48，江苏省常州市2023-2024学年高二上学期期末学业水平监测数学试卷

这是一份48，江苏省常州市2023-2024学年高二上学期期末学业水平监测数学试卷，共21页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，每日平均运动低于1万步的人数为等内容，欢迎下载使用。

2024年1月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 63B. 10C. 21D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据排列数公式及组合数公式计算可得.
【详解】由题意得，故C正确.
故选：C.
2. 用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A. 11B. 13C. 63D. 78
【答案】D
【解析】
【分析】根据线性回归方程为一定过点，先求出，代入回归方程即可得出，进而可得的值.
【详解】依题意，您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载 因为，所以，
因为线性回归方程为一定过点，
所以，
所以.
故选：D.
3. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得的不等式组，解不等式组即可得的取值范围．
【详解】由题意知焦点在轴上，则，解得，故D正确.
故选：D.
4. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（ ）
A. 13B. 10C. 1D. 13或1
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得，
所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确.
故选：A.
5. 定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A. 21B. 35C. 36D. 45
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义分类讨论首位数字,再应用计数原理计算即可.
【详解】“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，故首位最大为8，且首位不为0，则有：
若首位为8，则剩余两位均为0，共有1个“幸运数”；
若首位为7，则剩余两位为，共有个“幸运数”；
若首位为6，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”；
若首位为5，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”；
若首位为4，则剩余两位为，或，或，共有个“幸运数”；
若首位为3，则剩余三位为，或，或，共有个“幸运数”；
若首位为2，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”；
若首位为1，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”；
综上所述：共有个“幸运数”.
故选：C.
6. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，则，由已知可得出，可得出，化简得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】设等比数列的公比为，则，
则，
所以，，
则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
7. 已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取线段的中点，连接，将的取值范围问题转化为的范围问题，通过将圆的方程做差得到公共弦的方程，求出，结合圆的性质可得的范围.
【详解】圆，即，其圆心，半径，
圆，即，其圆心，半径，
取线段的中点，连接，
则，
将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为，
则，
则，
所以.
故选：B.
8. 经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形，设，则，利用二倍角的正切公式求出的值，计算出、，由可求得的值.
【详解】如下图所示：
设，则，
则，
双曲线的渐近线方程为，则到直线的距离为，
因为，则，故，
由勾股定理可得，
因为，整理可得，
又因为，解得.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 点、，过、的直线为，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则直线的方程为
B. 若，则直线的倾斜角为
C. 任意实数，都有
D. 存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用点斜式可判断A选项；利用斜率公式以及倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，点，又因为点，则，
此时，直线的方程为，即，A对；
对于B选项，若，则，又因为点，，
设直线的倾斜角为，则，且，则，
即直线的倾斜角为，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为，
此时，直线的方程为，即，
因为点在直线上，则，解得，
若直线不经过原点，设直线的方程为，
因为点在直线上，则，此时，直线的方程为，
因为点在直线上，则，解得.
综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对.
故选：ABD.
10. 甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A. 若甲和乙相邻，共有种排法B. 若甲不排第一个共有种排法
C. 若甲与丙不相邻，共有种排法D. 若甲在乙的前面，共有种排法
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项.
【详解】甲、乙、丙等人排成一列，
对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序，
共有种排法，A对；
对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排，
共有种，B对；
对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，
然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，
所以，共有种排法，C对；
对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，
然后将其余个人全排，共有种排法，D对.
故选：ACD.
11. 已知直线与圆交于，两点，点为线段的中点，且点的坐标为．当时，，则（ ）
A. B. 的最小值为
C. 存在点，使D. 存在，使
【答案】AD
【解析】
【分析】利用圆的弦长公式判断A、B；假设存在点，求出直线方程，判断与圆的位置关系，判断C，求出点的轨迹方程，可判断D.
【详解】当时，直线，
圆心到直线的距离，
又，解得，A正确；
由上可知圆，
圆心到直线的距离，
则，B错误；
若，则直线斜率为，
从而直线：，
此时圆心到直线的距离，
则直线与圆相离，即不存在点，使，C错误；
设点，因为直线过定点，
则，即，
化简为，为点的轨迹方程，
若，则，
即，得，
故存在存在，使，D正确.
故选：AD.
12. 在等比数列中，，为数列的前项积，下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，则的最大项为
D. 若，则的最小项为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件可得，可得出选项A正确；选项B，因为，从而判断出选项B的正误；选项C，利用，结合选项C的条件，可得，进而有，，而，，再比较即可判断出选项C的正确；选项D，根据条件得出，而，，再比较即可判断出选项D的正误.
【详解】设等比数列公比为，所以，
又，所以，解得，故选项A正确，
对于选项B，因为，又，所以，
得到，故选项B错误，
对于选项C，因为，又，所以，
又，所以，则有，，
又，所以数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，
所以，，
又，，故选项C正确，
对于选项D，因为，又，所以，
又，，所以，
又数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，
且，，
又，，，又，
而，若，则，此时，故选项D错误，
故选：AC.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C和D的判断，对于选项C，利用条件得到，再比较即可，对于选项D，利用条件得到，再比较即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中，各项系数的绝对值之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式、二项式系数和等知识求得正确答案.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
所以各项系数的绝对值之和为.
