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§1.4 基本不等式 ab≤a＋b2(a，b≥0) 课件-2025高考数学一轮复习
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这是一份§1.4 基本不等式 ab≤a＋b2(a，b≥0) 课件-2025高考数学一轮复习，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，a≥0b≥0，a＝b，探究核心题型，由于OD≥CD，由于CD≥DE，基本不等式的常见变形，命题点2配凑法，微拓展，命题点4消元法等内容，欢迎下载使用。
1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
(1)基本不等式成立的条件： __ .(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.(3)其中 叫作正数a，b的算术平均数， 叫作正数a，b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 .注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
3.已知00，
4.(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则 的最小值为_____.
例1 (1)若0
∵0a＋b，
(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为
根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴由p可推出q；当a<0，b<0时，q也成立，
∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件.
(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是
命题点1 直接法例2 (1)(多选)下列代数式中最小值为2的是
题型二 利用基本不等式求最值
(2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为______.
解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号).
(2)已知x>1，则 的最小值为A.6 B.8 C.10 D.12
因为x>1，所以x－1>0，
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
命题点3 代换法例4 (1)已知正数a，b满足 ＝1，则8a＋b的最小值为A.54 B.56 C.72 D.81
已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为______.
由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，
命题点5 构造不等式法例6 若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为A.9 B.6 C.3 D.12
所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9.
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.
跟踪训练2 (1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是
则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；
即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；
对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，
一、单项选择题1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.
A.23 B.26 C.22 D.25
故4a＋9b的最小值是25.
3.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是A.2 B.3 C.4 D.5
故3x＋4y的最小值为5.
所以m<4，所以m<2是m<4的充分不必要条件.
因为x>0，y>0，x＋3y＝1，
由x>y>0得2x－y>0，x＋2y>0，令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y，由4x＋3y＝1得a＋2b＝1，
二、多项选择题7.已知x，y是正数，且x＋y＝2，则A.x(x＋2y)的最大值为4B.lg2x＋lg2y的最大值为0C.2x＋2y的最小值为4
由x，y是正数，且x＋y＝2，可得0
当且仅当x＝y＝1时取等号，故C正确；
8.(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
由于x<2，所以2－x>0，
10.函数f(x)＝ 在(1，＋∞)上的最大值为________.
令x－1＝t，则t>0，
因为a>1，b>2，所以a－1>0，b－2>0，又a＋b＝5，
12.已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为_____.
四、解答题13.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；
所以0
所以2x＋y的最小值为11.
14.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
设甲工程队的总报价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元.
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 元(a>5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a的取值范围.
又a>5，所以a的取值范围是(5,12).
A.4 B.5 C.6 D.8
∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0，
1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
(1)基本不等式成立的条件： __ .(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.(3)其中 叫作正数a，b的算术平均数， 叫作正数a，b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 .注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
3.已知0
4.(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则 的最小值为_____.
例1 (1)若0
∵0
(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为
根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴由p可推出q；当a<0，b<0时，q也成立，
∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件.
(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是
命题点1 直接法例2 (1)(多选)下列代数式中最小值为2的是
题型二 利用基本不等式求最值
(2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为______.
解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号).
(2)已知x>1，则 的最小值为A.6 B.8 C.10 D.12
因为x>1，所以x－1>0，
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
命题点3 代换法例4 (1)已知正数a，b满足 ＝1，则8a＋b的最小值为A.54 B.56 C.72 D.81
已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为______.
由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，
命题点5 构造不等式法例6 若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为A.9 B.6 C.3 D.12
所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9.
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.
跟踪训练2 (1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是
则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；
即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；
对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，
一、单项选择题1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.
A.23 B.26 C.22 D.25
故4a＋9b的最小值是25.
3.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是A.2 B.3 C.4 D.5
故3x＋4y的最小值为5.
所以m<4，所以m<2是m<4的充分不必要条件.
因为x>0，y>0，x＋3y＝1，
由x>y>0得2x－y>0，x＋2y>0，令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y，由4x＋3y＝1得a＋2b＝1，
二、多项选择题7.已知x，y是正数，且x＋y＝2，则A.x(x＋2y)的最大值为4B.lg2x＋lg2y的最大值为0C.2x＋2y的最小值为4
由x，y是正数，且x＋y＝2，可得0
当且仅当x＝y＝1时取等号，故C正确；
8.(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
由于x<2，所以2－x>0，
10.函数f(x)＝ 在(1，＋∞)上的最大值为________.
令x－1＝t，则t>0，
因为a>1，b>2，所以a－1>0，b－2>0，又a＋b＝5，
12.已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为_____.
四、解答题13.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；
所以0
所以2x＋y的最小值为11.
14.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
设甲工程队的总报价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元.
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 元(a>5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a的取值范围.
又a>5，所以a的取值范围是(5,12).
A.4 B.5 C.6 D.8
∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0，
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