湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知复数z满足z1+i2=2+23i，则z−2i=（ ）
A．3B．23C．4D．12
2．已知函数fx的图象与直线4x−y−4=0相切于点2,f2，则f2+f'2（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
3．设数列an的前n项之积为Tn，满足an+2Tn=1（n∈N*），则a2024=（ ）
A．10111012 B．10111013 C．40474049 D．40484049
4．若2x−14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（ ）
A．−40 B．40 C．41 D．82
5．已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，P(X>1)=0.7，则P(2A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2
6．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为23，向右移动的概率为13．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)=（ ）
A．50243 B．52243 C．29 D．1781
7．已知动圆M和圆C1：x+12+y2=36内切，并和圆C2：x−12+y2=4外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆
8．已知a>0，b>0，直线l1：a−1x+y−1=0，l2：x+2by+1=0，且l1⊥l2，则2a+1b的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知圆O1:x2+y2−2x−3=0和圆O2:x2+y2−2y−1=0的交点为A,B，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆的圆心距O1O2=2
B．直线AB的方程为x−y−1=0
C．圆O2上存在两点P和Q，使得PQ>AB
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2
10．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，G为△A1B1C1的重心，BP=12PA1，若∠BAA1=∠CAA1=π3,AB=AA1=1，则（ ）
A．PG=−13AB+13AC+23AA1 B．AA1⊥BC
C．PG // BC1 D．PG=53
11．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A，“数字是5的倍数”为事件B，“数字是7的倍数”为事件C，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件A、B、C两两互斥 B．事件A∪B与事件B∩C对立
C．PABC=PAPBPC D．事件A、B、C两两独立
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
12．已知函数f(x)=kx+2(k<0)，g(x)=lnx，若存在实数x1≠x2使得fx1=gx2且fx2=gx1，则实数k的取值范围为 .
13．设数列an满足a1=3，an+1=3an−4n，若bn=4n2+8n+5anan+1且数列bn的前n项和为Sn，则(6n+9)Sn= ．
14．已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=22，短轴长为23．若直线l与C在第一象限交于A,B两点，l与x轴、y轴分别相交于M,N两点，MA=NB，且S△MNO=22，则AB= ．
四、解答题解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）（12分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足3a−3ccsB+bsinC=0．
(1)求角C的大小；
(2)若c=23,D为AB的中点且CD=2，求△ABC的面积．
16．（15分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为BC1,AB的中点，点G在DC的延长线上，且CG=12CD.
(1)证明：EG⊥平面BC1D.
(2)求平面BC1D与平面DEF的夹角余弦值.
17．（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，MN=3，tan∠MF1N=247．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且k1+k2=2，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
18．（17分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分k的频率分布直方图如图所示：

减排器等级及利润率如下表，其中17(1)若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；
(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记X为其中二级品的个数，求X的分布列及数学期望；
②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？
19．（17分）已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)．
(1)若a=1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)若函数f(x)在x=1处取得极值，且对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立，求实数b的取值范围．
数学答案
1．【答案】B
【解析】由复数z满足z1+i2=2+23i，可得z=2+23i1+i2=2+23i2i=3−i，
则z−2i=3−3i=23.
故选：B.
2．【答案】B
【解析】直线4x−y−4=0的斜率为4，直线与函数fx的图象相切于点(2,f(2))，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以f'2=4，
又点(2,f(2))在函数的图象上，同时也在切线上，所以4×2−f2−4=0，
∴ f2=4．
则f2+f'2=8．
故选：B．
3．【答案】C
【解析】因为an+2Tn=1(n∈N∗)，
所以a1+2T1=1，即a1+2a1=1，所以a1=13，
所以TnTn−1+2Tn=1(n≥2,n∈N∗)，显然Tn≠0，
所以1Tn−1Tn−1=2(n≥2,n∈N∗)，
所以数列{1Tn}是首项为1T1=1a1=3，公差为2的等差数列，
所以1Tn=3+2(n−1)=2n+1，
即Tn=12n+1，所以a2024=T2024T2023=12×2024+112×2023+1=40474049．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】因为2x−14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
令x=1，可得a4+a3+a2+a1+a0=2×1−14=1，
令x=−1，可得a4−a3+a2−a1+a0=−2×1−14=81，
两式相加可得a0+a2+a4=1+812=41.
