，并判断的单调性；
（2）若，求；
（3）当为自然对数的底数）时，设．若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值．
39．（2009•重庆）设函数在处取得极值，且曲线在点，（1）处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
40．（2009•海南）已知函数．
（1）设，求函数的极值；
（2）若，且当，时，恒成立，试确定的取值范围．
41．（2009•浙江）已知函数，．
（Ⅰ）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值；
（Ⅱ）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
42．（2009•安徽）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）设，求在区间，上值域．期中是自然对数的底数．
43．（2009•四川）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值．
44．（2009•山东）已知函数，其中．
（1）当，满足什么条件时，取得极值？
（2）已知，且在区间，上单调递增，试用表示出的取值范围．
45．（2009•湖北）已知关于的函数，其导函数为．令，记函数在区间、上的最大值为．
（Ⅰ）如果函数在处有极值，试确定、的值：
（Ⅱ）若，证明对任意的，都有
（Ⅲ）若对任意的、恒成立，试求的最大值．
46．（2009•浙江）已知函数，，其中．
（Ⅰ）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
47．（2009•安徽）已知函数，，讨论的单调性．
48．（2009•全国）曲线按向量平移后得到的曲线与直线相切，求的值以及与公共点的坐标．
2009年的导数题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2009•安徽）设函数，其中，，则导数（1）的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】利用基本求导公式先求出，然后令，求出（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．
【解答】解：，
（1）．
，，
，．
，．
，．
故选：．
【点评】本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．
2．（2009•天津）设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是
A．B．C．D．
【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．
【解答】解：，
令，则，故可排除，．
如果，时 已知条件 成立，
但 未必成立，所以也是错的，故选
故选：．
【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．
3．（2009•安徽）已知函数在上满足，则曲线在点，（1）处的切线方程是
A．B．C．D．
【分析】对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．
【解答】解：
（1）（1）
（1）
（1）（1）
（1）
切线方程为：即
故选：．
【点评】本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程．
4．（2009•全国卷Ⅰ）已知直线与曲线相切，则的值为
A．1B．2C．D．
【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．
【解答】解：设切点，，则，，
又
，
．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线
5．（2009•天津）设函数，则
A．在区间，，内均有零点
B．在区间，，内均无零点
C．在区间，内无零点，在区间内有零点
D．在区间，内有零点，在区间内无零点
【分析】先对函数进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．
【解答】解：由题得，令得；
令得；得，
故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，
在点处有极小值；又，，．
故选：．
【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
6．（2009•江西）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或B．或C．或D．或7
【分析】已知点不在曲线上，容易求出过点的直线与曲线相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与相切，只有一个公共点，两个方程联立，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出的值．
【解答】解：由，设曲线上任意一点，处的切线方程为，代入方程得或
①当时，切线方程为，此直线是的切线，故仅有一解，由△，解得
②当时，切线方程为，由，
或．
故选：．
【点评】熟练掌握导数的几何意义，本题是直线与曲线联立的题，若出现形如的式子，应讨论是否为0．
7．（2009•湖南）若函数的导函数在区间，上是增函数，则函数在区间，上的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断．
【解答】解：函数的导函数在区间，上是增函数，
对任意的，有（a）（b），
也即在，， “，处它们的斜率是依次增大的．
满足上述条件，
存在，
对任意的，，
对任意的，，不满足逐项递增的条件，
故选：．
【点评】掌握函数的单调性与导函数的关系，并会观察图形．
8．（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是
A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面
【分析】利用定积分求面积的方法可知时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在时刻甲在乙的前面；又因为在时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到正确，、、错误．
【解答】解：当时间为时，利用定积分得到甲走过的路程，乙走过的路程；
当时间为时，利用定积分得到甲走过的路程，而乙走过的路程；
