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新高考数学一轮复习讲练测课件第1章§1.1集合 (含解析)
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这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第1章§1.1集合 (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，确定性，互异性，无序性，不属于，列举法，描述法，图示法等内容，欢迎下载使用。
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图 表示集合间的基本关系和基本运算.
1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：________、_______、________.(2)元素与集合的关系是_____或_______，用符号___或____表示.(3)集合的表示法：_______、_______、_______.
2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作_______(或BA).(3)相等：若A⊆B，且_____，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是___________的子集，是______________的真子集.
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集.2.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}.( )(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( )(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).( )
1.(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于A.{－1,2} B.{1,2}C.{1,4} D.{－1,4}
由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.
2.下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是A.(1,2 022)B.{(x，y)|x＝2 022，y＝1}C.{x|x2－2 023x＋2 022＝0}D.{(2 022,1)}
(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意.
3.设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝___________，∁U(A∩B)＝______________.
{x|x<2或x≥3}
因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.
例1 (1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为A.0 B.1 C.2 D.3
如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，故集合A∩B有两个元素.
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为A.1 B.1或0C.0 D.－1或0
∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
跟踪训练1 (1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是A.0∉M B.{0}∈MC.{1}⊆M D.1⊆M
对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误；对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误；对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确；对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误.
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为A.2 B.3 C.4 D.5
因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，即集合B中含有4个元素.
例2 (1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是A.A＝B B.A∩B＝∅C.AB D.B⊆A
由题设，可得A＝{x|x>2}，又B＝{x|x≥－3}，所以A是B的真子集，故A，B，D错误，C正确.
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有____个；当B⊆A时，实数m的取值范围是______________________.
A＝{x|－2≤x≤1}，若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，故集合A的真子集有24－1＝15(个).由B⊆A，得①若B＝∅，则2m＋1
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2 (1)(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是A.{－1,1} B.{－1,1,2,4}C.{1} D.{1，－2,2}
由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M，所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}.
(2)函数f(x)＝ 的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是_______________________.
(－∞，－3]∪[5，＋∞)
由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，即A＝{x|x≥3或x≤－1}.∵B⊆A，显然B≠∅，∴4－a≤－1或－a≥3，解得a≥5或a≤－3，故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞).
命题点1 集合的运算例3 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于A.∅ B.S C.T D.Z
方法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.方法二 S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.
(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝ }，则图中阴影部分表示的集合为A.{x|x≤－2} B.{x|x>－2}C.{x|x≥4} D.{x|x≤4}
观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B.∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，∴∁UA＝{x|x<－2或x≥4}，又B＝{x|y＝ }⇒B＝{x|x≥－2}，∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)例4 (2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，1]
由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1
跟踪训练3 (1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于A.{1,3} B.{0,3}C.{－2,1} D.{－2,0}
由题意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}.故选D.
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是A.[1,4) B.(1,4)C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)
由题意可得A＝{x|11}，所以1≤a<4.
例5 (1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时， ∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是A.0是任何数域的元素B.若数域F有非零元素，则2 023∈FC.集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域D.有理数集为数域
对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确；
(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.①若n＝3，则这样的集合A共有________个；
若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个；
②若n为偶数，则这样的集合A共有________个.
因为集合M的子集共有24＝16(个)，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个.
解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
跟踪训练4 设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________.
根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：∅，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}.故排在第6位的子集为{2,4}.
1.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则A.2∈M B.3∈MC.4∉M D.5∉M
由题意知M＝{2,4,5}，故选A.
2.设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1
4.(2023·南京模拟)已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，则A∩(∁RB)等于A.[3,7) B.(－1,0]∪[3,7)C.[7，＋∞) D.(－∞，－1)∪[7，＋∞)
A＝{x|x2－6x－7<0}＝(－1,7)，B＝{y|y＝3x，x<1}＝(0,3)，所以∁RB＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，所以A∩(∁RB)＝(－1,0]∪[3,7).
