普通高中学业水平考试数学模拟卷4

这是一份普通高中学业水平考试数学模拟卷4，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.已知集合A={1,2,3},B={2,4},则A∪B=( )
A.{2}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,2,3,4}
2.已知i为虚数单位,则复数(1+2i)+(-3+2i)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.函数f(x)=2-x+lg(x-1)的定义域为( )
A.{x|x≥2}B.{x|x<1}C.{x|1≤x≤2}D.{x|14.已知a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=( )
A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(-3,1)
5.已知α∈π,3π2,且tan α=34,则cs α=( )
A.-35B.35C.-45D.45
6.“a≤1”是“方程x2+2x+a=0(a∈R)有正实数根”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为( )
A.3π3B.3πC.2π3D.2π
8.已知a=e13,b=ln13,c=sin13,则( )
A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b
9.现测得某放射性元素的半衰期为1 350年(每经过1 350年,该元素的存量为原来的一半),某生物标本中该放射性元素的初始存量为m,经检测现在的存量为m5.据此推测该生物距今约为( )(参考数据:lg 2≈0.3)
A.2 452年B.2 750年C.3 150年D.3 856年
10.已知函数f(x)=lg(x+x2+1)-22x+1,则不等式f(2x+1)+f(x)>-2的解集为( )
A.-13,+∞B.-13,100C.-∞,-13D.-23,100
11.已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x+1+2y+1的最小值为( )
A.12+2B.3+22C.94D.3415
12.在四面体ABCD中,△ABC与△BCD都是边长为6的等边三角形,且二面角A-BC-D的大小为60°,则四面体ABCD外接球的表面积是( )
A.52πB.54π
C.56πD.60π
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)
13.已知a,b∈R,则下列选项中能使1a<1b成立的是( )
A.b>a>0B.a>b>0
C.b<014.不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球,其中3个红球、2个白球,从袋中一次性取出2个球,记事件A=“两球同色”,事件B=“两球异色”,事件C=“至少有一红球”,则( )
A.P(A)=35B.P(C)=910
C.事件A与事件B是对立事件D.事件A与事件B是相互独立事件
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则( )
A.若A>B,则sin 2A>sin 2B
B.若S△ABC=1,a=1,则sin A的最大值为817
C.若a=23,b=4,A=π4,则满足条件的三角形有两个
D.若AB|AB|+AC|AC|·BC=0,且AB|AB|·AC|AC|=12,则△ABC为等边三角形
16.已知定义在R上的函数y=f(x)满足fx-32=-f(x),且fx+34为奇函数,f(-1)=-1,f(0)=2.下列说法正确的是( )
A.3是函数y=f(x)的一个周期
B.函数y=f(x)的图象关于直线x=34对称
C.函数y=f(x)是偶函数
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)=2
三、填空题(本大题共4小题,共15分)
17.已知f(x)是幂函数,且满足:①f(-x)=f(x);②f(x)在(0,+∞)内单调递增,请写出符合上述条件的一个函数f(x)= .
18.已知a=(2,1),b为单位向量,且(a+2b)⊥(a-b),则a·b= ,向量b在向量a上的投影向量为 .
19.某班共有学生40人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图,如图所示,成绩不低于85分的人数有 人.
20.已知函数f(x)=sin ωx-3cs ωx(ω>0)在0,π3内存在最值,且在2π3,π内单调,则ω的取值范围是 .
四、解答题(本大题共3小题,共33分)
21.(11分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足2csC-csAcsB=sinA-2sinCsinB.
(1)求ac的值;
(2)若sin B=154,b=2,求△ABC的面积.
22.(11分) 已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AB=AD=2BC=2,E为PD的中点.
(1)求证:CE∥平面PAB;
(2)设平面EAC与平面DAC的夹角为45°,求三棱锥E-ACD的体积.
23.(11分)已知函数f(x)=lg2[(3m-6)x+2m-5],g(x)=lg21x+m,m∈R.
