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人教版选修2（理科）导数达标测试
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这是一份人教版选修2（理科）导数达标测试，共24页。试卷主要包含了设，，，，，，则，函数是减函数的区间为，若，则与的大小关系，函数，已知在时取得极值，则，曲线在点处的切线方程为 等内容，欢迎下载使用。
1．（2005•湖南）设，，，，，，则
A．B．C．D．
2．（2005•湖北）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是
A．3B．2C．1D．0
3．（2005•广东）函数是减函数的区间为
A．B．C．D．
4．（2005•湖北）若，则与的大小关系
A．B．
C．D．与的取值有关
5．（2005•安徽）函数，已知在时取得极值，则
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共4小题）
6．（2005•陕西）曲线在点处的切线方程为 ．
7．（2005•重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为 ．
8．（2005•北京）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
9．（2005•湖南）设函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积称为函数在，上的面积，已知函数在，上的面积为，
在，上的面积为 ；
在，上的面积为 ．
三．解答题（共13小题）
10．（2005•福建）已知函数的图象过点，且在点，处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
11．（2005•天津）设函数．
（Ⅰ）证明，其中为为整数；
（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；
（Ⅲ）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，，，，，证明，2，．
12．（2005•黑龙江）设为实数，函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．
13．（2005•重庆）已知，讨论函数的极值点的个数．
14．（2005•重庆）设函数，其中．
（1）若在处取得极值，求常数的值；
（2）若在上为增函数，求的取值范围．
15．（2005•山东）已知是函数的一个极值点，其中，，．
（Ⅰ）求与的关系表达式；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当，时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围．
16．（2005•福建）已知函数的图象在点，处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
17．（2005•湖南）设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）用表示，，；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求的取值范围．
18．（2005•黑龙江）已知，函数．
（Ⅰ）当为何值时，取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设在，上是单调函数，求的取值范围．
19．（2005•陕西）已知函数，，，
（1）求函数的单调区间和值域；
（2）设，函数，，，若对于任意，，总存在，，使得成立，求的取值范围．
20．（2005•北京）已知函数．
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
21．（2005•山东）已知是函数的一个极值点，其中，，．
（Ⅰ）求与的关系表达式；
（Ⅱ）求的单调区间．
22．（2005•湖南）已知函数，，．
（Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数的图象与函数图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点、，证明在点处的切线与在点处的切线不平行．
2005年的导数题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2005•湖南）设，，，，，，则
A．B．C．D．
【分析】通过计算前几项，进行归纳分析，当计算到时发现出现了循环，所以可看成以4为一个循环周期，那么．
【解答】解：，，，
，，循环了
则，
故选：．
【点评】本题考查了计算型归纳推理，通过计算归纳一般规律．
2．（2005•湖北）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值就是该点的斜率，求出切点横坐标的范围，即可推出坐标为整数的点的个数．
【解答】解：切线倾斜角小于，
斜率．
设切点为，，则，
，．
又，不存在．
故选：．
【点评】本题考查直线的斜率、导数的运算，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
3．（2005•广东）函数是减函数的区间为
A．B．C．D．
【分析】求出令其小于0即可得到函数是减函数的区间．
【解答】解：由，得
函数是减函数的区间为．
故选：．
