2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县高一上学期1月期末质量检测数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县高一上学期1月期末质量检测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列结论正确的是( )
A. ⌀=2,3B. 3∈Q
C. N⊆ZD. 若A∪B=A，则A⊆B
2.设x∈R，则“sinx=1”是“csx=0”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若实数a，b，c满足c( )
A. ab>bcB. cb2c
4.下列函数为奇函数且在0,+∞上单调递增的是
( )
A. y=x+1xB. y=sinxcsxC. y=x35D. y=ex+1ex
5.有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t，水面高度y由图所示，图中PQ为一线段，与之对应的容器的形状是( )
A. B.
C. D.
6.若α,β为锐角，且csπ6−α=sin2π3+β，则
( )
A. α+β=π3B. α+β=π6C. α−β=π3D. α−β=π6
7.定义在R上的奇函数fx满足f2−x=fx，且在0,1上单调递减，若方程fx=−1在0,1上有实数根，则方程fx=1在区间−1,11上所有实根之和是
( )
A. 30B. 14C. 12D. 6
8.函数fx=sinx+csx+sinxcsxx∈R的最大值为
( )
A. 12− 2B. 12+ 2C. 1+ 2D. 1+ 22
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算正确的是( )
A. lg35⋅lg53=1B. 16x8y414=2x2yx<0,y<0
C. lg 35=lg325D. lg2+lg5−lg8lg50−lg40=1
10.已知a>0，b>0且a+b=1，在下列结论正确的是
( )
A. 1a+1b有最小值为4B. ab有最小值为12
C. a+ b有最大值为2D. a2+b2有最小值为12
11.若函数y=x2−4x−4的定义域为[0,m]，值域为[−8,−4]，则实数m的值可能为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
12.设fx=sinωx+π5ω>0，已知fx在[0,2π]上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是
( )
A. fx在0,2π上有且仅有3个最大值点B. fx在0,2π上有且仅有2个最小值点
C. fx在0,π10上单调递增D. ω的取值范围是125,2910
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知fx=5xx>0lg 5x+7x≤0，则ff0= ．
14.将函数fx=3sin3x+π4的图象向右平移m个单位m>0，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为．
15.已知fx=ln 1+4x2−2x+4，若fk=5，则f−k= ．
16.如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为π3，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，则劳动基地的最大面积是 m2．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算求值
(1)已知tanα=−3，求3sin2α−sin2α的值．
(2)1sin10∘− 3sin80∘
18.(本小题12分)
已知二次函数fx满足fx−1=2x2−7x+6．
(1)求fx的解析式．
(2)求fx在0,2上的值域．
19.(本小题12分)
已知集合A=x|x2−8x+15<0，函数y=lg2a−xx−a2+1定义域为集合B．
(1)若4∈B，求实数a的取值范围．
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
21.(本小题12分)
已知fx=csx⋅sinx+π3− 3cs2x+ 34
(1)求fx的单调递增区间．
(2)将fx图象上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π6个单位，得到函数gx的图象，若gx的图象在0,m恰有2条对称轴，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx=lg24x+1．
(1)解关于x的方程fx+1fx−1=3；
(2)设函数gx=2fx+12fx−1−2b2x+2−x−1+b2b∈R，若gx在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可．
【详解】对于A，⌀中不含有任何元素，⌀是任何集合的子集，则⌀⊆2,3，故 A错误；
对于B，Q表示有理数集， 3为无理数，则 3∉Q，故 B错误；
对于C，N表示自然数集，Z表示整数集，则N⊆Z，故 C正确；
对于D，A∪B=A，则B⊆A，故 D错误．
故选：C
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．
利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
【解答】
解：∵sin2x+cs2x=1，
①当sinx=1时，则csx=0，∴充分性成立，
②当csx=0时，则sinx=±1，∴必要性不成立，
∴sinx=1是csx=0的充分不必要条件，
故选A．
3.【答案】D