从图象上可知，所以在时刻，即甲的路程大于乙的路程，正确；时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以错；在时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，错；时刻后，时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以错．
故选：．
【点评】考查学生利用定积分求图形面积的能力，以及会观察函数图象并提取有价值数学信息的能力，数形结合的数学思想的运用能力．
9．（2009•陕西）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为
A．B．C．D．1
【分析】欲判的值，只须求出切线与轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：对求导得，
令得在点处的切线的斜率，在点
处的切线方程为，
不妨设，
则，
故选：．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．
10．（2009•全国卷Ⅱ）函数在点处的切线方程为
A．B．C．D．
【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：依题意得，
因此曲线在点处的切线的斜率等于，
相应的切线方程是，即，
故选：．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
11．（2009•江西）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为，则曲线在点，（1）处切线的斜率为
A．4B．C．2D．
【分析】欲求曲线在点，（1）处切线的斜率，即求（1），先求出，然后根据曲线在点，（1）处的切线方程为求出（1），从而得到的解析式，即可求出所求．
【解答】解：．
在点，（1）处的切线方程为，
（1），（1）（1），
在点，（1）处切线斜率为4．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．
12．（2009•全国）若函数在是增函数，则常数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【分析】“函数在是增函数”即表示“导函数在上恒成立”，再利用导数来研究函数的单调性和最值，即可求出的范围．
【解答】解：函数在是增函数，
在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，，
令，解得，
从而得出在上单调递减，在，上单调递增，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了恒成立问题的解法，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
二．填空题（共6小题）
13．（2009•江苏）函数的单调减区间为 ．
【分析】要求函数的单调减区间可先求出，并令其小于零得到关于的不等式求出解集即可．
【解答】解：
，
解得，故减区间为．
故答案为：
【点评】此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．
14．（2009•辽宁）若函数在处取极值，则 3 ．
【分析】先求出，因为处取极值，所以1是的根，代入求出即可．
【解答】解：．
因为在1处取极值，
所以1是的根，
将代入得．
故答案为3
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力．
15．（2009•福建）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 ．
【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于轴的切线，得到此时斜率为0，问题转化为范围内导函数存在零点，再将之转化为与存在交点，讨论的正负进行判定即可．
【解答】解：由题意该函数的定义域，由．
因为存在垂直于轴的切线，
故此时斜率为0，问题转化为范围内导函数存在零点．
再将之转化为与存在交点．当不符合题意，
当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，
当如图2，此时正好有一个交点，故有．
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．
16．（2009•湖北）已知函数，则的值为 1 ．
【分析】利用求导法则：及，求出，然后把等于代入到中，利用特殊角的三角函数值即可求出的值，把的值代入到后，把代入到中，利用特殊角的三角函数值即可求出的值．
【解答】解：因为
所以
解得
故
故答案为1．
【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．
17．（2009•海南）曲线在点处的切线方程为 ．
【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；
【解答】解：，，
切线方程为，．
故答案为：
【点评】本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．
18．（2009•江苏）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标为 ．
【分析】先设切点，，根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．
【解答】解：设，，由题意知：，
．
，
．
点的坐标为．
故答案为：
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，本题属于基础题．
三．解答题（共30小题）
19．（2009•北京）设函数．
（Ⅰ）若曲线在点，（2）处与直线相切，求，的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点．
【分析】（1）已知函数的解析式，把点，（2）代入，再根据在点，（2）处与直线相切，求出，的值；
（2）由题意先对函数进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；
【解答】解：（Ⅰ），
曲线在点，（2）处与直线相切，
（Ⅱ），
当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
此时是的极大值点，是的极小值点．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
20．（2009•江西）设函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求不等式的解集．