【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．
4．（2005•湖北）若，则与的大小关系
A．B．
C．D．与的取值有关
【分析】用将不等式问题转化为函数问题，令，用导数法判断即可．
【解答】解：令，，
当 时，，单调减，，．
当时，，单调增加，
但是，，
所以在区间，有且仅有一点使．
当时，，．
当时，，．
所以当 时，；
当 时，；
当 时，．
故选：．
【点评】本题主要考查用函数法来解不等式问题，不等式往往与函数的单调性有关，所以可用单调性定义或导数来解决．
5．（2005•安徽）函数，已知在时取得极值，则
A．2B．3C．4D．5
【分析】先对函数进行求导，根据函数在时取得极值，可以得到，代入求值．
【解答】解：对函数求导可得，
在时取得极值
，验证知，符合题意
故选：．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的性质．属基础题．比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题．
二．填空题（共4小题）
6．（2005•陕西）曲线在点处的切线方程为 ．
【分析】根据已知容易得出点在曲线上，若求过点的切线方程，只需求出切线的斜率即可．
【解答】解：因为，所以，
所以在点处的切线斜率，
所以切线的方程为，即切线方程为．
故答案为：．
【点评】熟练掌握导数的几何意义，求出切线方程等．
7．（2005•重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为 ．
【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：，
，当时，得切线的斜率为3，所以；
所以曲线在点处的切线方程为：
，即．
令得：，
切线与轴、直线所围成的三角形的面积为：
故答案为：．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
8．（2005•北京）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
【分析】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为，再求出在点切点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．
【解答】解：
设切点的坐标为，，切线的斜率为，
则，故切线方程为
又切线过原点，，，，．
故答案为：；．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
9．（2005•湖南）设函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积称为函数在，上的面积，已知函数在，上的面积为，
在，上的面积为 ；
在，上的面积为 ．
【分析】函数与函数类比，可以得出函数在，上的面积，得出函数在，上的面积是函数在，上的面积的两倍，从而得出函数在，上的面积．
设，，，则，同理可求．
【解答】解：函数在，上的面积为，对于函数而言，，
函数在，上的面积为：，则函数在，上的面积为
设，，，则，在，上的面积为
故答案为：，
【点评】在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．
三．解答题（共13小题）
10．（2005•福建）已知函数的图象过点，且在点，处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
【分析】（Ⅰ）求解析式，只需把，，三个字母求出即可．已知点满足，得到，又点，处的切线方程为，可以得到的值，并且得到在处的导数为6．
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）的图象经过，，
，．
点，处的切线方程为
①，
还可以得到，，即点满足方程，得到②
由①、②联立得
故所求的解析式是．
（Ⅱ）．，令，即．
解得．当；
当．
故的单调增区间为，，；单调减区间为，
【点评】本题主要考查了两个知识点，一是导数的几何意义，二是利用导数研究函数的单调性，属于函数这一内容的基本知识，更应该熟练掌握．
11．（2005•天津）设函数．
（Ⅰ）证明，其中为为整数；
（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；
（Ⅲ）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，，，，，证明，2，．
【分析】（1）利用三角函数的和角公式，结合三角函数的诱导公式化简即可；
（2）题目中条件：“为的一个极值点”可得，是其导数的一个零点，由此得到一个方程，解之即得；
（3）由题意得：“在第二或第四象限内”，结合正切函数的图象与性质讨论两极值点的差的范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由函数的定义，对任意整数，有
．
（Ⅱ）证明：函数在定义域上可导，①
令，得．
显然，对于满足上述方程的有，
上述方程化简为．此方程一定有解．的极值点一定满足．
由，得．
因此，．
（Ⅲ）证明：设是的任意正实数根，即，
则存在一个非负整数，使，，即在第二或第四象限内．
由①式，在第二或第四象限中的符号可列表如下：
所以满足的正根都为的极值点．
由题设条件，，，，为方程的全部正实数根且满足，
那么对于，2，． ②
由于，，
则，
由于，由②式知．
由此可知必在第二象限，
即．综上，．
【点评】本题考查了三角函数的和角公式、诱导公式，函数的极值点、正切函数的图象与性质问题．
