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§1.1 集 合 课件-2025高考数学一轮复习
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这是一份§1.1 集 合 课件-2025高考数学一轮复习，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，确定性，互异性，无序性，不属于，列举法，描述法，图示法，4常见数集的记法，任意一个元素等内容，欢迎下载使用。
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性： 、 、 .(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示.(3)集合的表示法： 、 、 .
2.集合的基本关系(1)子集：如果集合A的 都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A B或B A.(2)真子集：如果集合 ，并且 ，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且 ，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合称为空集，记为∅.空集是 的子集，是 的真子集.
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}.( )(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( )(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).( )
2. 设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2
因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意.综上，实数a＝2.
4.已知集合A＝{x|0
例1 (1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为A.1 B.2 C.3 D.4
题型一 集合的含义与表示
集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点，因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A∩B的元素个数为2，则A∩B的子集个数为4.
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为A.2 B.3 C.0 D.－2
因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}.当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性；当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性；当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意.综上所述，m＝3.
解决集合含义问题的关键点(1)一是确定构成集合的元素.(2)确定元素的限制条件.(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
跟踪训练1 (1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为A.3 B.4 C.5 D.6
因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}.即C中元素的个数为4.
(2)若含有3个实数的集合既可表示成 ，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝________.
此时两集合分别是{a,1,0}，{a，a2,0}，则a2＝1，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，不满足互异性，故舍去；当a＝－1时，满足题意.所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1.
例2 (1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－lg2x<0}，则A.A⊆B B.B⊆AC.A∩B＝∅ D.A∪B＝R
因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－lg2x<0}＝{x|x>2}，所以A⊆B.
题型二 集合间的基本关系
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是
∵B⊆A，∴①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意.②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2 (1)已知集合M＝{x|y＝ ，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是A.MN B.NMC.M⊆∁RN D.N⊆∁RM
因为M＝{x|y＝ ，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1
易得A＝{x|－2≤x≤5}.若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A；②当m>－2时，B＝{x|m－1
命题点1 集合的运算例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x| <4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于
题型三 集合的基本运算
所以M＝{x|0≤x<16}；因为N＝{x|3x≥1}，
(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是A.M∩(∁RN)＝∅B.M∪(∁RN)＝RC.(∁RM)∪(∁RN)＝∁RMD.(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM
∵N∩(∁RM)＝∅，∴N⊆M，如图，若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误；由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确；由N⊆M可得∁RN⊇∁RM，故C错误，D正确.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)例4 (1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为
由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＝0，满足题意；
(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|xa}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为A.[0,1] B.[0,1)C.(0,1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
因为B＝{x|x>a}，所以∁RB＝{x|x≤a}，又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，又A＝{x|x
跟踪训练3 (1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|12}，B＝{x|1
题型四 集合的新定义问题
则下列说法正确的有A.G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群
对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误；
对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确；
集合新定义问题的“三定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素.(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题.(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素.
跟踪训练4 (多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集.下列叙述中，正确的为A.集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集B.集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集C.封闭集一定是无限集D.若A为封闭集，则一定有0∈A
对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确.
一、单项选择题1.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M
由题意知M＝{2,4,5}.
2.(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于A.{－2，－1,0,1} B.{0,1,2}C.{－2} D.{2}
方法一 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}.方法二 因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.
3.(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1
由Venn图表示集合U，A，B如图，由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅.
5.(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于A.0或4 B.1或4C.0 D.4
∵ B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意；当m＝m2时，得m＝0或m＝1，当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意；当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性.综上，m可取0,4.
6.已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则A.M∩N≠∅ B.M⊆NC.N⊆M D.M＝N
因为x∉∁RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误.
7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为A.(－∞，1]∪(2，＋∞) B.(－∞，0)∪(1,2)C.[1,2) D.(1,2]
B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|12}，所以∁U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞).
8.设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为A.7 B.8 C.9 D.10
当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}，综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
二、多项选择题9.已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则A.M∪N＝N B.M∩N＝NC.∁IM⊆∁IN D.(∁IN)∩M＝∅
因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝∅，C错误，D正确.
10.已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是A.－1 B.0 C.1 D.2
A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意；当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，综上可得a＝0或±1.
三、填空题11.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________.
根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4).
12.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.
当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1,2,3,4,5}，所有元素的和为15，不符合题意；当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1,2,3,m,4,5}，由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.
13.高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________.
由题意画出Venn图，如图所示，由Venn图知，参加比赛的人数为26，所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.
14.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝___________，A*B＝__________________.