故选：C
5．【答案】D
【解析】因为P(X>1)=0.7，则P(X>3)=P(X<1)=0.3，
∴P(23)2=0.2.
故选：D.
6．【答案】D
【解析】依题意，当X>0时，X的可能取值为1,3,5，且X∼B(5,23)，
所以PX>0=PX=5+PX=3+PX=1
=135+C5113423+C52133232 =1781.
故选：D．
7．【答案】C
【解析】设动圆的圆心M的坐标为(x,y)，半径为r，
因为动圆M与圆C1：x+12+y2=36内切，且与圆C2：x−12+y2=4外切，
可得MC1=6−r,MC2=r+2，
所以MC1+MC2=8>C1C2=2,
根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且2a=8,2c=2，
可得a=4,c=1，则b=a2−c2=15，
所以动点M的轨迹方程为x216+y215=1.
所以其轨迹为焦点在y轴上的椭圆.
故选：C.
8．【答案】C
【解析】因为l1⊥l2，故a−1+2b=0即a+2b=1，
故2a+1b=a+2bab=1ab=2a×2b≥2a+2b22=8，当且仅当a=12,b=14时等号成立，
故2a+1b的最小值为8，
故选：C.
9．【答案】AD
【解析】对于A，因为圆O1的圆心坐标为1,0，圆O2的圆心坐标0,1，
因为两个圆相交，所以两圆的圆心距O1O2=(1−0)2+(0−1)2=2，故A正确；
对于B，将两圆方程作差可得−2x+2y−2=0，
即得公共弦AB的方程为x−y+1=0，故B错误；
对于C，由B选项可知，直线AB的方程为x−y+1=0，由于0,1满足x−y+1=0上，故直线AB经过圆O2的圆心坐标0,1，所以线段AB是圆O2的直径，
故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为1,0，半径为2，
圆心O1到直线AB:x−y+1=0的距离为1+12=2，
所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2，故D正确，
故选：AD.
10．【答案】ABD
【解析】A选项，底面△ABC为等边三角形，G为△A1B1C1的重心，
故A1G=13A1B1+13A1C1=13AB+13AC，
又BP=12PA1，故PG=PA1+A1G=23BA1+13AB+13AC=23BA+23BB1+13AB+13AC
=−23AB+23AA1+13AB+13AC=−13AB+13AC+23AA1，A正确；
B选项，BC=AC−AB，故AA1⋅BC=AA1⋅AC−AB=AA1⋅AC−AA1⋅AB
=AA1⋅ACcs∠CAA1−AA1⋅ABcs∠BAA1=csπ3−csπ3=0，
故AA1⊥BC，B正确；
C选项，BC1=BC+BB1=AC−AB+AA1，
又PG=−13AB+13AC+23AA1，
设PG=tBC1，即−t=−13t=13t=23，无解，故PG与BC1不平行，C错误；
D选项，PG2=−13AB+13AC+23AA12
=19AB2+19AC2+49AA12−29AB⋅AC−49AB⋅AA1+49AC⋅AA1
=19+19+49−29AB⋅ACcsπ3−49AB⋅AA1csπ3+49AC⋅AA1csπ3
=19+19+49−29×12−49×12+49×12=59，
故PG=53，D正确.
故选：ABD
11．【答案】ABC
【解析】依题意抛掷一次可能出现的结果有2、5、7、70，
事件A包含的基本事件有2、70，则PA=24=12；
事件B包含的基本事件有5、70，则PB=24=12；
事件C包含的基本事件有7、70，则PC=24=12；
显然事件A与事件B，事件A与事件C，事件C与事件B均可以同时发生，
故事件A与事件B，事件A与事件C，事件C与事件B均不互斥，故A错误；
事件A∪B包含的基本事件有2、5、70，
事件B∩C包含的基本事件有70，
当出现70时事件A∪B与事件B∩C均发生，故事件A∪B与事件B∩C不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件ABC包含的基本事件有70，所以PABC=14，
所以PABC≠PAPBPC，故C错误；
因为事件BC包含的基本事件有70，所以PBC=14=PBPC，所以B与C相互独立；
因为事件AB包含的基本事件有70，所以PAB=14=PBPA，所以B与A相互独立；
因为事件AC包含的基本事件有70，所以PAC=14=PAPC，所以A与C相互独立；
即事件A、B、C两两独立，故D正确.