12．（2005•黑龙江）设为实数，函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．
【分析】（1）函数连续可导，只需讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）曲线与轴仅有一个交点，可转化成或即可．
【解答】解：（1）令得：．
又当时，；
当，时，；
当时，；
与分别为的极大值与极小值点．
；
（2）在上单调递增，
当时，；
又在单调递增，当时，
当或时，曲线与轴仅有一个交点．
即或，
，，
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．
13．（2005•重庆）已知，讨论函数的极值点的个数．
【分析】先求出时得到方程讨论△的取值决定方程解得个数从而得到函数极值的个数．
【解答】解：
，
令得
（1）当△．
即或时，方程有两个不同的实根，，不妨设，
于是，从而有下表：
即此时有两个极值点．
（2）当△即或时，方程有两个相同的实根
于是故当时，；当时，，因此无极值．
（3）当△，即时，，，故为增函数，此时无极值．因此当或时，有2个极值点，当时，无极值点．
综上所述：当或时，有两个极值点．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力．
14．（2005•重庆）设函数，其中．
（1）若在处取得极值，求常数的值；
（2）若在上为增函数，求的取值范围．
【分析】（1）求出，由取得极值得到（3），求解得到的值即可；
（2）因为函数在上为增函数令得到函数的驻点，由的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时的范围即可．
【解答】解：（1）．
因在取得极值，所以（3）．解得．
经检验知当时，为为极值点．
（2）令得，．
当时，若，，，则，所以在和上为增
函数，故当时，在上为增函数．
当时，若，，，则，所以在和上为增函
数，从而在，上也为增函数．
综上所述，当，时，在上为增函数．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值及单调性的运用能力．
15．（2005•山东）已知是函数的一个极值点，其中，，．
（Ⅰ）求与的关系表达式；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当，时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出，因为是函数的极值点，所以得到（1）求出与的关系式；
（Ⅱ）令求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于即代入得到不等式即，又因为，分和，当时，求出的最小值．要使恒成立即要的最小值，解出不等式的解集求出的范围．
【解答】解：（Ⅰ）．
因为是的一个极值点，所以（1），即．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当时，有，当变化时与的变化如下表：
由上表知，当时，在单调递减，在，单调递增，在单调递减．
（Ⅲ）由已知，得，即，
．．
①时．式化为怛成立．
．
②时，，．
式化为．
令，则，，记，
则在区间，是单调增函数．．
由式恒成立，必有，又．．
综上①②知．
【点评】考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．
16．（2005•福建）已知函数的图象在点，处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
【分析】（Ⅰ）求出，把的坐标代入切线方程即可求出，代入中，再根据切线的斜率为得到，代入到中，联立两者求出与的值即可得到的解析式；
（Ⅱ）把与的值代入到中求出导函数的解析式，让大于0求出的取值范围即为函数的递增区间；让小于0求出的取值范围即为函数的递减区间．
【解答】解：（Ⅰ）由函数的图象在点，处的切线的方程为，
得，即，而根据切线的斜率为得到，
，
利用和联立得
解得，把和的值代入可得；
，由得到；
由得到，或
所以函数在，，上单调递减，在，上单调递增．
【点评】此题是一道综合题，要求学生会利用待定系数法求函数的解析式，让学生掌握利用导数求切线方程的斜率及利用导数研究函数的单调性．
17．（2005•湖南）设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）用表示，，；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求的取值范围．
【分析】根据函数，的图象都过点，以及，在点处有相同的切线，建立方程组，即可用表示，，；
先利用导数求出的单调减区间，然后使是单调减区间的子集，建立关系式，解之即可求出的范围．
【解答】解：因为函数，的图象都过点，所以，
即．因为，所以．，即，所以．
又因为，在点处有相同的切线，所以．
而，，所以．
将代入上式得．因此．故，，．
，．
当时，函数单调递减．
由，若，则；若，则．
由题意，函数在上单调递减，则，，或，，．
所以或．即或．
的取值范围为，，．
【点评】本题主要考查函数与导数的基本知识，几何意义及其应用，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查学生数形结合思想以及转化与归化的能力，属于中档题．
18．（2005•黑龙江）已知，函数．
