2023-2024学年广东省肇庆市高要区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省肇庆市高要区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 7B. 18C. 12D. 4
2.下列数据中能作为直角三角形三边长的是( )
A. 6、8、10B. 4、5、6C. 5、6、7D. 8、9、10
3.下列计算错误的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2× 3= 6C. 8÷ 2=2D. (− 2)2=2
4.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是( )
A. ∠B+∠C=180°B. AB=CD
C. ∠A=∠BD. AD=BC
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，则∠B的度数是( )
A. 130°
B. 120°
C. 100°
D. 90°
6.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，若OE=6，则菱形的周长为( )
A. 18
B. 48
C. 24
D. 12
7.如图，以原点O为圆心，OB为半径画弧与数轴交于点A，且点A表示的数为x，则x的值为( )
A. 2B. − 2C. 2D. −2
8.如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=6，BD=8，则菱形的面积为( )
A. 20
B. 48
C. 24
D. 12
9.如图，矩形ABCD中，AB=1，E是AC的中点，∠AED=120°，则AD长为( )
A. 2
B. 2
C. 3
D. 3
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=6，BC=3时，则阴影部分的面积为( )
A. 92
B. 92π
C. 9π
D. 9
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如果二次根式 x+5在实数范围内有意义，那么x的取值范围是______．
12.写出命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题：______．
13.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，再添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．______
14.如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，若AC=6，BC=8，则CD= ______．
15.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则MN的长是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)4 5− 20+ 12；
(2) 6×2 3− 24÷ 3．
17.(本小题8分)
一个矩形的长为a= 2+1，宽为b= 2−1．
(Ⅰ)该矩形的面积= ______；
(Ⅱ)求a2+b2的值．
18.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上．且∠ABE=∠CDF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
19.(本小题9分)
在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=15，AC=20，AD=12.求证：AB⊥AC．
20.(本小题9分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4．
(1)求证：▱ABCD是矩形；
(2)求点A到线段BD的距离．
21.(本小题9分)
笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A、B.其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H(A,H,B在一条直线上)，并新修一条路CH测得BC=5千米，CH=4干米，BH=3千米，
(1)问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
(2)求原来路线AC的长．
22.(本小题12分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF/​/BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形ADCF是菱形；
(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
23.(本小题12分)
已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B(5,2)，点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒．
(1)t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 7为最简二次根式，所以A选项符合题意；
B. 18=3 2，所以B选项不符合题意；
C. 12= 22，所以C选项不符合题意；
D. 4=2，所以D选项不符合题意；
故选：A．
利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵62+82=102，
∴以6、8、10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵42+52≠62，
∴以4、5、6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵52+62≠72，
∴以5、6、7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵82+92≠102，
∴以8、9、10为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A． 2与 3不能合并，所以A选项符合题意；
B. 2× 3= 6，所以B选项不符合题意；
C. 8÷ 2= 8÷2=2，所以C选项不符合题意；
D.(− 2)2=2，所以D选项不符合题意．
故选：A．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠A+∠D=180°，
∴AB/​/CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：B．
根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC．
∴∠A+∠B=180°．
∵∠A+∠C=160°，
∴∠A=80°．
∴∠B=180°−80°=100°，
故选：C．
直接利用“平行四边形的对角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E为CD的中点，
∴OE=12DC=6，
∴CD=12，
∴菱形的周长=4×12=48，
故选：B．
由菱形的性质可得AC⊥BD，由直角三角形的性质可得CD=12，即可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由图可知，x2=12+12=2，
则x1=− 2，x2= 2(舍去)．
故选：B．
根据勾股定理列式求出x2，再利用平方根的相反数定义解答．
本题考查了实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．
8.【答案】C
【解析】解：∵在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，
∴菱形ABCD的面积=12×AC×BD=12×6×8=24，
故选：C．
根据菱形面积公式计算即可得答案．
本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴AE=ED=EC，
∵∠AED=120°，
∴∠DAC=30°，
∴AD= 3CD= 3，
故选：C．
由直角三角形的性质可得AE=ED=EC，由等腰三角形的性质可得∠DAC=30°，即可求解．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据勾股定理可得AB= AC2+BC2=3 5，
∴S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC−S半圆AB
=12π(AC2)2+12π(BC2)2+12AC⋅BC−12π(AB2)2
=12π×(62)2+12π×(32)2+12×6×3−12π×(3 52)2
=92π+98π+9−458π
=9．
故选：D．
先根据勾股定理求出AB，然后根据S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC−S半圆AB计算即可．