5.(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于A.{－1,0,1} B.{－2，－1,0}C.{－2，－1,0,1} D.{－2，－1,0,1,2}
因为集合A＝{x|x2≤1}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}.
6.(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1m}，若A∩(∁RB)＝∅，则实数m的取值范围为A.(－∞，1] B.(－∞，1)C.[1，＋∞) D.(1，＋∞)
由题知A∩(∁RB)＝∅，得A⊆B，则m≤1.
7.(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}.若A∪B＝A，则实数m的值为A.0 B.1 C.2 D.3
因为A∪B＝A，所以B⊆A.因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意.综上，m＝0或3.
8.(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是A.A∩B＝∅ B.A∩B＝BC.A∪B＝U D.(∁UB)∪A＝A
令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B，∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确.
9.(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁UT)＝_______，集合S共有____个子集.
由题意可得∁UT＝{1,4,5}，则S∩(∁UT)＝{1,5}.集合S的子集有23个，即8个.
10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则Venn图中阴影部分的集合为__________.
集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3
由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，B⊆A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0；
12.已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}.当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________________.
[0,2]∪(4，＋∞)
A＝{x|－3≤x≤3}，当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}，此时A∪B＝[－5,3].由A∩B＝B可知B⊆A.若B＝∅，则2m－3>m＋1解得m>4；
综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞).
13.(多选)已知全集U＝{x∈N|lg2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为A.{2,3,4} B.{3,4,5}C.{4,5,6} D.{3,5,6}
由lg2x<3得0
根据题意画出Venn图，如图所示，a表示只参加第一天的人，b表示只参加第二天的人，c表示只参加第三天的人，d表示只参加第一天与第二天的人，e表示只参加第一天与第三天的人，f表示只参加第二天与第三天的人，g表示三天都参加的人，
∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40，∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人，∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190，
∴c＋e＝140，∴emax＝140，∴c＝0，a＝20，则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人).
15.(多选)1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是A.M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割B.M没有最大元素，N有一个最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M没有最大元素，N也没有最小元素
对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)使M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故C错误；
16.我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”.若集合M＝{x|m≤x≤m＋2 022}，N＝{x|n－2 023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2 024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值为________.
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图 表示集合间的基本关系和基本运算.
1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：________、_______、________.(2)元素与集合的关系是_____或_______，用符号___或____表示.(3)集合的表示法：_______、_______、_______.
2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作_______(或BA).(3)相等：若A⊆B，且_____，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是___________的子集，是______________的真子集.
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集.2.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}.( )(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( )(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).( )
1.(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于A.{－1,2} B.{1,2}C.{1,4} D.{－1,4}
由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.
2.下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是A.(1,2 022)B.{(x，y)|x＝2 022，y＝1}C.{x|x2－2 023x＋2 022＝0}D.{(2 022,1)}
(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意.
3.设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝___________，∁U(A∩B)＝______________.
{x|x<2或x≥3}
因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.
例1 (1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为A.0 B.1 C.2 D.3
如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，故集合A∩B有两个元素.
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为A.1 B.1或0C.0 D.－1或0
∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
跟踪训练1 (1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是A.0∉M B.{0}∈MC.{1}⊆M D.1⊆M
对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误；对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误；对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确；对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误.
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为A.2 B.3 C.4 D.5
因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，即集合B中含有4个元素.
例2 (1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是A.A＝B B.A∩B＝∅C.AB D.B⊆A
由题设，可得A＝{x|x>2}，又B＝{x|x≥－3}，所以A是B的真子集，故A，B，D错误，C正确.
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有____个；当B⊆A时，实数m的取值范围是______________________.
A＝{x|－2≤x≤1}，若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，故集合A的真子集有24－1＝15(个).由B⊆A，得①若B＝∅，则2m＋1
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2 (1)(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是A.{－1,1} B.{－1,1,2,4}C.{1} D.{1，－2,2}
由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M，所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}.
(2)函数f(x)＝ 的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是_______________________.