由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3
下列选项中可能成立的是A.M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割B.M没有最大元素，N有一个最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M没有最大元素，N也没有最小元素
对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；
16.设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________.
集合M的非空子集共有(212－1)个，其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个.最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个.
所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，所以xA的算术平均值为
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性： 、 、 .(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示.(3)集合的表示法： 、 、 .
2.集合的基本关系(1)子集：如果集合A的 都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A B或B A.(2)真子集：如果集合 ，并且 ，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且 ，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合称为空集，记为∅.空集是 的子集，是 的真子集.
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}.( )(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( )(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).( )
2. 设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2
因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意.综上，实数a＝2.
4.已知集合A＝{x|0
例1 (1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为A.1 B.2 C.3 D.4
题型一 集合的含义与表示
集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点，因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A∩B的元素个数为2，则A∩B的子集个数为4.
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为A.2 B.3 C.0 D.－2
因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}.当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性；当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性；当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意.综上所述，m＝3.
解决集合含义问题的关键点(1)一是确定构成集合的元素.(2)确定元素的限制条件.(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
跟踪训练1 (1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为A.3 B.4 C.5 D.6
因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}.即C中元素的个数为4.
(2)若含有3个实数的集合既可表示成 ，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝________.
此时两集合分别是{a,1,0}，{a，a2,0}，则a2＝1，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，不满足互异性，故舍去；当a＝－1时，满足题意.所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1.
例2 (1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－lg2x<0}，则A.A⊆B B.B⊆AC.A∩B＝∅ D.A∪B＝R
因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－lg2x<0}＝{x|x>2}，所以A⊆B.
题型二 集合间的基本关系
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是
∵B⊆A，∴①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意.②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2 (1)已知集合M＝{x|y＝ ，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是A.MN B.NMC.M⊆∁RN D.N⊆∁RM
因为M＝{x|y＝ ，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1
易得A＝{x|－2≤x≤5}.若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A；②当m>－2时，B＝{x|m－1
命题点1 集合的运算例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x| <4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于
题型三 集合的基本运算
所以M＝{x|0≤x<16}；因为N＝{x|3x≥1}，
(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是A.M∩(∁RN)＝∅B.M∪(∁RN)＝RC.(∁RM)∪(∁RN)＝∁RMD.(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM
∵N∩(∁RM)＝∅，∴N⊆M，如图，若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误；由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确；由N⊆M可得∁RN⊇∁RM，故C错误，D正确.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)例4 (1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为
由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＝0，满足题意；
(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|x
因为B＝{x|x>a}，所以∁RB＝{x|x≤a}，又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，又A＝{x|x
跟踪训练3 (1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1
题型四 集合的新定义问题
则下列说法正确的有A.G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群
对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误；
对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确；
集合新定义问题的“三定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素.(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题.(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素.
跟踪训练4 (多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集.下列叙述中，正确的为A.集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集B.集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集C.封闭集一定是无限集D.若A为封闭集，则一定有0∈A
对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确.
一、单项选择题1.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M
由题意知M＝{2,4,5}.
2.(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于A.{－2，－1,0,1} B.{0,1,2}C.{－2} D.{2}
方法一 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}.方法二 因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.
3.(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1
由Venn图表示集合U，A，B如图，由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅.
5.(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于A.0或4 B.1或4C.0 D.4
∵ B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意；当m＝m2时，得m＝0或m＝1，当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意；当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性.综上，m可取0,4.
6.已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则A.M∩N≠∅ B.M⊆NC.N⊆M D.M＝N
因为x∉∁RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误.
7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为A.(－∞，1]∪(2，＋∞) B.(－∞，0)∪(1,2)C.[1,2) D.(1,2]
B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1
8.设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为A.7 B.8 C.9 D.10
当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}，综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
二、多项选择题9.已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则A.M∪N＝N B.M∩N＝NC.∁IM⊆∁IN D.(∁IN)∩M＝∅
因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝∅，C错误，D正确.
10.已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是A.－1 B.0 C.1 D.2
A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意；当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，综上可得a＝0或±1.
三、填空题11.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________.
根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4).
12.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.
当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1,2,3,4,5}，所有元素的和为15，不符合题意；当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1,2,3,m,4,5}，由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.
13.高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________.
由题意画出Venn图，如图所示，由Venn图知，参加比赛的人数为26，所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.
14.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝___________，A*B＝__________________.
由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3
下列选项中可能成立的是A.M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割B.M没有最大元素，N有一个最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M没有最大元素，N也没有最小元素
对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；
16.设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________.
集合M的非空子集共有(212－1)个，其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个.最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个.
所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，所以xA的算术平均值为
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