【解析】【分析】由已知条件可得出a>0，c<0，再利用不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出答案．
【详解】由ac<0，c0，c<0，
对于选项A：因为b=−1，a=1,c=−1可得ab对于选项B：因为b=0，可得cb2=0=ab2，故选项 B不正确；
对于选项C：因为c<01b；故选项 C不正确；
对于选项D：因为c<00，所以ab>c，故选项 D正确；
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据选项中的函数依次进行定义域，奇偶性和单调性求解与判断即得．
【详解】对于A项，函数y=x+1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，是奇函数，
由其图象可知函数在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，故 A项错误；
对于B项，因y=sinxcsx=12sin2x，定义域为R，且为奇函数，
它的递增区间可由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z求得，故显然该函数在0,+∞上必不是增函数，故 B项错误；
对于C项，y=x35=5x3，显然该函数定义域为R，且为奇函数，又35>0，故幂函数y=x35在0,+∞上为增函数，故 C项正确；
对于D项，y=ex+1ex的定义域为R，且f(−x)=e−x+1e−x=y=ex+1ex=f(x)，则函数为偶函数，故 D项错误．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】利用时间和高等的变化可知容器先是越往上越小，然后成规则直线上升状，从而求得结果．
【详解】由函数图象可判断出该容器必定有不同规则形状，
并且一开始先慢后快，所以下边粗，上边细，
再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段，
故排除A，C，D，
故选B．
该题考查的是有关根据函数图象选择容器形状的问题，涉及到的知识点有通过图象看出其变化的速度快与慢的问题，从而得到其形状，选出正确结果．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式的应用，属于中档题．
由条件化简可得cs(α−π6)=csπ6+β，结合α,β为锐角，得到结果．
【解答】
解：∵cs(π6−α)=sin(2π3+β)，
∴cs(π6−α)=sinπ2+π6+β，
∴cs(α−π6)=csπ6+β，
∵α,β为锐角，
∴0<α<π2,0<β<π2，
∴−π6<α−π6<π3，π6<π6+β<2π3，
∴α−π6=π6+β，
∴α−β=π3．
故选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性等函数的重要性质，还考查了方程根的问题，综合性较强，解题的关键是根据奇偶性和对称性得出周期性．
根据函数f(x)是奇函数，且满足f(2−x)=f(x)，推出函数的周期性，然后判断方程f(x)=1在一个周期内实根的个数并求和，进而求出方程f(x)=1在区间[−1,11]上所有实根之和．
【解答】
解：由f(2−x)=f(x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称，
下面证明f(x)是一个周期函数，
由f(x)是R上的奇函数知f(x−2)=f[−(2−x)]=−f(2−x)=−f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
考虑f(x)的一个周期，例如[−1,3]，
由f(x)在[0,1)上是减函数知f(x)在(1,2]上是增函数，
f(x)在(−1,0]上是减函数，f(x)在[2,3)上是增函数．
对于奇函数f(x)有f(0)=0，f(2)=f(2−2)=f(0)=0，
故当x∈(0,1)时，f(x)当x∈(−1,0)时，f(x)>f(0)=0，当x∈(2,3)时，f(x)>f(2)=0，
方程f(x)=−1在[0,1)上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为f(x)在(0,1)上是单调函数，
由于f(x)为奇函数，故f(x)=1在(−1,0]上有唯一实根，在(0,1)上无实数根．
则由于f(2−x)=f(x)，故方程f(x)=1在(2,3)上有唯一实数．
在(0,2)上f(x)<0，则方程f(x)=1在(0,2)上没有实数根．
从而方程f(x)=1在一个周期内有且仅有两个实数根．
当x∈[−1,3]时，方程f(x)=1的两实数根之和为2(图象关于直线x=1对称)，
当x∈[3,7]时，方程f(x)=1的两实数根之和为10(图象关于直线x=5对称)，
当x∈[7,11]时，方程f(x)=1的两实数根之和为18(图象关于直线x=9对称)，
所以当x∈[−1,11]时，方程f(x)=1的所有六个实数根之和为2+10+18=30．
故答案为：30．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】由三角函数的基本关系可借助换元法将原函数化为fx=t+t2−12，借助辅助角公式可得t的范围，结合二次函数性质即可得其最大值．
【详解】令t=sinx+csx= 2sinx+π4，则t∈− 2, 2，
由sinx+csx2=sin2x+cs2x+2sinxcsx=1+2sinxcsx，
故sinxcsx=t2−12，
即fx=sinx+csx+sinxcsx=t+t2−12=12t+12−1，
由t∈− 2, 2，故fx的最大值为12 2+12−1=12+ 2．
故选：B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】借助指数幂与对数的运算法则逐项计算即可得．
【详解】对A：lg35⋅lg53=lg35⋅1lg35=1，故 A正确；
对B：由x<0,y<0，故16x8y414=2x2−y=−2x2y，故 B错误；
