河北省承德市兴隆县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份河北省承德市兴隆县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

卷I（选择题共38分）
一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题3分，7-16每小题2分，共38分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算得，则“？”是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．如图，将折叠，使点落在边处，展开后得到折痕，则是的（ ）

A．高线B．角平分线C．中线D．中位线
3．射线的速度为光速的十分之一，若光速为，则射线的速度用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示的几何体由9个大小相同的小正方体组成，将小正方体1去掉后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）

A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图
5．若，则代数式的值为（ ）
A．B．C．2D．－2
6．有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ）
A．不可能B．不太可能C．非常有可能D．一定可以
7．若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（ ）
A．①②都可以B．①②都不可以
C．只有①可以D．只有②可以
8．已知，用含的代数式表示，这个代数式是（ ）
A．B．C．D．
9．依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
10．在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
11．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（ ）

A．B．C．D．
12．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）

A．S变化，l不变B．S不变，l变化
C．S变化，l变化D．S与l均不变
13．将一副直角三角板作如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是 （ ）
A．B．C．D．
14．某女子排球队6名场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现用身高为的队员替换场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，中位数不变B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数不变D．平均数变大，中位数变大
15．如图，是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若，，则与之间的关系是（ ）
A．B．C．D．
16．如图是一种轨道示意图，其中、、、分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与之间的函数关系用图像表示大致为（ ）
A．B．C．D．
Ⅱ（非选择题，共82分）
二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共10分.）
17．已知，，则 ．
18．如图，等腰中，，，E是边上的点，将沿翻折得到，边交于点D．

（1） °；
（2）若，则 °．
19．如图，已知点，，点P在线段上，并且点P的横、纵坐标均为整数． 经过点P的双曲线为．
（1）当点P与点B重合时，k的值为 ；
（2）k的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．已知A、B是两个整式，，．
(1)尝试计算
当时，____________
当时，____________
(2)大胆猜测
小军猜测：无论a为何值，A______B始终成立．
(3)小心验证
请证明小军猜测的结论．
21．在知识竞赛中，规定答对一题加5分，答错一题（不答按答错）扣3分，小明答对x道题，答错y道题．（选手原始分数均为0分）
(1)用含x，y的式子表示小明的得分为______分；
(2)若小明答对20道题，总分在80分以上，求他最多答错多少道题．
22．如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接．且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
23．为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：小时）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取_____人，条形统计图中的m＝______；
(2)在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
(3)已知该校有960名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
(4)学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
24．已知：，
(1)求的解析式；
(2)直线与线段有公共点，求的取值范围.
(3)点为线段上的点，若直线把的面积分成1:2两部分，直接写出点的坐标.
25．为了有效的应对高楼火灾，消防中队开展消防技能比赛，如图，在一个废弃高楼距地面的点和其正上方点处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为．

(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求之间的距离；
(3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，求的取值范围．
26．如图，在中，，，，点是的中点．动点沿边从点开始，向点以每秒1个单位长度的速度运动，当点到达点时停止运动，以点为圆心，的长为半径作圆，与交于点，过点作，垂足为点．设运动的时间为秒．
(1)___________，____________；
(2)求的长（用含的代数式表示）；
(3)当与相切时，切点为，求的长（，结果保留）；
(4)当与线段有交点时，直接写出的取值范围和线段所扫过的面积．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据同底数幂除法运算法则求解即可．
【解答】解：，即：，解得：，
故选：D．
【点拨】本题考查同底数幂的除法运算，掌握底数不变，指数相减是解题关键．
2．A
【分析】根据折叠的性质可推出，即可得出，从而得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵点落在边处，
∴由折叠的性质：，
∴，即：是的高线，
故选：A．

