2023-2024学年广东省东莞市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子一定是二次根式的是( )
A. −x−2B. xC. x2+2D. x2−2
2.下列计算正确的是( )
A. 2 3+3 2=5B. 8÷ 2=2
C. 5 3×5 2=5 6D. 412=2 12
3.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=3；4；5
C. a2=c2−b2D. a2：b2：c2=5：12：17
4.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，这个容器的形状是下图中的( )
A. B. C. D.
5.若函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数，则m的值为
( )
A. ±1B. −1C. 1D. 2
6.已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是( )
A. 100°B. 160°C. 80°D. 60°
7.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx−k的图象只能是图中的( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM=DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A. MB=MOB. OM=12AC
C. BD⊥ACD. ∠AMB=∠CND
9.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为( )
A. 4B. 4πC. 8πD. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若要使 3−xx−1有意义，则x的取值范围为______．
12.比较大小： 5−12______12(填“>”“<”“=”)．
13.一次函数y=(m+2)x+1，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是______．
14.把直线y=2x−1向上平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为______．
15.如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于_______．
16.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，
下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ 3．
其中正确的序号是______(把你认为正确的都填上)．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(− 2)× 6+| 3−2|−(12)−1．
18.(本小题6分)
如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

19.(本小题6分)
已知一次函数的图象经过(3,5)和(−4,−9)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若点(a,2)在这个函数图象上，求a的值．
20.(本小题7分)
已知x=2− 3，y=2+ 3，求下列代数式的值：
(1)x2−y2；
(2)x2−xy+y2．
21.(本小题7分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF/​/BC交BE的延长线于点F．
(1)证明四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
22.(本小题8分)
已知函数y=(2m+1)x+m−3．
(1)若这个函数经过原点，求m的值．
(2)若函数的图象平行于直线y=3x−3，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围．
23.(本小题8分)
“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的)．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x(千米)与剩余油量Q(升)的关系式；
(2)当x=280时，求剩余油量Q的值；
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家，请说明理由．
24.(本小题12分)
我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=( 2)2，3=( 3)2．7=( 7)2，0=02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3−2 2的算术平方根．
解：3−2 2=2−2 2+1=( 2)2−2 2+12=( 2−1)2．
∴3−2 2的算术平方根是 2−1，
根据上述方法化简和计算：
(1) 7+4 3．
(2) 11−2 30．
(3)若a+4 3=(m+n 3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
25.(本小题12分)
四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB=4，CE=2 2，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2≥0，
∴x2+2≥2，
∴ x2+2一定是二次根式，
而 −x−2、 x和 x2−2中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，
故选：C．
直接利用二次根式的定义，一般地，形如 a(a≥0)的代数式叫做二次根式进行判断即可．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、2 3与3 2不能合并，所以A选项错误；
B、原式= 8÷2=2，所以B选项正确；
C、原式=25 3×2=25 6，所以C选项错误；
D、原式= 92=3 22，所以D选项错误．
故选：B．
根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
∴3x+4x+5x=180，
解得：x=15，
∴∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵a2=c2−b2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a2：b2：c2=5：12：17
∴a：b：c= 5： 12： 17，
∴设a= 5x，b= 12x，c= 17x，
∵( 5x)2+( 12x)2=( 17x)2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
4.【答案】C
【解析】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为C．
故选：C．
根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，|m|=1且m−1≠0，
解得m=±1且m≠1，
所以，m=−1．
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
∴∠B=180°−∠A=80°．
故选：C．
由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD//BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．
7.【答案】B
【解析】解：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴−k>0，
∴直线y=bx−k的图象经过一、二、三象限，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
8.【答案】B
【解析】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM=AC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB−BM=OD−DN，
即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM=12AC，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：B．
由平行四边形的性质可知，OA=OC，OB=OD，再证OM=ON，则四边形AMCN是平行四边形，然后证MN=AC，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】
解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC=5，
∵∠AFB=90°，D是AB的中点，
∴DF=12AB=3，
∴EF=DE−DF=2，
故选B．
10.【答案】A
【解析】【分析】
根据勾股定理得到AB2=AC2+BC2，根据圆面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理、圆面积计算，掌握勾股定理和圆面积公式是解题的关键．
【解答】
解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，
则阴影部分的面积=12AC·BC+12×π×(AC2)2+12×π×(BC2)2−12×π×(AB2)2
=12×4×2+12×π×14×(AC2+BC2−AB2)
=4，
故选：A．
11.【答案】x≤3且x≠1
【解析】解：∵要使 3−xx−1有意义，
∴3−x≥0且x−1≠0，
解得x≤3且x≠1．
故答案为：x≤3且x≠1．
据二次根式及分式有意义的条件列式计算即可得解．
本题考查了分式及二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数；分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
12.【答案】>
【解析】解：因为5>4
所以 5> 4，即 5>2
所以 5−1>1，
所以 5−12>12．
故答案为：>．
此题主要考查了实数的大小比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
13.【答案】m<−2
【解析】解：根据题意得m+2<0，