(－∞，－3]∪[5，＋∞)
由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，即A＝{x|x≥3或x≤－1}.∵B⊆A，显然B≠∅，∴4－a≤－1或－a≥3，解得a≥5或a≤－3，故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞).
命题点1 集合的运算例3 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于A.∅ B.S C.T D.Z
方法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.方法二 S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.
(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝ }，则图中阴影部分表示的集合为A.{x|x≤－2} B.{x|x>－2}C.{x|x≥4} D.{x|x≤4}
观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B.∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，∴∁UA＝{x|x<－2或x≥4}，又B＝{x|y＝ }⇒B＝{x|x≥－2}，∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)例4 (2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，1]
由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1
跟踪训练3 (1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于A.{1,3} B.{0,3}C.{－2,1} D.{－2,0}
由题意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}.故选D.
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是A.[1,4) B.(1,4)C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)
由题意可得A＝{x|1
例5 (1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时， ∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是A.0是任何数域的元素B.若数域F有非零元素，则2 023∈FC.集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域D.有理数集为数域
对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确；
(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.①若n＝3，则这样的集合A共有________个；
若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个；
②若n为偶数，则这样的集合A共有________个.
因为集合M的子集共有24＝16(个)，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个.
解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
跟踪训练4 设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________.
根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：∅，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}.故排在第6位的子集为{2,4}.
1.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则A.2∈M B.3∈MC.4∉M D.5∉M
由题意知M＝{2,4,5}，故选A.
2.设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1
4.(2023·南京模拟)已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，则A∩(∁RB)等于A.[3,7) B.(－1,0]∪[3,7)C.[7，＋∞) D.(－∞，－1)∪[7，＋∞)
A＝{x|x2－6x－7<0}＝(－1,7)，B＝{y|y＝3x，x<1}＝(0,3)，所以∁RB＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，所以A∩(∁RB)＝(－1,0]∪[3,7).
5.(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于A.{－1,0,1} B.{－2，－1,0}C.{－2，－1,0,1} D.{－2，－1,0,1,2}
因为集合A＝{x|x2≤1}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}.
6.(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1
由题知A∩(∁RB)＝∅，得A⊆B，则m≤1.
7.(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}.若A∪B＝A，则实数m的值为A.0 B.1 C.2 D.3
因为A∪B＝A，所以B⊆A.因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意.综上，m＝0或3.
8.(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是A.A∩B＝∅ B.A∩B＝BC.A∪B＝U D.(∁UB)∪A＝A
令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B，∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确.
9.(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁UT)＝_______，集合S共有____个子集.
由题意可得∁UT＝{1,4,5}，则S∩(∁UT)＝{1,5}.集合S的子集有23个，即8个.
10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则Venn图中阴影部分的集合为__________.
集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3
由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，B⊆A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0；
12.已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}.当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________________.
[0,2]∪(4，＋∞)
A＝{x|－3≤x≤3}，当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}，此时A∪B＝[－5,3].由A∩B＝B可知B⊆A.若B＝∅，则2m－3>m＋1解得m>4；
综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞).
13.(多选)已知全集U＝{x∈N|lg2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为A.{2,3,4} B.{3,4,5}C.{4,5,6} D.{3,5,6}
由lg2x<3得0
根据题意画出Venn图，如图所示，a表示只参加第一天的人，b表示只参加第二天的人，c表示只参加第三天的人，d表示只参加第一天与第二天的人，e表示只参加第一天与第三天的人，f表示只参加第二天与第三天的人，g表示三天都参加的人，
∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40，∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人，∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190，
∴c＋e＝140，∴emax＝140，∴c＝0，a＝20，则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人).
15.(多选)1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是A.M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割B.M没有最大元素，N有一个最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M没有最大元素，N也没有最小元素
对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)使M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故C错误；
16.我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”.若集合M＝{x|m≤x≤m＋2 022}，N＝{x|n－2 023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2 024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值为________.
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