【分析】（1）对函数进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．
（2）将代入不等式即可求解．
【解答】解：（1）
由，得，
因为当时，；
当时，；当时，；
所以的单调增区间是：，；单调减区间是：，，
（2）由，
得：，
故：当时，解集是：；
当时，解集是：；
当时，解集是：．
【点评】本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
21．（2009•辽宁）设，且曲线在处的切线与轴平行．
（1）求的值，并讨论的单调性；
（2）证明：当．
【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据在处的导数值等于其切线的斜率可求的值，然后当时可求函数的单调递减区间，当时可求函数的单调递增区间．
（2）先确定函数在，单调增，求出最大值和最小值，故根据任意，，，有，将、代入即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）．
由条件知，（1），故．
于是．
故当或时，；
当时，．
从而在，单调减少，在单调增加．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在，单调增加，
故在，的最大值为（1），
最小值为．
从而对任意，，，有．
而当时，，，．
从而
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
22．（2009•天津）设函数，其中．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线的斜率；
（2）求函数的单调区间与极值；
（3）已知函数有三个互不相同的零点0，，，且，若对任意的，，（1）恒成立，求的取值范围．
【分析】（1），易得函数在所求点的斜率．
（2）当，函数单增，时单减，令的点为极值点．
（3）由题意属于区间，的点的函数值均大于（1），由此计算的范围．
【解答】解：（1）当，
故（1），所以曲线在点处的切线的斜率为1．
方程为，即为（2分）
（2），令，解得或．
，所以，当变化时，，的变化情况如下表：
在，内是减函数，在内是增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．（6分）
（3）由题设，，
方程有两个相异的实根，，
故，
解得，（8分）
，所以，
故．（10分）
①当时，（1），而，不符合题意，
②当时，对任意的，，都有，，，
则，又，所以在，上的最小值为0，
于是对任意的，，（1）恒成立的充要条件是（1），
解得，
由上，
综上，的取值范围是，．（14分）
【点评】本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系．
23．（2009•全国卷Ⅰ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程．
【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．
（2）根据已知，只需求出在点处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．
【解答】解：（Ⅰ）
令得或；
令得或
因此，在区间和为增函数；
在区间和为减函数．
（Ⅱ）设点，，
由过原点知，的方程为，
因此，即，
整理得，解得或．
所以的方程为或
【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．
24．（2009•福建）已知函数，且．
（1）试用含的代数式表示；
（2）求的单调区间；
（3）令，设函数在、处取得极值，记点，，，．证明：线段与曲线存在异于，的公共点．
【分析】（1）据求导法则求出导函数，代入已知条件得关系．
（2）令导数为0得两个根，分类讨论两个根大小判断根左右两边导数的符号，得函数单调性．
（3）由（2）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共点．
【解答】解：解法一：（1）依题意，得
．
由得．
（2）由（1）得，故．
令，则或．
①当时，．
当变化时，与的变化情况如下表：
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
②当时，．此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为．
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为．
综上所述：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
（3）当时，得．
由，得，．
由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为，
所以函数在，处取得极值．故，．
所以直线的方程为．
由得．
令．
易得，（2），而的图象在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于，的公共点．
解法二：（1）同解法一．
（2）同解法一．
（3）当时，得．
由，得，．
由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在，处取得极值，
故，．
所以直线的方程为．
由．
解得，，．
，，
所以线段与曲线有异于，的公共点．
【点评】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．
25．（2009•重庆）已知为偶函数，曲线过点，．
（1）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
（2）若当时函数取得极值，确定的单调区间．
【分析】（1）据偶函数的定义求出值，将点代入得值，据导数在切点处的导数值为切线斜率，
有有实数解，由△得范围．
（2），函数在极值点处的导数值为0，导数大于0对应区间是单调递增区间；导数小于0对应区间是单调递减区间．
【解答】解：（1）为偶函数，故即有
解得
又曲线过点，得，有
从而，
曲线有斜率为0的切线，故有有实数解．即有实数解．
此时有△解得
，，所以实数的取值范围：，，；
（2）因时函数取得极值，故有即，解得
又令，得，
当时，，故在上为增函数
当时，，故在上为减函数
当时，，故在上为增函数．
【点评】本题考查偶函数的定义；利用导数几何意义求曲线切线方程；利用导数求函数单调区间．
26．（2009•福建）已知函数，且．
（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；