（Ⅰ）当为何值时，取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设在，上是单调函数，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）直接求两个函数乘积的导函数，令其等于0，求出极值点，判断单调性，进而求出最小值；
（Ⅱ）在，上是单调函数，即其导函数恒大于等于或小于等于零，转化为不等式恒成立问题，再通过构造函数转化为求函数最值，利用导数的方法即可解决．
【解答】解：（1）令即
△，
又当时，；
当，时，；
当，时，．
列表如下：
，分别为的极大值与极小值点．
又；当时，．
而．
当时，取得最小值．
（2）在，上单调，则（或在，上恒成立．
而，令．
（或即（或．
当在，上恒成立时，有
①当即时，（舍；
②当即时，（1）（舍．
当在，上恒成立时，有
①当即时，（1），；
②当即时，，；
③当即时，，．
故，．
【点评】本题考查函数单调性的性质，导数在函数最大值、最小值中的应用，灵活运用分类讨论思想与转化思想是解决此类题目的关键，属于中档题．
19．（2005•陕西）已知函数，，，
（1）求函数的单调区间和值域；
（2）设，函数，，，若对于任意，，总存在，，使得成立，求的取值范围．
【分析】（1）先对函数，，，求导，先对函数进行求导，然后令导函数大于0（或小于求出的范围，根据求得的区间是单调增区间，求得的区间是单调减区间，求出极值，即可得到答案．
先对函数求导，则．利用导数求出函数的取值范围，即当，时有，，最后依据题意：“任给，，，，存在，使得，”得到：，，，从而列出不等关系求得的取值范围即可．
【解答】解：（1）对函数，，，求导，得
，
令解得或．当变化时，，的变化情况如下表所示：
所以，当时，是减函数；当，时，是增函数．
当，时，的值域是，．
对函数求导，则．
因为，当时，，
因此当时，为减函数，
从而当，时有（1），，
又（1），，
即当，时有，，
任给，，，，存在，使得，
则，，，即，
解①式得或，
解②式得，
又，故的取值范围内是．
【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
20．（2005•北京）已知函数．
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【分析】先求出函数的导函数，然后令，解得的区间即为函数的单调递减区间；
先求出端点的函数值与（2），比较（2）与的大小，然后根据函数在，上单调递增，在，上单调递减，得到（2）和分别是在区间，上的最大值和最小值，建立等式关系求出，从而求出函数在区间，上的最小值．
【解答】解：．
令，解得或，
所以函数的单调递减区间为，．
因为，（2），
所以（2）．
因为在上，所以在，上单调递增，
又由于在，上单调递减，
因此（2）和分别是在区间，上的最大值和最小值，于是有，解得．
故，因此，
即函数在区间，上的最小值为．
【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．
21．（2005•山东）已知是函数的一个极值点，其中，，．
（Ⅰ）求与的关系表达式；
（Ⅱ）求的单调区间．
【分析】由是函数的一个极值点，求导，则（1），求得与的关系表达式；
根据，代入中，求导，令导数，求得单调增区间，令，求得单调减区间．
【解答】解：，
因为是的一个极值点，
所以（1），即，所以．
由知，
．
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
由上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，单调递减．
【点评】考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题，求函数的单调区间实质是解不等式，属中档题．
22．（2005•湖南）已知函数，，．
（Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数的图象与函数图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点、，证明在点处的切线与在点处的切线不平行．
【分析】（Ⅰ）先求函数的解析式，因为函数存在单调递减区间，所以有解，求出的取值范围；
（Ⅱ）先利用导数分别表示出函数在在点处的切线与在点处的切线，结合过线段的中点作轴的垂线分别交，于点、，建立关系式，通过反证法进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）时，，
则．
因为函数存在单调递减区间，所以有解．
又因为时，则有的解．
①当时，为开口向上的抛物线，总有的解；
②当时，为开口向下的抛物线，而总有的解；
则△，且方程至少有一正根．此时，．
综上所述，的取值范围为，，．
（Ⅱ）设点、的坐标分别是，，，，．
则点、的横坐标为，
在点处的切线斜率为，，，
在点处的切线斜率为，，．
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则．
即，
则
．
所以．设，则，①
令，．则．
因为时，，所以在，上单调递增．故（1）．
则．这与①矛盾，假设不成立．
故在点处的切线与在点处的切线不平行．
【点评】本题考查了函数单调性的应用，以及利用导数研究曲线上某点处的切线问题，属于难题．
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日期：2020/10/9 9:47:19；用户：13102673937；邮箱：13102673937；学号：24072549 ，
，
的符号
为奇数
0
为偶数
0
，
，
0
0
为极大值
为极小值
，
1
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
，
，
0
