2024年广东省茂名市高州市九中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年广东省茂名市高州市九中考一模数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

说明：
1．全卷满分120分，用时120分钟．
2．所有答案必须填写到答题卡相应的位置上
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．3的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列四个几何体中，主视图与俯视图都是圆的为（ ）
A．B．C．D．
3．一分钟仰卧起坐是监测学校体育与健康教育质量的一个项目．某校随机抽取了八年级10名女生的一分钟仰卧起坐测试数据进行统计，分别是40,38,32,34,40,38,45,50,40,45，那么这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．40，38B．40，39C．38，40D．40，40
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．C．D．
6．把一副普通扑克牌中的13张红桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽到牌面数字是3的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．4B．8C．D．
8．已知点在第四象限，则x的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，为的直径，点为圆上两点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表：
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．据报道，2023年“十一”假期，襄阳A级旅游景区共接待游客151100人次，数字151100用科学记数法表示是 ．
12．计算：＝ ．
13．在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图像上，则 （填“”“”或“”）．
14．某公司今年一月盈利30万元，三月盈利36.3万元，从一月到三月，每月盈利的增长率都相同，设月平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
15．如图，等边内接于，，则图中阴影部分的面积等于 ．

三、解答题（一）：本大题共3小题，16、17小题各6分，18小题7分，共19分．
16．解不等式组：
17．先化简，再求值：，其中．
18．从地面竖直向上抛一个物体，物体向上的速度是运动时间的函数．经测量，速度与时间的关系如表：
(1)写出速度与时间的关系式；
(2)求经过多长时间，物体将达到最高点？
四、解答题（二）：本大题共4小题，每小题8分，共32分．
19．如图，点，，，在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．请按要求画图，并回答问题：

(1)过点画直线的垂线，垂足为；并直接写出点到直线的距离；
(2)过点画交于点；
(3)请写出图中的所有同位角．
20．某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图（如图）．根据图中提供的信息解决下列问题：
(1)抽样的人数是__________人，扇形中__________；
(2)抽样中D组人数是__________人，本次抽取的部分学生“1分钟跳绳”成绩组成的一组数据的中位数落在__________组（填），并补全频数分布直方图；
(3)如果“1分钟跳绳”成绩大于等于160次为满分，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有多少人？
21．某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
22．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23．如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)求的正切值．
24．（1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______；
（2）【类比探究】如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接，则的最小值为______．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据倒数的定义可知．
【解答】解：3的倒数是，
故选：C
【点拨】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．D
【解答】试题分析：圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆；圆台的主视图、左视图是等腰梯形，俯视图是圆环；圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点；球的主视图、左视图、俯视图都是圆．故选D
考点：三视图．
3．D
【分析】本题考查了中位数和众数的概念，正确理解中位数和众数的概念是解题的关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和众数的概念即得答案．
【解答】将数据从小到大排列为32, 34, 38, 38,40, 40, 40, 45, 45, 50，在这一组数据中40出现了3次，次数最多，故众数是40；处于中间位置的两个数是40，40，故这组数据的中位数是．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，单项式的除法，掌握运算法则是解题的关键．根据相应的运算法则逐项分析，即可作答．
【解答】解：A. ，计算错误；
B. ，计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，计算错误；
故选C．
5．C
【分析】直接利用平行线的判定进行逐一判断即可.
【解答】解：A、，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，不符合题意；
B、，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，不符合题意；
C、，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，符合题意；
D、，利用同旁内角互补，两直线平行，可判断出，不符合题意；
故选：C.
【点拨】本题考查平行线的判定，关键在于找准两个角之间的位置关系.
6．A
【分析】本题考查简单的概率公式计算．根据题意，先求总共出现的情况数，再求符合条件的数即可．
【解答】解：从一副普通扑克牌中的13张红桃牌随机抽取1张一共有13种情况，抽到牌面数字是3的情况就1种
抽到牌面数字是3的概率为．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，依题意得，进而可求解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
【解答】解：依题意得：，
即：，
故选A．
8．A
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内符号特征，解一元一次不等式，根据第四象限的点的横坐标是正数可得不等式，求出解集，即可得出答案．
【解答】∵点在第四象限，
∴，
解得．
在数轴上表示为：
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了弦、弧、圆心角之间的关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，连接，由可得，进而得到，又由为的直径，可得，利用直角三角形两锐角互余即可求解，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
故选：．
10．C
【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图像；观察所画图形，回想常见几种函数的图像特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【解答】解：由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设
把代入求得
∴
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为，
把代入得，
∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
【点拨】此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
11．
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【解答】数字151100用科学记数法表示是．
故答案为：
12．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
13．
【分析】根据反比例函数的性质，当，在每个象限内，y随x的增大而增大，进行判断即可．
【解答】解：∵，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
14．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．根据“今年一月盈利30万元，三月盈利36.3万元”列方程求解．
【解答】解：由题意得：，
故答案为：
15．
【分析】连接，过点O作于D，根据垂径定理求出，根据等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算即可．
【解答】解：如图，连接，过点O作于D，
则，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点拨】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为．
17．，
【分析】先将原式的分子、分母进行因式分解，再将除法化乘法，化简后代值求解即可．
【解答】解：原式
当时，原式
【点拨】本题主要考查了分式化简求值，将原式进行因式分解化简是解题关键．
18．(1)
(2)经过，物体将达到最高点
【分析】本题考查一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式．
（1）由表格中的数据可知，时间每增加，速度均减小，速度是的一次函数，再用待定系数法求解即可；
（2）当时，求出相应的即可．
【解答】（1）由表格中的数据可知，时间每增加，速度均减小，
速度是的一次函数
设与的函数关系式是（为常数，且）
将和代入，
得，
解得
与的函数关系式是；
（2）当物体将达到最高点时，，得，
解得，
经过，物体将达到最高点．
19．(1)图见解析；2
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）取格点E，作直线即可写；
（2）取格点F，连接即可；
（3）根据作图写出图中的所有同位角即可．
【解答】（1）解：如图，直线即为所求；
点到直线的距离为2；
（2）解：如图，即为所求；