（2）令，设函数在，处取得极值，记点 ，，，，，，，请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解释以下问题：
（Ⅰ）若对任意的，，线段与曲线均有异于，的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论；
（Ⅱ）若存在点，，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必给出求解过程）．
【分析】（1）欲求：“的单调区间”，对于三次函数而言，利用导数解决，本题还得对字母进行讨论；
（2）存在性问题，结合观察的图象，帮助分析问题．
【解答】解：（1）依题意，得，
由得
从而，
故
令，得或
①当时，
当变化时，根据与的变化情况得，
函数的单调增区间为和，单调减区间为
②当时，，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为、
③当时，，同理可得，函数的单调增区间为和，
单调减区间为
综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（2）（Ⅰ）由得
令得，
由（1）得增区间为和，单调减区间为，
所以函数在处，处取得极值，故，
观察的图象，有如下现象：
①当从（不含变化到3时，线段的斜率与曲线在点处切线的斜率之差的值由正连续变为负、
②线段与曲线是否有异于，的公共点与的正负有着密切的关联；
③对应的位置可能是临界点，故推测：满足的就是所求的最小值，下面给出证明并确定的最小值、曲线在点，处的切线斜率；
线段的斜率，
当时，解得或，
直线的方程为，
令，
当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又（2），所以在上没有零点，即线段与曲线没有异于，的公共点、
当，时，，
（2），
所以存在，使得，
即当，时，与曲线有异于，的公共点
综上，的最小值为2．
（Ⅱ）类似（1）于中的观察，可得的取值范围为，．
【点评】本题综合考查了函数导数的综合应用，本题是函数的综合题，综合考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的极值，以及存在性问题，有一定的难度，是一道很好的压轴题．
27．（2009•黑龙江）设函数，其中常数，
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．
（2）先将问题转化为求函数在时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定在或处取得最小值，求出最小值，即可得到的范围．
【解答】解：（1）
由知，当时，，
故在区间是增函数；
当时，，
故在区间是减函数；
当时，，
故在区间是增函数．
综上，当时，在区间和是增函数，
在区间是减函数．
（2）由（1）知，当时，在或处取得最小值．
，
由假设知
即解得
故的取值范围是
【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．
28．（2009•陕西）已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
【分析】（1）先确求导数，在函数的定义域内解不等式和，的区间是增区间，的区间是减区间．
（2）先根据极值点求出，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知的范围．
【解答】解析：（1），
当时，对，有，
当时，的单调增区间为
当时，由解得或；
由解得，
当时，的单调增区间为；
的单调减区间为．
（2）因为在处取得极大值，
所以，．
所以，，
由解得，．
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值（1）．
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，
结合的单调性可知，的取值范围是．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档题．
29．（2009•全国卷Ⅰ）设函数有两个极值点、，且，，，．
（1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
（2）证明：．
【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点、是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；
（2）先用消元法消去参数，利用参数表示出的值域，再利用参数的范围求出的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ），（2分）
依题意知，方程有两个根、，且，，，
等价于，，（1），（2）．
由此得，满足的约束条件为（4分）
满足这些条件的点的区域为图中阴影部分．（6分）
（Ⅱ）由题设知，
则，
故．（8分）
由于，，而由（Ⅰ）知，
故．
又由（Ⅰ）知，（10分）
所以．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组与平面区域和不等式的证明，属于基础题．
30．（2009•全国卷Ⅱ）设函数有两个极值点、，且，
（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，令，由题意知、是方程的两个均大于的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间；
（2）是方程的根，将用表示，消去得到关于的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．
【解答】解：
令，其对称轴为．
由题意知、是方程的两个均大于的不相等的实根，
其充要条件为，得
（1）当时，，在内为增函数；
（2）当，时，，在，内为减函数；
（3）当，时，，在，内为增函数；
由，，
设，
则
当时，，在单调递增，
故．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．
31．（2009•湖南）已知函数的导函数的图象关于直线对称．
（1）求的值；
（2）若在处取得极小值，记此极小值为，求的定义域和值域．
【分析】（1）函数的导函数的图象关于直线对称，则求出得到一个二次函数，利用求出即可；（2）求出，由（1）得函数的对称轴为，讨论的取值范围求出的定义域和值域即可．
【解答】解：（1）
因为函数的图象关于直线对称，
所以，于是
（2）由（Ⅰ）知，
（ⅰ）当时，，此时无极值．
当时，有两个互异实根，．
不妨设，则．
当时，，在区间内为增函数；
当时，，在区间，内为减函数；
当时，，在区间，内为增函数．