(1)若f(1)=2,求m的值;
(2)若方程g(x)-f(x)=0恰有一个实根,求m的取值范围;
(3)设m>0,若对任意t∈12,2,当x1,x2∈[t,t+1]时,满足|g(x1)-g(x2)|≤1,求m的取值范围.
普通高中学业水平考试数学模拟卷(四)
1.C
2.B 解析 因为(1+2i)+(-3+2i)=-2+4i,所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(-2,4),位于第二象限.故选B.
3.D 解析 由题意,要使f(x)有意义,则2-x≥0,x-1>0,解得14.A 解析 因为a=(2,1),b=(x,-2),a∥b,
所以2×(-2)-1×x=0,所以x=-4,
所以b=(-4,-2),所以a+b=(-2,-1),故选A.
5.C 解析 由α∈π,3π2可知α为第三象限的角,故cs α<0,
由tan α=34=sinαcsα,
又sin2α+cs2α=1,解得cs α=-45,故选C.
6.B 解析 由于函数y=x2+2x+a图象的对称轴为直线x=-1,且开口向上,所以x2+2x+a=0(a∈R)有正根,则必须f(0)<0,解得a<0,因为“a≤1”是“a<0”的必要不充分条件,故选B.
7.A 解析 因为圆锥底面半径为1,其侧面展开图是半圆,
所以圆锥的底面周长为2π,则圆锥的母线长为2,故圆锥的高为22-12=3,
所以圆锥的体积为V=13×π×12×3=3π3,故选A.
8.D 解析 因为a=e13>e0=1,b=ln13c>b,故选D.
9.C 解析 由题意可知m5=m12 t1 350,
两边取对数得-lg 5=t1 350(-lg 2),所以t=1 350lg5lg2=1 350(1-lg2)lg2=1 350lg2-1 350≈3 150,故选C.
10.A 解析 由f(x)=lg(x+x2+1)-22x+1可知,x∈R,
故f(x)+f(-x)=lg(x+x2+1)-22x+1+lg(-x+x2+1)-22-x+1=lg(x+x2+1)(-x+x2+1)-22x+1+2·2x2x+1=lg 1-2=-2,
即f(x)+1+f(-x)+1=0,令g(x)=f(x)+1,
则g(x)+g(-x)=0,即g(x)=f(x)+1为奇函数,
f(x)=lg(x+x2+1)-22x+1为增函数,则g(x)=f(x)+1为增函数,
不等式f(2x+1)+f(x)>-2,
即f(2x+1)+1+f(x)+1>0,
即g(2x+1)+g(x)>0,g(2x+1)>-g(x)=g(-x),
故2x+1>-x,x>-13,即f(2x+1)+f(x)>-2的解集为-13,+∞,故选A.
11.C 解析 由题可得,x+2y=1,则(x+1)+2(y+1)=4,
所以1x+1+2y+1=141x+1+2y+1[(x+1)+2(y+1)]=145+2(y+1)x+1+2(x+1)y+1≥145+22(y+1)x+1·2(x+1)y+1=94,当且仅当2(y+1)x+1=2(x+1)y+1,即x=y=13时,等号成立,故选C.
12.A 解析 如图所示,取BC的中点O,连接OD,OA,分别取△BCD和△ABC的外心E与F,过两点分别作平面BDC和平面ABC的垂线,交于点P,则P就是外接球的球心,连接OP,DP,
则∠AOD为二面角A-BD-C的平面角,即∠AOD=60°,
则△AOD是等边三角形,其边长为6×32=33,OE=13OD=13×33=3,在△POE中,∠POE=30°,
所以PE=OEtan 30°=3×33=1,
又由DE=23OD=23,所以PD=R=PE2+CE2=12+(23)2=13,
所以四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2=4π×(13)2=52π.故选A.
13.BD 解析 对于A,由b>a>0可得1a>1b>0,A错误,
对于B,由a>b>0可得1b>1a>0,B正确,
对于C,由b<00>1b,C错误,
对于D,由b1b>1a,D正确,故选BD.