故答案为：
14. 已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等比数列，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，求出、，根据题意可得出，可得出、的等量关系，进而可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
，
因为、、成等比数列，则，则，
所以，，可得，
又因为，则，则，则，
所以，.
故答案为：.
15. 在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，求出，的坐标，进而得到，再由点到直线的距离公式，求出的高，即可求得的面积．
【详解】由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示，
设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于，
则，所以直线的倾斜角为，
又，故直线的方程为，
联立，消整理得，即，解得或，
则，，所以，
又原点到直线的距离为，所以，
当直线斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求．
故答案为：．
16. 已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意在轴右侧要存在两个点到的距离相等，不妨设轴上方椭圆上的点，由距离公式求出，然后转化为二次函数问题，即只需对称轴位于，从而可求解.
【详解】由题意知，在椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，由对称性知，在直线右侧要存在两个点到的距离相等，
不妨设轴上方椭圆上的点为，即，得，
所以，，
要满足题意，由二次函数的对称性可知需在内对于总能取到两个不同的的值，即等价于二次函数对称轴在的范围内即可，
所以，即，即，即，
化简得，即，
即，解得，
又因为，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要是设点并结合距离公式求出的表达式，再结合二次函数性质构建出关于系数的不等式，化简为，从而可求解.
四、解答题、本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的．
（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；
（2）判断是否有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析
（2）有
【解析】
【分析】（1）根据题意完成列联表即可；
（2）根据列联表求出，即可进行独立性检验.
【小问1详解】
由已知，40岁以上（含40岁）的人数为，40岁以下的人数为100．每日平均运动低于1万步的人数为．由此得如下列联表：
【小问2详解】
，
所以有的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．
18. 设是正项数列的前项和，且，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】18. 证明见解析
19.
【解析】
【分析】（1）由题中的递推公式可得，从而可求解.
（2）由（1）可得，当时，求得，再验证，从而可求解
【小问1详解】
因为，，
所以，，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
【小问2详解】
，且，所以．
当时，，．
时，不满足上式，
所以．
19. 已知椭圆的右焦点为，点在上．
（1）求的方程；
（2）斜率为1的直线与交于，两点，线段的中点为，求点的横坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得且结合椭圆的定义即可求得，从而可求解.
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，因为有两个交点可得求出，再结合点在椭圆内及根与系数关系，从而可求解.
【小问1详解】
由已知得椭圆的左右焦点分别为，，
，所以，
所以，所以．
【小问2详解】
设直线的方程为：，，，
联立消去得：，
所以，
由，解得．
因为，所以，
所以点的横坐标的取值范围为．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
20. 已知．
（1）求的最大值；
（2）求被13除余数．
【答案】（1）1792
（2）9
【解析】
【分析】（1）由题意可得，再利用二项式定理展开式得，再由，从而可求解.
（2）由再结合题意进行展开从而可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，．
所以，，．
令，则，所以的最大值为1792．
【小问2详解】
因为．
所以被除的余数，即为被除的余数为．
21. 已知等差数列满足，，数列满足，且．
（1）证明：是等比数列，并求数列和的通项公式：
（2）将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和．
【答案】（1）证明见解析，，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列公式确定，计算得到，得到证明.
（2）确定，再根据分组求和法结合等比数列求和公式计算得到答案.
【小问1详解】
由题可知，，
所以，，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以（常数），
所以是等比数列，
所以，即．
【小问2详解】
为从开始的奇数，当为奇数时，为奇数，，
故．
．
22. 已知抛物线焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点．
（1）证明：；
（2）当的内切圆半径时，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设直线的方程为，设点、，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算，即可证得结论成立；
（2）由（1）可知，的内切圆圆心在轴上，设圆心的坐标为，则，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，利用内切圆圆心的几何性质可得出，进而可得出的取值范围，再利用弦长公式结合韦达定理可求得的取值范围.
【小问1详解】
解：易知抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，，
则，由得，，
由韦达定理可得，，
则
，所以．
【小问2详解】
解：由（1）可知：的内切圆圆心在轴上，
所以设圆心，则，设直线的方程为，且，
由得，，且，则，
由韦达定理可得，，
所以，
所以直线的方程为，即．
因为点到直线的距离等于点到直线的距离，所以，
所以，，，
则，上述两个等式作差可得，可得，
所以，
因为在上单调减，所以．
所以.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.每日平均运动1万步或以上
每日平均运动低于1万步
总计
40岁以上（含40岁）
80
40岁以下
总计
200
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
每日平均运动1万步或以上
每日平均运动低于1万步
总计
40岁以上（含40岁）
80
20
100
40岁以下
40
60
100
总计
120
80
200