所以在处取极大值，在处取极小值．
因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以．
于是的定义域为．
由得．
于是，．
当时，
所以函数在区间内是减函数，
故的值域为
【点评】考查学生利用导数求函数函数的单调性及确定函数极值存在位置的能力，以及利用导数求函数最值的能力．利用导数研究函数的单调性是函数的一个极其重要的应用，它大大简化了证明单调性的方法．
32．（2009•辽宁）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意，，，有．
【分析】（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出讨论当时导函数大于0，函数单调递增；当时分类讨论函数的增减性；当时讨论函数的增减性．
（2）构造函数，求出导函数，根据的取值范围得到导函数一定大于0，则为单调递增函数，则利用当时有即可得证．
【解答】解：（1）的定义域为．
若即，则
故在单调增．
若，而，
故，则当时，；
当及时，
故在单调减，
在，单调增．
若，即，
同理可得在单调减，
在，单调增．
（2）考虑函数
则
由于，故，
即在单调增加，
从而当时有，
即，故，
当时，有
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．
33．（2009•湖北）在上定义运算：、是常数），已知，，．
①如果函数在处有极值，试确定、的值；
②求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
③记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围．（参考公式：
【分析】①由题意得到的解析式，求出因为在处有极值得到（1），（1）求出、即可；（2）因为切线的斜率为，则解出时的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；（3）根据题意得到的解析式，利用已知求出的最大值，利用列出不等式求出的取值范围即可．
【解答】解：①依题意，
解
得或．
若，，
，在上单调递减，
在处无极值；若，，
，直接讨论知，
在处有极大值，所以为所求．
②解得或，切点分别为、，
相应的切线为或．
解
得或；
解
即
得或．
综合可知，时，斜率为的切线只有一条，与曲线的公共点只有，时，
斜率为的切线有两条，与曲线的公共点分别为、和
、．
③．若，则在，是单调函数，
，（1），，
因为（1）与之差的绝对值（1），所以．
若，在，取极值，
则，（1），（b），（b）．
若，（1）
；
若，（1）（b），
，（b）．
当，时，在，上的最大值．
所以，的取值范围是．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用导数求曲线上某一点的切线方程的能力．
34．（2009•陕西）已知函数，，其中．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若的最小值为1，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）对函数求导，令（1），即可解出值．
（Ⅱ），对的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．时，在区间上是增函数，
（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当时，由知，的最小值为，恒成立；当时，判断知最小值小于1，此时无解．当时，的单调减区间为，单调增区间为
【解答】解：（Ⅰ），
在处取得极值，（1）
即，解得
（Ⅱ），
，，
①当时，在区间上．
的单调增区间为
②当时，由解得
由
的单调减区间为，单调增区间为
（Ⅲ）当时，由知，的最小值为
当时，由②知，处取得最小值，
综上可知，若的最小值为1，则的取值范围是，
【点评】考查导数法求单调区间与求最值，本类题型是导数的主要运用．
35．（2009•海南）已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
【分析】（1）对函数求导，利用导函数求解单调区间；
（2）利用导函数的性质即函数的单调区间加以证明．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
故
当或时，；
当或时，．
从而在，单调增加，在，单调减少；
（Ⅱ）．
由条件得：（2），即，故，
从而．
因为，
所以．
将右边展开，与左边比较系数得，，．
故．，
又，即．由此可得．
于是．
【点评】本题主要考查了利用导函数求解单调区间的问题，要求同学们掌握好导函数与函数的关系，以及导函数的性质．
36．（2009•北京）设函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
先求出的导数，根据求得的区间是单调增区间，求得的区间是单调减区间即可；
由（Ⅱ）知，若，则当且仅当时，函数，内单调递增，若，则当且仅当时，函数，内单调递增，由此即可求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），，，
曲线在点，处的切线方程为；
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，
，函数单调递减，
当，，时，，
函数单调递增，
若，则当时，
，函数单调递增，
当，，时，
，函数单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数，内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数，内单调递增，
综上可知，函数，内单调递增时，
的取值范围是，，．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．
37．（2009•天津）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值．
【分析】（Ⅰ）把代入到中化简得到的解析式，求出，因为曲线的切点为，（1），所以把代入到中求出切线的斜率，把代入到中求出（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）令求出的值为和，分两种情况讨论：①当时和②当时，讨论的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．
【解答】（Ⅰ）解：当时，，，故（1），
所以曲线在点，（1）处的切线的斜率为，（1），
所以该切线方程为，
整理得：．
（Ⅱ）解：
令，解得，或．由知，．
以下分两种情况讨论．