0
极大值
极小值
0
，
1
0
1
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
1．（2005•湖南）设，，，，，，则
A．B．C．D．
2．（2005•湖北）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是
A．3B．2C．1D．0
3．（2005•广东）函数是减函数的区间为
A．B．C．D．
4．（2005•湖北）若，则与的大小关系
A．B．
C．D．与的取值有关
5．（2005•安徽）函数，已知在时取得极值，则
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共4小题）
6．（2005•陕西）曲线在点处的切线方程为 ．
7．（2005•重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为 ．
8．（2005•北京）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
9．（2005•湖南）设函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积称为函数在，上的面积，已知函数在，上的面积为，
在，上的面积为 ；
在，上的面积为 ．
三．解答题（共13小题）
10．（2005•福建）已知函数的图象过点，且在点，处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
11．（2005•天津）设函数．
（Ⅰ）证明，其中为为整数；
（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；
（Ⅲ）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，，，，，证明，2，．
12．（2005•黑龙江）设为实数，函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．
13．（2005•重庆）已知，讨论函数的极值点的个数．
14．（2005•重庆）设函数，其中．
（1）若在处取得极值，求常数的值；
（2）若在上为增函数，求的取值范围．
15．（2005•山东）已知是函数的一个极值点，其中，，．
（Ⅰ）求与的关系表达式；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当，时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围．
16．（2005•福建）已知函数的图象在点，处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
17．（2005•湖南）设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）用表示，，；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求的取值范围．
18．（2005•黑龙江）已知，函数．
（Ⅰ）当为何值时，取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设在，上是单调函数，求的取值范围．
19．（2005•陕西）已知函数，，，
（1）求函数的单调区间和值域；
（2）设，函数，，，若对于任意，，总存在，，使得成立，求的取值范围．
20．（2005•北京）已知函数．
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
21．（2005•山东）已知是函数的一个极值点，其中，，．
（Ⅰ）求与的关系表达式；
（Ⅱ）求的单调区间．
22．（2005•湖南）已知函数，，．
（Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数的图象与函数图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点、，证明在点处的切线与在点处的切线不平行．
2005年的导数题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2005•湖南）设，，，，，，则
A．B．C．D．
【分析】通过计算前几项，进行归纳分析，当计算到时发现出现了循环，所以可看成以4为一个循环周期，那么．
【解答】解：，，，
，，循环了
则，
故选：．
【点评】本题考查了计算型归纳推理，通过计算归纳一般规律．
2．（2005•湖北）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值就是该点的斜率，求出切点横坐标的范围，即可推出坐标为整数的点的个数．
【解答】解：切线倾斜角小于，
斜率．
设切点为，，则，
，．
又，不存在．
故选：．
【点评】本题考查直线的斜率、导数的运算，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
3．（2005•广东）函数是减函数的区间为
A．B．C．D．
【分析】求出令其小于0即可得到函数是减函数的区间．
【解答】解：由，得
函数是减函数的区间为．
故选：．
【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．
4．（2005•湖北）若，则与的大小关系
A．B．
C．D．与的取值有关
【分析】用将不等式问题转化为函数问题，令，用导数法判断即可．
【解答】解：令，，
当 时，，单调减，，．
当时，，单调增加，
但是，，