（3）解：的所有同位角有．
【点拨】本题考查了作图——应用与设计作图、点到直线的距离、画平行线，同位角，解决本题的关键是准确画图．
20．(1)60；84
(2)16；C；补全频数分布直方图见解析
(3)175
【分析】（1）根据A组的占比及频数即可求得抽样的总人数；由B组的占比可求得扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角；
（2）根据（1）求得的抽样总人数即可求得D组的人数，可确定中位数落在哪组，补全统计图即可；
（3）用样本估计总体的思想方法可求得该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约人数．
【解答】（1）解：抽样总人数为：（人）；
B组对应的扇形的圆心角为：，
∴；
故答案为：60；84；
（2）解：抽样中D组人数为：（人），
把数据按大小排列后，中间第30、31个数据的平均数是中位数，则中位数落在C组；
故答案为：16，C；
补全图形如下：
（3）解：（人），
答：该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有人．
【点拨】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本频数估计总体频数，求扇形圆心角，判断中位数等知识，善于从统计图中获取信息是解题的关键．
21．，
【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解．
【解答】解：测角仪显示的度数为，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，

在中，，
∴．
【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．
22．(1)抛物线的表达式为y＝
(2)石块不能飞越城墙
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用．
（1）由抛物线的顶点坐标是可设石块运行的函数关系式为，把点C坐标代入即可解答；
（2）由得到点D的横坐标为75，将代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，又，即可解答．
【解答】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴设石块运行的函数关系式为，
∵
∴点C的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，代入，得，
解得：
∴抛物线的表达式为，
即；
（2）∵，
∴点D的横坐标为75，
将代入函数，得，
即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，
∵，，
∴，
∴石块不能飞越城墙．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查圆的综合题型，涉及切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形相似，角的正切值．
（1）先用勾股定理的逆定理证是直角三角形，得出即可；
（2）证，得到对应边成比例，再变形即可，具体见解答；
（3）先求出的值，再证明得出对应边的比，最后用对应边的比表示出即可．
【解答】（1）证明：在中
是直角三角形
是的的直径
是的切线；
（2）证明：是直径，
（公共角）
即；
（3）由（2）得
即
解这个方程，得或（舍去）
连结
与都是的直径，
与互相平分
四边形为平行四边形，
在中
．
24．（1）；（2）．理由见解析；（3）
【分析】（1）通过证明全等，得到；
（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；
（3）作于N，交的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值．
【解答】解：，
理由：
∵正方形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：．
理由如下：延长相交于点H．
∵矩形、矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作于N，交的延长线于M．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，
作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值．
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．
……
10
15
20
25
30
……
……
45
30
22.5
18
15
……
时间
1
1.5
2
速度
20
15
10
A：
B：
C：
D：
E：
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．
测出眼睛到地面的距离．
测出所站地方到古树底部的距离．
________．
．
．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）
（参考数据：）