2024届新高考江苏省苏州市数学模拟信息卷5

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明。经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明。他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫作圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知一组样本数据（），由这组数据得到另一组新的样本，，其中，则（ ）
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组数据的方差相同
C．样本数据的第百分位数为
D．将两组数据合成一个样本容量为的新的样本数据，该样本数据的平均数为
10．音量的大小用声强级（单位：dB），表示声强级与声强（单位：W/m2）之间的关系是，其中指的是人能听到的最低声强．人能承受的最大声强为W/m2，对应的声强级为dB．若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则（ ）
A．（单位：W/m2）
B．学生早读期间读书的声强范围为（单位：W/m2）
C．如果声强变为原来的倍，则对应声强级也变为原来的倍
D．如果声强级增加dB，则声强变为原来的倍
11．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为周期函数
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在顶点为的圆锥中，为底面圆心，为圆锥的母线，且．若棱锥为正三棱锥，则该圆锥的体积为 ．
13．在中，角的对边分别是，若，则 ．
14．已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列满足．
（1）求证是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，求证：．
16．（15分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．（参考数据：）
17．（15分）如图1所示，在矩形中，，点为的中点，现将沿折起，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，点为棱上一点．
（1）证明：；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18．（17分）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的个红球和个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励元的奖券，抽到黑球则奖励元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的倍，抽到黑球则奖励元的奖券．记顾客甲第次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．
（1）求及的分布列；
（2）写出与的递推关系式，并证明为等比数列；
（3）若顾客甲一共有次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：）
19．（17分）在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点．
（1）求的方程；
（2）若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点．