14.BC 解析 随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含10个样本点,
随机事件A包含的样本点的个数为4,
所以P(A)=410=25,A错误;
随机事件C包含的样本点的个数为9,所以P(C)=910,B正确;
事件A与事件B不可能同时发生,所以事件A与事件B为互斥事件,
又因为P(A+B)=1,即事件A+B为必然事件,所以事件A与事件B是对立事件,C正确;
随机事件B包含的样本点的个数为6,所以P(B)=610=35,随机事件AB为不可能事件,所以P(AB)=0,所以P(AB)≠P(A)P(B),
所以事件A与事件B不是相互独立事件,D错误.故选BC.
15.BCD 解析 A选项,若A>B,如A=π2,B=π4,2A=π,2B=π2,sin 2A=0,sin 2B=1,sin 2AB选项,S△ABC=12bcsin A=1,bc=2sinA,
由余弦定理得cs A=b2+c2-12bc,2bc·cs A=b2+c2-1,
2·2sinA·cs A=b2+c2-1≥2bc-1=2·2sinA-1,
即4csAsinA≥4sinA-1,当且仅当b=c时等号成立,
由于在三角形中,sin A>0,所以4cs A≥4-sin A,cs A≥1-14sin A>0,则cs2A≥1-14sin A2,
又因为cs2A=1-sin2A,
即1-sin2A≥1-14sin A2,
整理得178sin A-1·sin A≤0,
解得0C选项,若a=23,b=4,A=π4,则bsin A=4×22=22,所以bsin A所以满足条件的三角形有两个,所以C选项正确.
D选项,AB|AB|表示AB方向的单位向量;AC|AC|表示AC方向的单位向量,
根据平面向量加法的几何意义可知AB|AB|+AC|AC|与∠BAC的角平分线共线,
由AB|AB|+AC|AC|·BC=0可知∠BAC的角平分线与BC垂直,所以三角形ABC是等腰三角形.
而AB|AB|·AC|AC|=1×1×cs A=cs A=12>0,所以A为锐角,且A=π3,所以三角形ABC是等边三角形,所以选项D正确.故选BCD.
16.AC 解析 对于A选项,因为fx-32=-f(x),所以f(x-3)=-fx-32=f(x),所以3是函数f(x)的一个周期,故A正确;
对于B选项,因为fx+34为奇函数,所以f-x+34=-fx+34,所以点34,0是函数y=f(x)图象的对称中心,故B错误;
对于C选项,因为fx+34为奇函数,所以f-x+34=-fx+34,所以f-x+32=-f(x).
又因为fx-32=-f(x),所以f-x+32=fx-32,所以f(-x)=f(x),
所以函数y=f(x)是偶函数,故C选项正确;
对于D选项,由选项C知,函数y=f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1)=-1.又因为3是函数y=f(x)的一个周期,所以f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2,f(2 023)=f(1)=-1,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)=2 0223×0-1=-1,故D错误.故选AC.
17.x2(答案不唯一)(形如f(x)=xnm,m为正奇数,n为正偶数,都可以) 解析 因为f(x)是幂函数,且f(x)在(0,+∞)内单调递增,故可设f(x)=xnm(m,n∈N*,m,n互质),
又因为f(-x)=f(x),所以m为奇数,n为偶数,
故f(x)=x2为符合条件的一个函数.
18.-3 -65,-35 解析 因为a=(2,1),b为单位向量,
则|a|=22+12=5,|b|=1,
因为(a+2b)⊥(a-b),则(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=5+a·b-2=0,可得a·b=-3,
所以向量b在向量a上的投影向量为|b|cs·a|a|=a·b|a|2·a=-35a=-35(2,1)=-65,-35.
19.9 解析 由频率分布直方图的频率和为1,可得0.005×10+0.022 5×10+a×10+0.035×10+0.007 5×10=1,
解得a=0.030.
故成绩不低于85分的人的频率为0.0302×10+0.007 5×10=0.225,所以成绩不低于85分的人数有0.225×40=9.