所以在区间，有且仅有一点使．
当时，，．
当时，，．
所以当 时，；
当 时，；
当 时，．
故选：．
【点评】本题主要考查用函数法来解不等式问题，不等式往往与函数的单调性有关，所以可用单调性定义或导数来解决．
5．（2005•安徽）函数，已知在时取得极值，则
A．2B．3C．4D．5
【分析】先对函数进行求导，根据函数在时取得极值，可以得到，代入求值．
【解答】解：对函数求导可得，
在时取得极值
，验证知，符合题意
故选：．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的性质．属基础题．比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题．
二．填空题（共4小题）
6．（2005•陕西）曲线在点处的切线方程为 ．
【分析】根据已知容易得出点在曲线上，若求过点的切线方程，只需求出切线的斜率即可．
【解答】解：因为，所以，
所以在点处的切线斜率，
所以切线的方程为，即切线方程为．
故答案为：．
【点评】熟练掌握导数的几何意义，求出切线方程等．
7．（2005•重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为 ．
【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：，
，当时，得切线的斜率为3，所以；
所以曲线在点处的切线方程为：
，即．
令得：，
切线与轴、直线所围成的三角形的面积为：
故答案为：．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
8．（2005•北京）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
【分析】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为，再求出在点切点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．
【解答】解：
设切点的坐标为，，切线的斜率为，
则，故切线方程为
又切线过原点，，，，．
故答案为：；．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
9．（2005•湖南）设函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积称为函数在，上的面积，已知函数在，上的面积为，
在，上的面积为 ；
在，上的面积为 ．
【分析】函数与函数类比，可以得出函数在，上的面积，得出函数在，上的面积是函数在，上的面积的两倍，从而得出函数在，上的面积．
设，，，则，同理可求．
【解答】解：函数在，上的面积为，对于函数而言，，
函数在，上的面积为：，则函数在，上的面积为
设，，，则，在，上的面积为
故答案为：，
【点评】在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．
三．解答题（共13小题）
10．（2005•福建）已知函数的图象过点，且在点，处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
【分析】（Ⅰ）求解析式，只需把，，三个字母求出即可．已知点满足，得到，又点，处的切线方程为，可以得到的值，并且得到在处的导数为6．
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）的图象经过，，
，．
点，处的切线方程为
①，
还可以得到，，即点满足方程，得到②
由①、②联立得
故所求的解析式是．
（Ⅱ）．，令，即．
解得．当；
当．
故的单调增区间为，，；单调减区间为，
【点评】本题主要考查了两个知识点，一是导数的几何意义，二是利用导数研究函数的单调性，属于函数这一内容的基本知识，更应该熟练掌握．
11．（2005•天津）设函数．
（Ⅰ）证明，其中为为整数；
（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；
（Ⅲ）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，，，，，证明，2，．
【分析】（1）利用三角函数的和角公式，结合三角函数的诱导公式化简即可；
（2）题目中条件：“为的一个极值点”可得，是其导数的一个零点，由此得到一个方程，解之即得；
（3）由题意得：“在第二或第四象限内”，结合正切函数的图象与性质讨论两极值点的差的范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由函数的定义，对任意整数，有
．
（Ⅱ）证明：函数在定义域上可导，①
令，得．
显然，对于满足上述方程的有，
上述方程化简为．此方程一定有解．的极值点一定满足．
由，得．
因此，．
（Ⅲ）证明：设是的任意正实数根，即，
则存在一个非负整数，使，，即在第二或第四象限内．
由①式，在第二或第四象限中的符号可列表如下：
所以满足的正根都为的极值点．
由题设条件，，，，为方程的全部正实数根且满足，
那么对于，2，． ②
由于，，
则，
由于，由②式知．
由此可知必在第二象限，
即．综上，．
【点评】本题考查了三角函数的和角公式、诱导公式，函数的极值点、正切函数的图象与性质问题．
12．（2005•黑龙江）设为实数，函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．
【分析】（1）函数连续可导，只需讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）曲线与轴仅有一个交点，可转化成或即可．