解得m<−2．
故答案为m<−2．
根据一次函数的性质得m+2<0，然后解不等式即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
14.【答案】(0,4)
【解析】解：把直线y=2x−1向上平移5个单位得y=2x−1+5，即y=2x+4，
当x=0时，y=4，
∴平移后的直线与y轴的交点坐标为(0,4)，
故答案为：(0,4)．
根据一次函数平移的性质，可得平移后的解析式，进一步即可求出直线与y轴交点坐标．
本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数平移的性质是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100−4=96，设AE为a，DE为b，即4×12ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a−b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8−2=6．
故答案为：6．
根据面积的差得出a+b的值，再利用a−b=2，解得a，b的值代入即可．
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得a，b的值．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC−BE=CD−DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF= 2，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+(a− 2)2=4，
解得a= 2+ 62，a= 2− 62(舍)，
则a2=2+ 3，
∴S正方形ABCD=2+ 3，
④说法正确，
故答案为：①②④．
本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及平角定义判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
17.【答案】解：(− 2)× 6+| 3−2|−(12)−1
=−2 3+2− 3−2
=−3 3．
【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：已知猴子经过的距离是AB+AC=10+20=30(米)，
设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30−x)米，
由勾股定理，得：
(30−x)2−(x+10)2=202，
解得x=5．
即树的高度是10+5=15(米)．
答：这棵树有15米高．
【解析】本题考查勾股定理的应用，能够根据题意用同一个未知数表示出直角三角形的三边是解决此题的关键．首先根据题意，确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．
19.【答案】解：(1)设一次函数的解析式y=ax+b，
∵图象过点(3,5)和(−4,−9)，
将这两点代入得：3k+b=5−4k+b=−9，
解得：k=2，b=−1，
∴函数解析式为：y=2x−1；
(2)将点(a,2)代入得：2a−1=2，
解得：a=32．
【解析】(1)设函数解析式为y=kx+b，将两点代入可求出k和b的值，进而可得出答案．
(2)将点(a,2)代入可得关于a的方程，解出即可．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，属于比较基础的题，注意待定系数法的掌握，待定系数法是中学数学一种很重要的解题方法．
20.【答案】解：(1)∵x=2− 3，y=2+ 3，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)
=(2− 3+2+ 3)(2− 3−2− 3)
=4×(−2 3)
=−8 3；
(2)∵x=2− 3，y=2+ 3，
∴x2−xy+y2=(x+y)2−3xy
=(2− 3+2+ 3)2−3(2− 3)(2+ 3)
=16−3=13．
【解析】(1)利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值；
(2)利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．
21.【答案】(1)证明：∵AF/​/BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，D是BC的中点，，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE,
∴△AFE≌△DBE(AAS)；
∴AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=12BC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：连接DF，
∵AF/​/BC，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，AC=4，
∴S菱形ADCF=12AC⋅DF=10．
【解析】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
(1)首先根据题意画出图形，由AF/​/BC，E是AD的中点，D是BC的中点，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF=BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，可得AD=BD=CD=AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；
(2)首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
22.【答案】解：(1)∵关于x的函数y=(2m+1)x+m−3的图象经过原点，
∴点(0,0)满足函数的解析式y=(2m+1)x+m−3，
∴0=m−3，
解得m=3．
(2)∵函数y=(2m+1)x+m−3的图象平行于直线y=3x−3，
∴2m+1=3，
∴m=1；
(3)函数y=(2m+1)x+m−3是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，
∴2m+1>0且m−3>0，
∴m>3，
∴m的取值范围是m>3．
【解析】(1)根据已知条件知，关于x的函数y=2x+m−1的图象经过点(0,0)，所以把(0,0)代入已知函数解析式列出关于系数m的方程，通过解方程即可求得m的值；
(2)函数的图象平行于直线y=3x−3，说明2m+1=3，由此求得m的数值即可；
(3)根据题意列不等式组即可得到结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点与两条直线平行的条件，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式以及一次函数的性质是解答此题的关键．
23.【答案】解：(1)该车平均每千米的耗油量为(45−30)÷150=0.1(升/千米)，
行驶路程x(千米)与剩余油量Q(升)的关系式为Q=45−0.1x；
(2)当x=280时，Q=45−0.1×280=17(升)．
答：当x=280(千米)时，剩余油量Q的值为17升．
(3)(45−3)÷0.1=420(千米)，
∵420>400，
∴他们能在汽车报警前回到家．
【解析】本题考查函数的应用问题，属于基础题．
(1)根据平均每千米的耗油量=总耗油量÷行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量=总油量−平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式；
(2)代入x=280求出Q值即可；
(3)根据行驶的路程=耗油量÷平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点的往返路程比较后即可得出结论．
24.【答案】解：(1) 7+4 3
= ( 4)2+4 3+( 3)2
= (2+ 3)2
=2+ 3；
(2) 11−2 30
= ( 6)2−2 30+( 5)2
= ( 6− 5)2
= 6− 5；
(3)∵(m+n 3)2=m2+2mn 3+3n2，
∴m2+3n2=a，2mn=4，
∴mn=2，
∵a，m，n均为正整数，
∴m=1，n=2或m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=m2+3n2=1+12=13；
当m=2，n=1时，a=m2+3n2=4+3=7；
综上，a=13或7．
【解析】(1)根据题目中的例子和完全平方公式计算即可；
(2)根据题目中的例子和完全平方公式计算即可；
(3)根据(m+n 3)2=m2+2mn 3+3n2，可得m2+3n2=a，2mn=4，即mn=2，根据a，m，n均为正整数，可知m=1，n=2或m=2，n=1，分别计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在△EQF和△EPD中，
∠QEF=∠PEDEQ=EP∠EQF=∠EPD，
∴△EQF≌△EPD(ASA)，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；

(2)如图2中，在Rt△ABC中，AC= 2AB=4 2，
∵CE=2 2，
∴AE=CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG=CE=2 2；
(3)①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC=45°+40°=85°，
∵∠DEF=90°，
∴∠CEF=5°，
∵∠ECF=45°，
∴∠EFC=130°，

②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF=∠DCF=90°，
∴∠EFC=∠EDC=40°，

综上所述，∠EFC=130°或40°．
【解析】(1)作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；
(2)通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题；
(3)分两种情形：①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，求得∠DEC=45°+40°=85°，得到∠CEF=5°，根据角的和差得到∠EFC=130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．