20.114,176 解析 因为f(x)=sin ωx-3cs ωx=2sinωx-π3,
当00,则-π3<ωx-π3<πω3−π3,
因为函数f(x)在0,π3内存在最值,则πω3−π3>π2,解得ω>52,当2π3因为函数f(x)在2π3,π内单调,
则2πω3−π3,πω-π3⊆kπ-π2,kπ+π2(k∈Z),
所以2πω3-π3≥kπ-π2,πω-π3≤kπ+π2,其中k∈Z,
解得32k-14≤ω≤k+56(k∈Z),
所以32k-14≤k+56,解得k≤136,
又因为ω>0,则k∈{0,1,2},当k=0时,0<ω≤56;当k=1时,54≤ω≤116;当k=2时,114≤ω≤176.
又因为ω>52,因此,实数ω的取值范围是114,176.
21.解 (1)由2csC-csAcsB=sinA-2sinCsinB,
得2sin Bcs C-sin Bcs A=sin Acs B-2sin Ccs B,
所以2sin(B+C)=sin(A+B),
则2sin A=sin C,所以ac=12.
(2)由sin B=154,且2sin A=sin C,
则cs B=±14,
设a=x⇒c=2x,则b2=a2+c2-2accs B⇒4=x2+4x2-4x2cs B,
所以x=1或x=63,
又因为S=12acsin B=x2sin B,
当x=1时,S=154;当x=63时,S=23×154=156.
22.
(1)证明 取PA的中点F,连接EF,BF,∵E是PD的中点,∴EF∥AD且EF=12AD,
又BC∥AD且BC=12AD,
∴BC∥EF且BC=EF,
∴四边形BCEF为平行四边形,CE∥BF,
又CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,∴CE∥平面PAB.
(2)解 取AD的中点G,连接EG,过点G作GH⊥AC交AC于点H,连接EH,
∵E,G分别是PD,AD的中点,∴EG∥PA.
又PA⊥平面ABCD,
∴EG⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴EG⊥AC,
又AC⊥HG,HG∩EG=G,HG,EG⊂平面EGH,
∴AC⊥平面EGH,HE⊂平面EGH,
∴AC⊥HE,∴∠EHG是平面EAC与平面DAC的夹角的平面角.∴∠EHG=45°.
∵AB=2,BC=1,∴tan∠CAB=12,
∴tan∠HAG=2,
∴sin∠HAG=25,∴GH=AG·sin∠GAH=1×255=255,∴EG=HG=255.
∴VE-ACD=13×EG×S△ACD=13×255×12×2×2=4515.
23.解 (1)f(1)=2⇒lg2(5m-11)=lg24⇒5m-11=4⇒m=3.
(2)方程g(x)-f(x)=0⇔(3m-6)x+2m-5=1x+m,①1x+m>0,②
由①可得(3m-6)x2+(m-5)x-1=0⇒(3x+1)·[(m-2)x-1]=0,
当m=2时,方程有唯一解x=-13,此时1x+m=-3+2=-1<0,∴不满足②,
当m=-1时,方程有两个相等解x=1m-2=-13,此时1x+m=-3-1=-4<0,∴不满足②.
当m≠-1且m≠2时,方程有两个不等解x1=-13,x2=1m-2,
若x2=1m-2满足m-2+m=2m-2>0⇒m>1,
若x1=-13满足1x+m=-3+m>0⇒m>3,
则若x=1m-2是唯一解,有m>1,m≤3,解得1若x=-13是唯一解,则有m>3,m≤1,解得m∈⌀,
综上,当1(3)当x1,x2∈[t,t+1]时,|g(x1)-g(x2)|≤1恒成立,则有g(x)max-g(x)min≤1,
由已知m>0,由复合函数的单调性知g(x)=lg21x+m在(0,+∞)内单调递减,
∴g(t)-g(t+1)≤1⇒lg21t+m-lg21t+1+m≤1=lg22⇒1t+m≤2t+1+2m,
∴mt2+(m+1)t-1≥0对∀t∈12,2恒成立,令h(t)=mt2+(m+1)t-1.
∵m>0,
∴h(t)在t∈12,2上单调递增,
∴h(t)min=h12=3m-24≥0⇒m≥23,
∴实数m的取值范围是23,+∞
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