故选：ABC
12．【答案】k<−1e
【解析】由题意kx1+2=lnx2kx2+2=lnx1，相减得kx1−x2=lnx2−lnx1，又x1≠x2，所以−k=lnx1−lnx2x1−x2，
则−k=lnx1−lnx2x1−x2表示点Ax1,gx1与点Bx2,gx2连线的斜率，则−k的取值范围为AB两点连线斜率范围，
设过点0,0与g(x)=lnx的切线为l（过原点切线为割线AB斜率的上界），切点为x0,lnx0，由gx=lnx，则g'x=1x，
所以g'x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，又切线过点0,0，所以−lnx0=−1，解得x0=e，
所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex.
如图：

由图可知，−k=kAB>kl=1e，所以k<−1e，即实数k的取值范围为k<−1e.
13．【答案】6n2+11n
【解析】因an+1=3an−4n，设an+1+x(n+1)+y=3(an+xn+y)①，展开整理得：an+1=3an+2xn+2y−x，
对照an+1=3an−4n，可得：2x=−42y−x=0，解得x=−2,y=−1，
故①式为：an+1−[2(n+1)+1]=3[an−(2n+1)]，
因n=1时，a1−3=0， 即数列{an−(2n+1)}为常数列，故an=2n+1，
因bn=4n2+8n+5anan+1=4n2+8n+5(2n+1)(2n+3)=1+12n+1−12n+3，
∴数列bn的前n项和为：Sn=n+(13−15)+(15−17)+…+(12n+1−12n+3)=n+13−12n+3=n(1+26n+9)，
∴(6n+9)Sn=n(6n+9)+2n=6n2+11n．
故答案为：6n2+11n．
14．【答案】6
【解析】由题意得b=3ca=22a2=b2+c2，解得a2=6,b2=3，故椭圆C的方程为x26+y23=1，
设Ax1,y1,Bx2,y2，线段AB的中点为E，连接OE，如图，
∵点A,B在椭圆上，∴x126+y123=1,x226+y223=1，两式相减得y22−y12x22−x12=−12，
则kOE⋅kAB=y1+y2x1+x2⋅y2−y1x2−x1=y22−y12x22−x12=−12，
设直线l的方程为y=kx+m,k<0,m>0，则M−mk,0,N0,m，
∵MA=NB,∴点E也为MN的中点，∴E−m2k,m2,∴kOE=−k，
∴−k⋅k=−12，解得k=−22，
∵S△MNO=22=12×−mk×m,m>0，
∴m=2，故直线l的方程为y=−22x+2，
联立y=−22x+2x26+y23=1，消去y整理得x2−22x+1=0，
则x1+x2=22,x1x2=1，
则AB=1+k2⋅x1−x2=1+12⋅222−4×1=6,
故答案为：6
15．【解析】（1）因为3a−3ccsB+bsinC=0，
由正弦定理可得3sinA−3sinCcsB+sinBsinC=0．
又因为在△ABC中，有sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC，
所以3sinBcsC+csBsinC−3sinCcsB+sinBsinC=0，
化简得3sinBcsC+sinBsinC=0．
因为0所以3csC+sinC=0，于是tanC=−3．
因为0（2）由D为AB的中点，可得AD=BD=3．
又∠ADC+∠BDC=π，所以cs∠ADC+cs∠BDC=0，
在△ACD和△BCD中，
根据余弦定理从而可得32+22−a223×2+32+22−b223×2=0⇒a2+b2=10．
又csC=a2+b2−c22ab=−22ab，所以ab=2，
可得S△ABC=12absinC=32．
16．【解析】（1）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，以D为原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
令AB=2，则D(0,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(1,2,1),G(0,3,0),F(2,1,0)，
于是DB=(2,2,0),DC1=(0,2,2),EG=(−1,1,−1)，显然DB⋅EG=0,DC1⋅EG=0，
则DB⊥EG,DC1⊥EG，而DB∩DC1=D,DB,DC1⊂平面BC1D；
所以EG⊥平面BC1D.
（2）由（1）知平面BC1D的一个法向量为EG=(−1,1,−1)，DF=(2,1,0),DE=(1,2,1)，
设平面DEF的一个法向量n=(x,y,z)，则n⋅DF=2x+y=0n⋅DE=x+2y+z=0，取x=1，得n=(1,−2,3)，
则cs〈n,EG〉=n⋅EG|n||EG|=−63×14=−427，
所以平面BC1D与平面DEF夹角的余弦值是427.