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
11.【答案】x≥−5
【解析】解：由题意得：x+5≥0，
解得：x≥−5，
故答案为：x≥−5．
根据二次根式 a(a≥0)可得：x+5≥0，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．
12.【答案】如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等
【解析】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的题设是“如果两个实数相等”，结论是“那么它们的绝对值相等”，故其逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】AD=BC或AB/​/CD．
【解析】解：根据平行四边形的判定，可添加：AD=BC或AB/​/CD，
故答案为：AD=BC或AB/​/CD．
根据平行四边形的判定方法，可以再加一个：AD=BC或AB/​/CD的条件，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD=12AB=5．
故答案为：5．
直接利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
15.【答案】4− 7
【解析】解：如图，连接AN，
由题意知：AN=AB=4，
在Rt△ACN中，由勾股定理得：CN= 42−32= 7，
∴MN=CM−CN=4− 7，
故答案为：4− 7．
连接AN，则AN=AB=4，在Rt△ACN中，利用勾股定理求出CN即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理，求出CN的长是解题的关键．
16.【答案】解：(1)4 5− 20+ 12
=4 5−2 5+ 22
=2 5+ 22；
(2) 6×2 3− 24÷ 3
=6 2−2 2
=4 2．
【解析】(1)先将各式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先算乘除，再算减法即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】1
【解析】解：(Ⅰ)∵矩形的长为a= 2+1，宽为b= 2−1，
∴该矩形的面积=( 2−1)( 2+1)( 2−1)=2−1=1，
故答案为：1；
(Ⅱ)a2+b2=( 2−1)2+( 2+1)( 2−1)2=2+2 2+1+2−2 2+1=6．
(Ⅰ)根据矩形的面积公式即可得到结论；
(Ⅱ)根据完全平方公式计算即可．
本题考查了二次根式的应用，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC(即DE//BF)，∠A=∠ADC=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，∠CDF+∠ADF=90°，
∵∠ABE=∠CDF，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE/​/DF，
∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【解析】本题考查了矩形的性质和平行四边形的判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
根据矩形的性质得出AD//BC，∠A=∠ADC=90°，推出∠ABE+∠AEB=90°，∠CDF+∠ADF=90°，推出∠AEB=∠ADF，根据平行线的判定得出BE/​/DF，再根据平行四边形的判定推出即可．
19.【答案】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，BD= AB2−AD2= 152−122=9，
在Rt△ADC中，CD= AC2−AD2= 202−122=16，
∴BC=BD+CD=9+16=25，
∵AB2=152=225，AC2=202=400，BC2=252=625，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【解析】根据勾股定理求得BD，DC，进而可得BC=25，进而勾股定理的逆定理进行判断即可得证．
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD=12BD，OA=OC=12AC，
∴BD=AC，
∴▱ABCD是矩形；
(2)解：∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABO=60°，
∴∠ADB=90°−60°=30°，
∴AD= 3AB=4 3，
设点A到线段BD的距离为h，
∵S△ABD=12BD⋅h=12AB⋅AD，
∴12×8h=12×4×4 3，
∴h=2 3，
即点A到线段BD的距离为2 3．
【解析】(1)由等边三角形的性质得OA=OB，再由平行四边形的性质得OB=OD=12BD，OA=OC=12AC，则BD=AC，即可得出结论；
(2)由矩形的性质得∠BAD=90°，则∠ADB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)CH是从旅游地C到河的最近的路线，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=42+32=25，
BC2=25，
∴CH2+BH2=BC2
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
所以CH是从旅游地C到河的最近的路线；
(2)设AC=AB=x千米，则AH=(x−3)千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x−3，CH=4，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x−3)2+42
解这个方程，得x=256，
答：原来的路线AC的长为256千米．
【解析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理及其逆定理解答．
(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根据勾股定理解答即可．
22.【答案】(1)证明：∵AF/​/BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE
∴△AFE≌△DBE(AAS)；
(2)证明：由(1)知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF/​/BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=12BC，
∴四边形ADCF是菱形；
(3)连接DF，
∵AF/​/BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=12AC▪DF=12×4×5=10．
【解析】(1)利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
(2)由(1)可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
(3)连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
23.【答案】解：(1)∵四边形OABC为矩形，B(5,2)，
∴BC=OA=5，AB=OC=2，
∵点D时OA的中点，
∴OD=12OA=2.5，
由运动知，PC=2t，
∴BP=BC−PC=5−2t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=2.5，
∴5−2t=2.5，
∴t=1.25；
(2)①当Q点在P的右边时，如图，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=2.5，
在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=1.5，
∴2t=1.5；
∴t=0.75，
∴Q(4,2)；
②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图，
同①的方法得出t=2，
∴Q(1.5,2)，
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图，
同①的方法得出，t=0.5，
∴Q(−1.5,2)；
【解析】(1)根据P点的运动速度可用t表示出CP与PB的长度，再根据D是OA的中点可求OD的长度，最后由平行四边形的对边相等得出PB=OD，从而构造方程求解．
(2)分别讨论Q点在BC线段上的两种情况(即P的左边和右边)以及在BC延长线上的一种情况，根据菱形四边相等可得OP的长度，再根据勾股定理得出CP的长度，最后求出t的值即可求出Q点的坐标．
本题主要考查动点问题与菱形性质与判定的结合，解题的关键在于灵活运用菱形的性质找出等量关系构造方程求解．∵∠A+∠D=180°，
∴AB/​/CD，
又∵_____，
∴四边形ABCD是平行四边形．