对C：lg 35=lg3125=2lg35=lg325，故 C正确；
对D：lg2+lg5−lg8lg50−lg40=lg2×58lg5040=lg54lg54=1，故 D正确．
故选：ACD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】利用基本不等式逐一判断即可．
【详解】A：因为正实数a，b满足a+b=1，
所以1a+1b=a+b1a+1b=2+ba+ab≥2+2 ba⋅ab=4，
当且仅当ba=ab时取等号，即a=b=12时取等号，因此本选项正确；
B：因为正实数a，b满足a+b=1，
所以1=a+b≥2 ab⇒ ab≤12，当且仅当a=b=12时，取等号，
即 ab有最大值12，因此本选项不正确；
C：因为正实数a，b满足a+b=1，
所以 a+ b2≤ a2+ b22= a+b2= 12⇒ a+ b≤ 2，
当且仅当a=b=12时取等号，因此本选项不正确；
D：因为正实数a，b满足a+b=1，
所以 a2+b22≥a+b2=12⇒a2+b2≥12，
当且仅当a=b=12时取等号，因此本选项正确，
故选：AD
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查一元二次函数的值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，注意分类讨论，属中档题．
求出二次函数的对称轴方程x=2，讨论m，当02时，函数在[0,2]上单调递减，在[2,m]上单调递增，结合二次函数的对称性可得m的可能取值，综合两种情况得到结果．
【解答】
解：函数y=x2−4x−4的对称轴方程为x=2，
当0x=0时取最大值−4，x=m时取最小值m2−4m−4=−8，解得m=2．
则当m>2时，函数在[0,2]上单调递减，在[2,m]上单调递增，最小值为−8，
而x=0时y=−4，由对称性可知，x=4时y=−4，故m≤4，
所以2综上，实数m的取值范围为2≤m≤4．
∴实数m的值可能为2，3，4．
故选：ABC．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】将ωx+π5看成整体角z，根据题意x∈0,2π得z∈[π5,2πω+π5]，结合正弦函数的图象观察分析求得125≤ω<2910，且易得fx在0,2π上有且仅有3个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由x∈(0,π10)推得z∈(π5,π10ω+π5)，根据求得的125≤ω<2910判断z的范围能确保y=sinz单调递增即得．
【详解】
设z=ωx+π5，由x∈0,2π，ω>0可得z∈[π5,2πω+π5]，作出y=sinz的图象如图，要使fx在[0,2π]上有且仅有5个零点，
须使5π≤2πω+π5<6π，解得：125≤ω<2910，故 D项正确；
对于A项，由图可知x∈(0,2π)时，z∈(π5,2πω+π5)，在此区间上函数有且仅有3个最大值点，故A项正确；
对于B项，由图可知x∈(0,2π)时，z∈(π5,2πω+π5)，在此区间上，函数的最小值点可能有2个或3个，故B项错误；
对于C项，当x∈(0,π10)时，z∈(π5,π10ω+π5)，由上分析知125≤ω<2910，则1125π≤π10ω+π5<49100π，即z∈(π5,49π100)，
而此时y=sinz单调递增，故fx在0,π10上单调递增，故 C项正确．
故选：ACD．
13.【答案】49
【解析】【分析】根据分段函数结合对数运算律求函数值即可．
【详解】因为ff0=flg 57，又∵lg 57>0，
ff0=flg 57=5lg 57= 52lg 57= 5lg 572=49．
故答案为：49．
14.【答案】π4
【解析】【分析】根据三角函数平移变换规定得到g(x)=3sin[3(x−m)+π4]，知其为偶函数，故图象应经过(0,±3)，结合正弦函数的图象与性质即可求得m的范围即得．
【详解】由函数fx=3sin3x+π4的图象向右平移m个单位得到函数：g(x)=3sin[3(x−m)+π4]的图象，
因g(x)的图象关于y轴对称，故有sin(−3m+π4)=±1，则有−3m+π4=π2+kπ,k∈Z，解得：m=−π12−kπ3,k∈Z，
因m>0，故当且仅当k=−1时，m的最小值为π4．
故答案为：π4．
15.【答案】3
【解析】【分析】由题意得fx+f−x=8，由此即可顺利得解．
【详解】由题意fx+f−x=ln 1+4x2−2x+4+ln 1+4x2+2x+4=8+ln1=8，
所以f−k=8−fk=8−5=3．
故答案为：3．
16.【答案】50 33
【解析】【分析】由图得到BC,OB,OA，进而得到AB，得到矩形ABCD的面积S=AB⋅BC=100 33sin2θ+π6−12,0<θ<π3，再利用三角函数的性质求解．
【详解】由已知：设∠COB=θ0<θ<π3，r=10则BC=10sinθ,OB=10csθ,OA=ADtanπ3=10 33sinθ，
则AB=OB−OA=10csθ−10 33sinθ，
所以矩形ABCD的面积为：S=BC⋅AB=10sinθ10csθ−10 33sinθ，
=100sinθcsθ− 33sin2θ，
=10012sin2θ− 31−cs2θ6，
=10012sin2θ+ 3cs2θ6− 36，
=100 33 32sin2θ+12cs2θ−12，
=100 33sin2θ+π6−12,0<θ<π3，
当2θ+π6=π2，即θ=π6，矩形面积取得最大值为100 36=50 33．
故答案为：50 33
17.【答案】解：(1)原式=3sin2α−2sinαcsαsin2α+cs2α=3tan2α−2tanαtan2α+1=3×9+69+1=3310
(2)原式=sin80∘− 3sin10∘sin10∘sin80∘=cs10∘− 3sin10∘sin10∘cs10∘=2cs10∘+60∘12sin20∘=2cs70∘12sin20∘=4