【点拨】本题考查折叠的性质，以及三角形高线的认识，理解基本性质和定义是解题关键．
3．A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【解答】解：根据题意可得射线的速度为：，
故选：A．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：将小正方体1去掉后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变，
故选：A．
【点拨】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是熟知三视图的定义．
5．D
【分析】根据a+b=2，可以求得题目中所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：∵a+b=2，
∴
=-（a+b）
=-2，
故选：D．
【点拨】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
6．B
【分析】根据转盘知只有1个奇数，而且袋子中20个里只有6个黑球，据此得出这个游戏得到奖品的可能性很小．
【解答】解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次摸球机会，而只有摸到黑弹珠才能获得奖品，这个游戏得到奖品的可能性很小，属于不确定事件中的可能事件，
故选：B．
【点拨】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
7．C
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．
【解答】解：∵，
∴根据三角形的任意两边之和大于第三边，需要将的直铁丝分为两段，
即只有①可以，②不可以，
故选：C．
8．D
【分析】根据题意可知正好是和的积，因此可得．
【解答】，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握该乘法法则是解题关键．
9．C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，因此图中的四边形不可能是平行四边形，故A错误；
B．一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
C．两组对边相等能判断四边形是平行四边形，故C正确；
D．一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形，故D错误．
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据作图得出，根等边对等角得出，根据即可判断方案Ⅰ；根据垂直平分线的性质可得，则，根据即可判断方案Ⅱ．
【解答】解：方案Ⅰ：
由作图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故方案Ⅰ可行，符合题意；