【解答】解：（1）令得：．
又当时，；
当，时，；
当时，；
与分别为的极大值与极小值点．
；
（2）在上单调递增，
当时，；
又在单调递增，当时，
当或时，曲线与轴仅有一个交点．
即或，
，，
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．
13．（2005•重庆）已知，讨论函数的极值点的个数．
【分析】先求出时得到方程讨论△的取值决定方程解得个数从而得到函数极值的个数．
【解答】解：
，
令得
（1）当△．
即或时，方程有两个不同的实根，，不妨设，
于是，从而有下表：
即此时有两个极值点．
（2）当△即或时，方程有两个相同的实根
于是故当时，；当时，，因此无极值．
（3）当△，即时，，，故为增函数，此时无极值．因此当或时，有2个极值点，当时，无极值点．
综上所述：当或时，有两个极值点．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力．
14．（2005•重庆）设函数，其中．
（1）若在处取得极值，求常数的值；
（2）若在上为增函数，求的取值范围．
【分析】（1）求出，由取得极值得到（3），求解得到的值即可；
（2）因为函数在上为增函数令得到函数的驻点，由的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时的范围即可．
【解答】解：（1）．
因在取得极值，所以（3）．解得．
经检验知当时，为为极值点．
（2）令得，．
当时，若，，，则，所以在和上为增
函数，故当时，在上为增函数．
当时，若，，，则，所以在和上为增函
数，从而在，上也为增函数．
综上所述，当，时，在上为增函数．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值及单调性的运用能力．
15．（2005•山东）已知是函数的一个极值点，其中，，．
（Ⅰ）求与的关系表达式；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当，时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出，因为是函数的极值点，所以得到（1）求出与的关系式；
（Ⅱ）令求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于即代入得到不等式即，又因为，分和，当时，求出的最小值．要使恒成立即要的最小值，解出不等式的解集求出的范围．
【解答】解：（Ⅰ）．
因为是的一个极值点，所以（1），即．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当时，有，当变化时与的变化如下表：
由上表知，当时，在单调递减，在，单调递增，在单调递减．
（Ⅲ）由已知，得，即，
．．
①时．式化为怛成立．
．
②时，，．
式化为．
令，则，，记，
则在区间，是单调增函数．．
由式恒成立，必有，又．．
综上①②知．
【点评】考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．
16．（2005•福建）已知函数的图象在点，处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
【分析】（Ⅰ）求出，把的坐标代入切线方程即可求出，代入中，再根据切线的斜率为得到，代入到中，联立两者求出与的值即可得到的解析式；
（Ⅱ）把与的值代入到中求出导函数的解析式，让大于0求出的取值范围即为函数的递增区间；让小于0求出的取值范围即为函数的递减区间．
【解答】解：（Ⅰ）由函数的图象在点，处的切线的方程为，
得，即，而根据切线的斜率为得到，
，
利用和联立得
解得，把和的值代入可得；
，由得到；
由得到，或
所以函数在，，上单调递减，在，上单调递增．
【点评】此题是一道综合题，要求学生会利用待定系数法求函数的解析式，让学生掌握利用导数求切线方程的斜率及利用导数研究函数的单调性．
17．（2005•湖南）设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）用表示，，；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求的取值范围．
【分析】根据函数，的图象都过点，以及，在点处有相同的切线，建立方程组，即可用表示，，；
先利用导数求出的单调减区间，然后使是单调减区间的子集，建立关系式，解之即可求出的范围．
【解答】解：因为函数，的图象都过点，所以，
即．因为，所以．，即，所以．
又因为，在点处有相同的切线，所以．
而，，所以．
将代入上式得．因此．故，，．
，．
当时，函数单调递减．
由，若，则；若，则．
由题意，函数在上单调递减，则，，或，，．
所以或．即或．
的取值范围为，，．
【点评】本题主要考查函数与导数的基本知识，几何意义及其应用，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查学生数形结合思想以及转化与归化的能力，属于中档题．
18．（2005•黑龙江）已知，函数．
（Ⅰ）当为何值时，取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设在，上是单调函数，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）直接求两个函数乘积的导函数，令其等于0，求出极值点，判断单调性，进而求出最小值；
（Ⅱ）在，上是单调函数，即其导函数恒大于等于或小于等于零，转化为不等式恒成立问题，再通过构造函数转化为求函数最值，利用导数的方法即可解决．