①若，则．当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，内是增函数，在内是减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
②若，则，当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，内是增函数，在内是减函数
函数在处取得极大值，且，
函数在处取得极小值，且．
【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．
38．（2009•四川）已知且，函数．
（1）求函数的定义域，并判断的单调性；
（2）若，求；
（3）当为自然对数的底数）时，设．若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值．
【分析】（1）据对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于0函数得到递增；导函数小于0函数单调递减．
（2）求出代入极限式，利用特殊函数的极限值求出极限．
（3）求出导函数，令导函数为0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值．
【解答】解：（1）由题意知，
所以当时，的定义域是，时，的定义域是，
当时，，因为，，故，所以是减函数．
当时，，因为，，故，所以是减函数．
（2）因为，所以，由函数定义域知，因为是正整数，故，
所以．
（3），所以，令，即，由题意应有△，即．
①当时，有实根，在点左右两侧均有，故无极值．
②当时，有两个实根，．当变化时，的变化情况如下表：
的极大值为，的极小值为．
③当时，在定义域内有一个实根．
同上可得的极大值为．
综上所述，时，函数有极值．
当时，的极大值为，的极小值为．
当时，的极大值为．
【点评】本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性；利用导数研究函数的极值；在含参数的函数中需要分类讨论．
39．（2009•重庆）设函数在处取得极值，且曲线在点，（1）处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
【分析】（Ⅰ）因为”函数在处取得极值“，则有，再由“曲线在，（1）处的切线与直线相互垂直”，则有（1），从而求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令，有，因为还有参数，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△，函数在上为增函数，（2）当△，在上为增函数（3）△，方程有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）因，故
又在处取得极值，故，
从而，
由曲线在，（1）处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，
即（1），有，从而（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
、
令，有（8分）
（1）当△，即当时，在上恒成立，故函数在上为增函数（10分）
（2）当△，即当时，，时，在上为增函数（12分）
（3）△，即当时，方程有两个不相等实根
当时，故在上为增函数
当时，，故在上为减函数
当时，，故在上为增函数（14分）
【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．
40．（2009•海南）已知函数．
（1）设，求函数的极值；
（2）若，且当，时，恒成立，试确定的取值范围．
【分析】（1）把代入，找出导函数为0的自变量，看在自变量左右两侧导函数的符号来求极值即可．
（2）转化为求导函数的绝对值在，上的最大值即可．
【解答】解：（1）当时，对函数求导数，得．
令，解得，．
列表讨论，的变化情况：
所以，的极大值是，极小值是（3）．
（2）的图象是一条开口向上的抛物线，关于对称．
若，则在，上是增函数，
从而在，上的最小值是（1），最大值是．
由，得，于是有（1），且．
由（1）得，由得．
所以，即．
若，则（a）．故当，时不恒成立．
所以使，恒成立的的取值范围是．
【点评】本题涉及到利用导函数求极值．利用导函数求极值时，须先求导函数为0的根，再根据导函数为0的根左右两侧的符号来求极大值和极小值．
41．（2009•浙江）已知函数，．
（Ⅰ）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值；
（Ⅱ）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求导数：，再利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于，等式解之，从而问题解决．
（Ⅱ）根据题中条件：“函数在区间不单调，”等价于“导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；
【解答】解析：（Ⅰ）由题意得
又，
解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于导函数是二次函数，在有实数根但无重根．
，
令得两根分别为与
若即时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，
当两者不相等时即时
有或者
解得且
综上得参数的取值范围是，，
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
42．（2009•安徽）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）设，求在区间，上值域．期中是自然对数的底数．
【分析】求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性．
由所涉及的单调性来求在区间，上的单调性，确定出函数的最值，即可求出函数的值域．
【解答】解：函数，
，
令
①△，即：，恒成立，此时函数在上是增函数
②△，即：，有两个不等根
由，得或，又
或或
由，得
综上：①，函数在上是增函数
②函数上是增函数，在上是减函数，
（2）当时，由（1）知在上是减函数，在上是增函数，
故函数在，是奇函数，在，上是增函数
又（1），（2），
在区间，上值域是，
【点评】本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．
43．（2009•四川）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值．
【分析】（1）利用（2）和（2）可得关于，的两个方程，解出，即可．