方案Ⅱ：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故方案Ⅱ可行，符合题意；

故选：C．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；垂直平分线上的点到两端距离相等．
11．C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴凉亭的高度约为，
故选：C．
12．D
【分析】如图，连接OA，OC．证明△HOC≌△GOA（ASA），可得结论．
【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故选：D．
【点拨】本题考查正多边形与圆，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，由三角板中角度的特点可得，则，即可判断A；由平角的定义即可判断B；过点F作，则，由平行线的性质得到，进而求出，即可判断C；再由平角的定义即可得到，即可判断D．
【解答】解：∵，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故B结论正确，不符合题意；
如图所示，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，
∴，故D结论正确，不符合题意；
故选：C．
14．C
【分析】本题考查平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义和计算方法是正确判断的前提．根据平均数、中位数的意义进行判断即可．
【解答】解：用身高为的队员替换场上身高为的队员，使总身高增加，进而平均数身高变大，
换人后，从小到大排列的顺序为：172，177，178，180，180，184，
因此中位数不变，
故选：C．
15．A
【分析】连接、、，根据圆内接四边形的性质定理，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，由直径所对的圆周角是直角可知，最后根据即可得到与之间的关系．
【解答】解：连接、、，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
故选A．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
16．B
【分析】设正方形的边长为1，两个机器人看作点和，两个机器人的速度均为1，当点在边上，点在边上时，根据勾股定理得到与之间的函数关系，判断出应该是开口向上的二次函数，排除选项C和D，进而判断出未出发时和到达第一个拐点时的值可得正确选项．本题考查动点问题的函数图象．根据动点的不同位置判断出特殊点的值及相关的函数解析式是解决本题的关键．
【解答】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点和，两个机器人的速度均为1．
当点在边上，点在边上时，．
作于点，可得矩形和矩形．
，．
，．
两个机器人之间距离为．
．
，
函数图象为开口向上的二次函数．
故选项C和D不符合题意．
当机器人未出发时，点在点处，点在点处，如图1．
；
当机器人分别到达点和点时，如图2．
；
此时函数的的值和未出发时的值相同，
故选：B．
17．24
【分析】先利用提取公因式法把所求代数式分解因式，然后把已知条件中的，，代入分解后的式子进行计算即可．
【解答】∵，，
∴，
故答案为：24．
18．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可；
（2）先根据折叠的性质求出，可得的度数，再利用三角形外角的性质求出，最后根据折叠的性质和周角的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴由折叠的性质得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质以及三角形外角的性质等知识，熟知三角形的内角和是，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数与一次函数；
（1）由点与点重合，，将代入解析式，即可求解；
（2）求出直线的解析式，由点P的横、纵坐标均为整数可求出的坐标，从而可求出满足的值，即可求解；
能根据点的横坐标，求出发的坐标是解题的关键．
【解答】解：（1）点点，，点与点重合，
，
双曲线为经过点，
，
故答案：；
（2）设直线的解析式为，
，
解得，
线段所在直线的函数表达式为；
点P在线段上，并且点P的横、纵坐标均为整数，
横坐标，
点坐标为或或或，
双曲线为经过点，
的值为或或或，
的最大值为；
故答案：．
20．(1)2，，8，
(2)＞
(3)见解析
【分析】（1）将和分别代入A和B求解即可；
（2）根据题意求解即可．
（3）利用作差的方法比较A，B的大小．
【解答】（1）当时，，；
当时，，；
故答案为：2，，8，；
（2）小军猜测：无论a为何值，AB始终成立．
（3）
∵
∴
∴无论a为何值，．
【点拨】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．
21．(1)
(2)小明最多答错6道题
【分析】（1）根据总得分=答对的得分+答错的扣分即可求解；
（2）根据（1）列出相应的式子求解即可．
【解答】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：，
，
∴小明最多答错6道题．
【点拨】本题主要考查列代数式，解不等式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理：
（1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明；
（2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案．
【解答】（1）证明：是的角平分线，，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
23．(1)100，42
(2)72°；补图见解析
(3)估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；
(4)
【分析】（1）根据D组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数乘以C所占的百分比，即可得出m的值；
（2）用360°乘以B组所占的百分比，求出B组的圆心角度数，再用总人数乘以B所占的百分比，即可得出B组的人数；
（3）用该校的总人数乘以达到3小时及3小时以上的学生所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】（1）解：这次抽样调查共抽取的人数有：28÷28%=100（人），
m=100×42%=42，
故答案为：100，42；
（2）解：B组所在扇形圆心角的度数是：360°×20%=72°；
B组的人数有：100×20%=20（人），
补全统计图如下：
；
（3）解：根据题意得：
960×（42%+28%）=672（人），
答：估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为．
【点拨】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解析式进行求解，即可作答．
（2）要结合图形特征，分析出当经过时，取最大值和当经过时，取最小值；然后代入数值计算，即可作答．
（3）要作图且运用分类讨论思想，结合割补法列式，进行计算，即可作答．
【解答】（1）解：设的解析式为，把，代入，
得
解得
∴的解析式为；
（2）解：∵直线与线段有公共点，且，
∴当经过时，取最大值；
即把代入，
得；
∴当经过时，取最小值；
即把代入，
得
解得
∴当直线与线段有公共点，的取值范围为；
（3）解：∵点为线段上的点，且的解析式为；
∴设点P的坐标为
连接，
当点P靠近点A时，如图：
∵若直线把的面积分成1:2两部分，
此时
∵，
∴
解得
把
此时；
当点P靠近点B时，如图：
∵若直线把的面积分成1:2两部分，
此时
∵，
∴
解得
把
此时；
综上：满足条件的P的坐标为或．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案；
（2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，利用待定系数法求出表达式，令，则，根据，，即可得到答案；
（3）根据题意，由待定系数法得到灭火过程中与始终满足，由要扑灭距地面高度范围内的火苗，代值求解即可得到答案．
【解答】（1）解：由题意可知第一次灭火时水流最高点的坐标为，
设水流所在抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，解得，
，
消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为；
（2）解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米，
可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，
由题意可知该抛物线过点，
，解得，
，
令，则，
，
，
，即之间的距离为；
（3）解：由题意可知灭火过程中与始终满足，
将代入后可得，
，
，
当抛物线过点时，，解得；
当抛物线过点时，，解得；
．
【点拨】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
26．(1)，
(2)；
(3)
(4)，面积为．
【分析】（1）利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质求出即可；
（2）先求出，在中，，则在中，；
（3）如图所示，设与相切于D，连接，由切线的性质可得，利用三角形面积法求出的长，解直角三角形求出，进而得到，再利用弧长公式求解即可；
（3）如图所示，当恰好经过点P的时，连接，求出，；如图所示，当恰好经过点B的时，求出，，则，再由与线段有交点，得到线段所扫过的面积即为梯形的面积，据
【解答】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
故答案为；；；
（2）解：由题意得，，
∴，
∵在中，，
∴在中，；
（3）解：如图所示，设与相切于D，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
，，
，
，
弧的长；
（4）解：如图所示，当恰好经过点P的时，连接，
∵，，点P为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当恰好经过点B的时，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵与线段有交点，
∴线段所扫过的面积即为梯形的面积，
∴线段所扫过的面积，
综上所述，，线段所扫过的面积为．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，求弧长，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
方案Ⅰ：
①以点A为圆心，长为半径作；
②观察点C与的位置关系即可．

图1
方案Ⅱ：
①作边的垂直平分线；
②观察与边是否有交点及交点位置即可．

图2