【解答】解：（1）令即
△，
又当时，；
当，时，；
当，时，．
列表如下：
，分别为的极大值与极小值点．
又；当时，．
而．
当时，取得最小值．
（2）在，上单调，则（或在，上恒成立．
而，令．
（或即（或．
当在，上恒成立时，有
①当即时，（舍；
②当即时，（1）（舍．
当在，上恒成立时，有
①当即时，（1），；
②当即时，，；
③当即时，，．
故，．
【点评】本题考查函数单调性的性质，导数在函数最大值、最小值中的应用，灵活运用分类讨论思想与转化思想是解决此类题目的关键，属于中档题．
19．（2005•陕西）已知函数，，，
（1）求函数的单调区间和值域；
（2）设，函数，，，若对于任意，，总存在，，使得成立，求的取值范围．
【分析】（1）先对函数，，，求导，先对函数进行求导，然后令导函数大于0（或小于求出的范围，根据求得的区间是单调增区间，求得的区间是单调减区间，求出极值，即可得到答案．
先对函数求导，则．利用导数求出函数的取值范围，即当，时有，，最后依据题意：“任给，，，，存在，使得，”得到：，，，从而列出不等关系求得的取值范围即可．
【解答】解：（1）对函数，，，求导，得
，
令解得或．当变化时，，的变化情况如下表所示：
所以，当时，是减函数；当，时，是增函数．
当，时，的值域是，．
对函数求导，则．
因为，当时，，
因此当时，为减函数，
从而当，时有（1），，
又（1），，
即当，时有，，
任给，，，，存在，使得，
则，，，即，
解①式得或，
解②式得，
又，故的取值范围内是．
【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
20．（2005•北京）已知函数．
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【分析】先求出函数的导函数，然后令，解得的区间即为函数的单调递减区间；
先求出端点的函数值与（2），比较（2）与的大小，然后根据函数在，上单调递增，在，上单调递减，得到（2）和分别是在区间，上的最大值和最小值，建立等式关系求出，从而求出函数在区间，上的最小值．
【解答】解：．
令，解得或，
所以函数的单调递减区间为，．
因为，（2），
所以（2）．
因为在上，所以在，上单调递增，
又由于在，上单调递减，
因此（2）和分别是在区间，上的最大值和最小值，于是有，解得．
故，因此，
即函数在区间，上的最小值为．
【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．
21．（2005•山东）已知是函数的一个极值点，其中，，．
（Ⅰ）求与的关系表达式；
（Ⅱ）求的单调区间．
【分析】由是函数的一个极值点，求导，则（1），求得与的关系表达式；
根据，代入中，求导，令导数，求得单调增区间，令，求得单调减区间．
【解答】解：，
因为是的一个极值点，
所以（1），即，所以．
由知，
．
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
由上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，单调递减．
【点评】考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题，求函数的单调区间实质是解不等式，属中档题．
22．（2005•湖南）已知函数，，．
（Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数的图象与函数图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点、，证明在点处的切线与在点处的切线不平行．
【分析】（Ⅰ）先求函数的解析式，因为函数存在单调递减区间，所以有解，求出的取值范围；
（Ⅱ）先利用导数分别表示出函数在在点处的切线与在点处的切线，结合过线段的中点作轴的垂线分别交，于点、，建立关系式，通过反证法进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）时，，
则．
因为函数存在单调递减区间，所以有解．
又因为时，则有的解．
①当时，为开口向上的抛物线，总有的解；
②当时，为开口向下的抛物线，而总有的解；
则△，且方程至少有一正根．此时，．
综上所述，的取值范围为，，．
（Ⅱ）设点、的坐标分别是，，，，．
则点、的横坐标为，
在点处的切线斜率为，，，
在点处的切线斜率为，，．
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则．
即，
则
．
所以．设，则，①
令，．则．
因为时，，所以在，上单调递增．故（1）．
则．这与①矛盾，假设不成立．
故在点处的切线与在点处的切线不平行．
【点评】本题考查了函数单调性的应用，以及利用导数研究曲线上某点处的切线问题，属于难题．
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为奇数
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为极小值
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极小值
单调递增
极大值
单调递减
，
，
0
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极大值
极小值
0
，
1
0
1
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
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