【解析】(1)利用正弦二倍角公式化简，再结合齐次式相关概念化简计算即可；
(2)根据题意进行通分，根据正弦二倍角公式、两角和的余弦公式、诱导公式进行化简计算即可．
18.【答案】解：(1)令x−1=t，则x=t+1，
ft=2t+12−7t+1+6=2t2−3t+1，∴fx=2x2−3x+1．
(2)因为fx=2x2−3x+1=2x−342−18，
所以fx的图象对称轴为x=34，在0,34上递减，在34,2上递增，
∴fxmin=f34=−18，fxmax=f2=3，
即fx的值域为−18,3．

【解析】(1)令x−1=t，则x=t+1，利用换元法代入可求得fx的解析式；
(2)由(1)可得函数fx的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案．
19.【答案】解：(1)由题可得，2a−44−a2+1>0得a−2a2−3<0，即a−2a− 3a+ 3<0，
所以a<− 3或 3(2)A=x|3由A∩B=⌀，知a2+1≤3或2a≥5，得− 2≤a≤ 2且a≠1或a≥52．

【解析】(1)由4∈B可得2a−44−a2+1>0，解不等式可得所求范围；
(2)由2a−xx−a2+1>0可得B=x|2a20.【答案】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．
再由C(0)=8，得k=40，
因此C(x)=403x+5．
而建造费用为C1(x)=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x
=8003x+5+6x(0≤x≤10)，
(2)f′(x)=6−2400(3x+5)2，
令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．
解得x=5，x=−253(舍去)．
当00，
故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
【解析】本题考查函数模型的选择及利用导数判断函数的单调性及最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
(1)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C(0)=8，得k=40，进而得到C(x)=403x+5.建造费用为C1(x)=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式．
(2)由(1)中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．
21.【答案】解：(1)fx=csx⋅12sinx+ 32csx− 3cs2x+ 34
=12sinxcsx− 32cs2x+ 34=14sin2x− 32⋅1+cs2x2+ 34
=14sin2x− 34cs2x=12sin2x−π3，
由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπk∈Z，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπk∈Z，
∴fx的单调增区间为−π12+kπ,5π12+kπk∈Z
(2)将fx图像上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π6个单位，可得gx=12sin2×32x+2×32×π6−π3=12sin3x+π6，
当x∈0,m时，3x+π6∈π6,3m+π6，
则有32π≤3m+π6<52π，解得4π9≤m<7π9，
即实数m的取值范围为4π9≤m<7π9．

【解析】(1)借助三角恒等变换公式可将原函数化简为正弦型函数，利用正弦型函数的性质计算即可得；
(2)借助三角函数的平移变换可得函数gx的解析式，借助正弦型函数的性质计算即可得m的取值范围．
22.【答案】解：(1)∵4x>0，则4x+1>1，所以fx=lg24x+1>0，
∴由方程fx+1fx−1=3，即fx2=4，可得fx=2，
∴lg24x+1=2，∴4x=3，即x=lg43．
(2)∵2fx=2lg24x+1=4x+1，
∴函数gx=2fx+12fx−1−2b2x+2−x−1+b2=4x+14x−2b2x+12x+b2
=2x+12x2−2b2x+12x+b2−2，
令t=2x+12x，1≤x≤2，令m=2x2≤m≤4，则t=m+1m，
因为函数y=m+1m在m∈2,4上单调递增，
且m=2时，t=52；m=4时，t=174，则t∈52,174，
则gx=ℎt=t2−2bt+b2−2=(t−b)2−2，t∈52,174，
①当b≥174时，函数ℎt在52,174上单调递减，
所以gx在1,2上的最小值为ℎ174=2，
整理可得16b2−136b+225=0，解得b=94(舍)或254；
②当b≤52时，函数ℎt在52,174上单调递增，
所以gx在1,2上的最小值为ℎ52=2，
整理可得4b2−20b+9=0，解答b=92(舍)或12；
③当52所以gx在1,2上的最小值为ℎb=−2≠2，不符合题意．
综上所述，b的值为12或254．

【解析】(1)根据指数函数和对数函数的性质可得fx>0，进而结合题设可得fx=2，再求解对数方程即可；
(2)化简函数gx=2x+12x2−2b2x+12x+b2−2，令t=2x+12x，由对勾函数的性质可得t∈52,174，则gx=ℎt=t2−2bt+b2−2=(t−b)2−2，进而结合二次函数的性质讨论求解即可．

2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县高一上学期1月期末质量检测数学试题（含解析）

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