17．【答案】(1)x24+y23=1；(2)证明见解析，直线l过定点−3,−3
【解析】（1）根据题意将x=c代入x2a2+y2b2=1，得y=b2a，则2b2a=3，tan∠MF1F2=b2a2c=b22ac=34c
所以tan∠MF1N=2tan∠MF1F21−tan2∠MF1F2=234c1−34c2=247，解得c=1或c=−916（舍）．
由a2=b2+c22b2a=3，得a=2b=3，
所以椭圆C的标准方程为：x24+y23=1
（2）如图：
①当直线l斜率不存在时，设直线l：x=x1，Ax1,y1，Bx1,−y1.
则k1+k2=y1−3x1+−y1−3x1=−23x1=2，x1=−3，此时直线l为x=−3；
②当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx+b，Ax1,y1，Bx1,−y1.
则直线l与椭圆C联立y=kx+bx24+y23=1 ⇒ 3+4k2x2+8kbx+4b2−12=0，
Δ=64k2b2−163+4k2b2−3
=−16−12k2+3b2−9=484k2+3−b2>0⇒4k2+3>b2，
x1+x2=−8kb3+4k2，x1x2=4b2−123+4k2，
k1+k2=y1−3x1+y2−3x2=kx1+b−3x1+kx2+b−3x2=2k+b−3x1+x2x1x2
=2k+b−3−8kb4b2−12=23kb+3=2，
所以b=3k−3，结合4k2+3>b2可知4k2+3>3k2−2k+1，
即k应满足k>0或k<−6，
所以直线l:y=kx+3k−3=kx+3−3，此直线过定点−3,−3，
综上所述，直线l过定点−3,−3．
18．【解析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为0.08×5+0.04×5=0.6，
按等级用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为10×0.6=6（件），
记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件A，则PA=C63C42+C64C41+C65C105=3142．
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，
二级品的概率为14，三级品的概率为120，
由题意，X～B4,14,X的所有可能的取值为0,1,2,3,4，
所以PX=0=C40344140=81256，
PX=1=C41343×14=2764，
PX=2=C42342142=27128，
PX=3=C4334×143=364,PX=4=C44340×144=1256，
分布列如下表：
所以EX=4×14=1；
②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：
E1=35×2a+25×3a2=65a2+65a；
乙型号减排器的利润率的平均值：
E2=710×2a+14×3a2+120a2=45a2+75a；
E1−E2=65a2+65a−45a2+75a=25a2−15a=15a2a−1，又17则E119．【解析】（1）当a=1时，fx=x−1−lnx，f'x=x−1x，
令f'x=0可得x=1，故当x∈0,1时f'x<0，fx单调递减；
当x∈1,+∞时f'x>0，fx单调递增；
故fx递减区间为0,1，递增区间为1,+∞.
（2）由fx=ax−1−lnxa∈R可得：函数定义域为0,+∞，f'x=a−1x.
当a≤0时，f'x<0，此时函数fx在定义域0,+∞上单调递减；
当a>0时，令f'x<0，解得00，解得x>1a，
此时函数fx在区间0,1a上单调递减，在区间1a,+∞上单调递增.
综上可得：当a≤0时，函数fx在定义域0,+∞上单调递减；
当a>0时，函数fx在区间0,1a上单调递减，在区间1a,+∞上单调递增.
（3）因为函数fx在x=1处取得极值，
所以f'1=0，即a−1=0，解得a=1.
此时f'x=1−1x=x−1x，
令f'x>0，解得x>1；令f'x<0，解得0所以函数fx在x=1处取得极值，故a=1.
所以fx=x−1−lnx.
因为对∀x∈0,+∞，fx≥bx−2恒成立，
所以对∀x∈0,+∞，b−1≤1−lnxx恒成立.
令gx=1−lnxx，则g'x=lnx−2x2.
令g'x>0，解得x>e2；令g'x<0，解得0所以函数gx=1−lnxx在区间0,e2上单调递减，在区间e2,+∞上单调递增，
所以gxmin=ge2=−1e2，则b−1≤−1e2，解得：b≤1−1e2.
所以实数b的取值范围为−∞,1−1e2综合得分k的范围
减排器等级
减排器利润率
k≥85
一级品
2a
75≤k<85
二级品
3a2
70≤k<75
三级品
a2
X=k
0
1
2
3
4
PX=k
81256
2764
27128
364
1256