（2）转化为有实根．根据判别式求出对应的根，在找极值即可．
【解答】解：（1）由已知，切点为，故有（2），
即．①
，由已知，（2）．
得．②
联立①、②，解得，，
于是函数解析式为．
（2），
，令．
当函数有极值时，△，方程有实根，
由△，得．
当时，有两个实根，
，，
当变化时，、的变化情况如下表：
故在时，函数有极值；
当时有极大值；
当时有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
44．（2009•山东）已知函数，其中．
（1）当，满足什么条件时，取得极值？
（2）已知，且在区间，上单调递增，试用表示出的取值范围．
【分析】（1）对函数求导，由题意可得有解，由，分，讨论可求解
（2）在区间，上单调递增，可得在，上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解．
【解答】解：（1）由已知得，
令，得，
要取得极值，方程，必须有解，
所以△，即，
此时方程的根为
，，
所以
当时，
所以在，处分别取得极大值和极小值．
当时，
所以在，处分别取得极大值和极小值．
综上，当，满足时，取得极值．
（2）要使在区间，上单调递增，需使在，上恒成立．
即，，恒成立，
所以
设，，
令得或（舍去），
当时，，当，时，单调增函数；
当，时，单调减函数，
所以当时，取得最大，最大值为．
所以
当时，，
此时在区间，恒成立，
所以在区间，上单调递增，当时最大，最大值为（1），
所以
综上，当时，；
时，；
【点评】本题考查了函数极值取得的条件，函数的单调区间问题：由，解得函数的单调增区间；反之函数在，上单调递增，则恒成立，进而转化为求函数在区间，上的最值问题，体现了分类讨论及转化思想在解题中的应用．
45．（2009•湖北）已知关于的函数，其导函数为．令，记函数在区间、上的最大值为．
（Ⅰ）如果函数在处有极值，试确定、的值：
（Ⅱ）若，证明对任意的，都有
（Ⅲ）若对任意的、恒成立，试求的最大值．
【分析】（Ⅰ）对函数求导，由题意可得，代入可求，，代入验证，找出符合条件的值．
（Ⅱ）（法代入整理，结合的条件判断函数的对称轴与区间，的位置关系，从而求出该函数在，上的最大值，则（1），，可证
（法利用反证法：假设，由（1）可知应是和（1）中较大的一个，则有，代入课产生矛盾．
（Ⅲ）（法恒成立，转化为求的最小值
当，结合讨论
两只情况讨论，此时，（1），（b），结合条件推理论证．
（法仿照法1，利用二次函数在区间，的图象及性质求出，（1），（b），求出的最小值，
法3：由题意可知（1），，，从而，可求的范围，下同法一
【解答】（Ⅰ）解：，由在处有极值
可得
解得，或
若，，则，此时没有极值；
若，，则
当变化时，，的变化情况如下表：
当时，有极大值，故，即为所求．
（Ⅱ）证法
当时，函数的对称轴位于区间之外．
在，上的最值在两端点处取得
故应是和（1）中较大的一个，
（1），即
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间，之外，
在，上的最值在两端点处取得．
故应是和（1）中较大的一个
假设，则，（1），（b）
将上述两式相加得：，导致矛盾，
（Ⅲ）解法
（1）当时，由（Ⅱ）可知（b）；
（2）当时，函数的对称轴位于区间，内，
此时，（1），（b），
由（1），有（b）
①若，则（1）（b），
（1），（b），
于是
②若，则（1）（b），
（1），（b），
于是
综上，对任意的、都有
③当时，在区间，上的最小值
故对任意的、恒成立的的最大值为．
解法
（1）当时，由（Ⅱ）可知
（2）当
时，函数的对称轴位于区间，内，
此时，（1），（b）
（1）（b），
即
下同解法1
解法三：
由题意，（1），，，
，
下同解法1
【点评】本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类类讨论的思想．
46．（2009•浙江）已知函数，，其中．
（Ⅰ）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】因，先求导数：，因在区间上不单调，得到在上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出，最后再利用导数求出此函数的值域即可；
先根据题意得出当时不合题意，因此，下面讨论的情形，分类讨论：（ⅰ）当时，（ⅱ）当时，最后综合（ⅰ）（ⅱ）即可得出值．
【解答】解：因，
，
因在区间上不单调，所
以在上有实数解，且无重根，
由得，
，
令，有，记，
则在，上单调递减，在，上单调递增，所
以有，，于是，
得，，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，
所以；
当时有；
当时有，
因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记，
（ⅰ）当时，在上单调递增，
所以要使成立，只能且，
因此有，
（ⅱ）当时，在上单调递减，
所以要使成立，只能且，
因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时，则，，即，
使得成立，
因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，
要使成立，所以满足题意．
【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题．
47．（2009•安徽）已知函数，，讨论的单调性．
【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，设，二次方程的判别式△，然后讨论△的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间．
【解答】解：的定义域是，．
设，二次方程的判别式△．
①当△，即时，对一切都有，此时在上是增函数．
②当△，即时，仅对有，对其余的都有，此时在上也是增函数．
③当△，即时，
方程有两个不同的实根，，．
此时在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．
48．（2009•全国）曲线按向量平移后得到的曲线与直线相切，求的值以及与公共点的坐标．
【分析】先写出曲线的方程，求导，设，为切点，根据直线的斜率求出的坐标，从而求得的值，再将与的方程联立即可求得公共点的坐标．
【解答】解：曲线的方程为，
求导得，
设，为切点，则由直线的斜率为得：
，
解得，．所以切点的坐标为，
故，于是的方程为，
将与的方程联立，
解得，；，．
所以与公共点坐标为和．
【点评】本题考查了导数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．
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